面面垂直的判定及其性质

补充材料：三垂线定理及逆定理aAPoα回顾：平面的斜线、垂线、射影，线面角a平面的斜线αPlO斜足O斜线PO在平面内的射影垂足AA平面的垂线

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。PO与α所成的角∠POA三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。PaAoαPA⊥αaα∪①PA⊥aPO⊥a②a⊥平面PAOAO平面PAO∪a⊥AO③PCBA是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC例2如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1CA1D1C1B1ADCB、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4，PC=6，求点P到平面ABC的距离。APCBEH三垂线（逆）定理——在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影（斜线）垂直，那么它也和这条斜线（斜线的射影）垂直小结平面与平面垂直的判定（1）232水平面拦洪坝赤道平面卫星轨道平面概念1：直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线半平面半平面射线射线概念2：平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面ABO从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面记为：二面角-m-从一点出发的两条射线，构成平面角，记作∠AOB思考：两个相交平面有几个二面角？探究：如何度量二面角的大小？lαβOABlαβOAB概念3：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角∠AOB即为二面角α-l-β的平面角思考：如图，过二面角α-l-β一个面内一点A，作另一个面的垂线，垂足为B，过点B作棱的垂线，垂足为O，连结AO，则∠AOB是二面角的平面角吗？为什么？ABOlαβ！二面角的平面角的作法2定义法3垂面法1利用三垂线定理oABoAoABB1过面内一点作另一个面的垂线2过垂足作棱的垂线3连线，构成直角三角形注意：二面角的平面角必须满足（1）角的顶点在棱上（2）角的两边分别在两个面内（3）角的边都要垂直于二面角的棱思考：二面角的取值范围0°角180°角lαβ00~1800例11在正方体中，找出二面角C1-AB-C的平面角，并指出大小端点B1C1D1A1ABCDMN例12在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B的大小AA1BCDB1C1D1O补充例题:如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为300，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为450，沿这条直道从堤脚C向上行走10m到达E处，此时人升高了多少m？ABCDEOF平面与平面垂直的判定（2）思考1:空间两条直线垂直是怎样定义的？直线与平面垂直是怎样定义的？思考3:什么叫直二面角？如果两个相交平面所成的四个二面角中，有一个是直二面角，那么其他三个二面角的大小如何？定义:如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。记作α⊥β思考2:如何定义两个平面的垂直呢？αβ探究:如何判断两个平面是否垂直？思考4:如图，∠AOB为直二面角α-l-β的平面角，那么直线AO与平面α的位置关系如何？αβABOl思考5:在二面角α-l-β中，直线m在平面β内，如果m⊥α，那么二面角α-l-β是直二面角吗？αβmlaαβaA面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．⊥面BCD，BC⊥CD，请问有哪些平面互相垂直,为什么ABCD例1如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBCPABCO平面与平面垂直的性质234复习αβlαβlγ两个平面相互垂直三个平面两两垂直两个平面垂直的判定定理：αβl如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．1黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？αβ思考？2如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？AA1BCDB1C1D13.设，,垂足为B，那么直线AB与平面

的位置关系如何？为什么？αβABDCE思考？两个平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直αβaAl若α⊥β，过平面α内一点A作平面β的垂线a，那么垂线a与平面具有什么样的位置关系BαβA思考？B’反证法证明点B在两个平面的交线上注意：过一点只能作一条直线垂直于已知平面结论BαβA如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面内αβAba解：设l在α内作直线b⊥l先独立思考，可以和同桌互换意见，规范语言，写出证明过程。初步应用练习：1、下列命题中错误的是（）A如果平面⊥平面,那么平面内一定存在直线平行于平面

B如果平面⊥平面,那么平面内所有直线都垂直于平面

C如果平面不垂直于平面，则平面内一定不存在直线垂直于平面

D如果平面、都垂直于平面M，且与交于直线a，则a⊥平面MαβαβαββββαααββααB2、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（）个①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面。A、3B、2C、1D、0B例14如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2，,侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.PABCDE4过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面。√××√①线在平面内；②线垂直于交线。定理关键点：ab已知：两个平面与互相垂直，判断下列命题是否