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文档简介

利用空间向量解决立体几何问题数学专题二教学目标向量运算在几何证明与计算中的应用，掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题。教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用。教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用；空间向量之应用3利用空间向量求距离BAaMNnab一、求异面直线的距离nabAB方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为zxyABCC1即取x=1,则y=-1,z=1,所以EA1B1当E,F在公垂线同一侧时取负号当d等于0是即为“余弦定理”<>=π—θ（或θ），zxyABCC1EA1B1练习zxyABCC1即取x=1,z则y=-1,z=1,所以EA1B12点到平面的距离A为平面α外一点如图,n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH

==于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值nABHαθ详细答案DABCGFExyzDABCGFExyz1答案2答案APDCBMN2课本第116页练习2如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长BACD解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz

则D(0,0,0),A(,0,0),B(,,0),C(0,,0),P(0,0,)DMPNAxCBzy例3、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面GEF的距离。DABCGFExyz三、求直线与平面间距离正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的距离A1B1C1D1ABCDXYZ练习3:G例4、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C与平面A1BC1的距离A1B1C1D1ABCDXYZ四、求平面与平面间距离评述：此题用找公垂线的方法比较难下手，用向量代数的方法则简捷，高效，显示了向量代数方法在解决立体几何问题的优越性平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或再转化为点到平面的距离例5如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：AO⊥平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（III）求点E到平面ACD的距离。xyZ解:I略II以O为原点，如图建立空间直角坐标系，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为（III）解：设平面ACD的法向量为则令得是平面ACD的一个法向量，所以点E到平面ACD的距离xyZ练习、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1

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