三角形全等的综合题

三角形全等的综合题蔡店中学刘福兴编辑如图，NMFEDCBA12，∠B＝∠CAE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN；其中正确的结论是_____________________.(把正确结论的序号都填上)△AFN≌△AEM？①②③证明简单的几何不等式2、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE、DF分别为∠ADB、∠ADC的平分线，连结EF.求证：EF<BE+CF分析：由所证不等式容易联想到三角形中两边之和大于第三边，但由于BE、EF并不在同一个三角形中，故考虑设法转化到同一个三角形中去，利用证明全等，可以实现线段的转化。

DABCEF

在△BDG与△GDE中，

DG=DB,∠1=∠2ED=ED(公共边）

所以

△BDE≌△DEG(SAS)所以BE=EG（全等三角形对应边相等）证明：在AD上截取DG=DB,连结EG、GFG同理可证GF=CF因为在△GEF中，EF<GE+GF,所以EF<BE+CFDABCEF证明线段和的问题分析：在AB上截取AE＝AC，构造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只要证DE＝BE问题便可以解决．3、（呼和浩特市）如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求证：AB＝AC＋CD．

ABDC12证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE．

因为

AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，所以△AED≌△ACD

(SAS)所以

DE＝DC，∠AED＝∠C．

所以

EB＝ED，即ED＝DC，

所以

AB＝AC＋DC．（全等三角形对应边、对应角相等）因为∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B，所以

2∠B＝∠B＋∠EDB．即∠B＝∠EDB．

证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容．剖析：证明线段垂直或平行4、已知：如图，AB＝AE，

B＝

E，BC＝DE，F是CD的中点．求证：AF⊥CD．

所以AC＝AD，又F是CD的中点，CF＝DF，AF＝AF，所以

ACF≌

ADF（SSS）．所以

ABC≌

AED（SAS）ABCDEF证明：连结AC、AD在

ABC和AED中所以

AFC＝

AFD．

AFC＝90°（平角的一半）．即AF⊥CD（垂直定义）．

添辅助线是证几何题中常用的手法，此题通过连结两点得线段，构造出与这两条线段有关的两个三角形，使已知条件和所需证明的“结论”（或“需知”）都与这两个三角形有联系，从而使问题顺利解决．说明：5、

已知：如图，A、B、C、D在同一条直线上，BE∥FC,BE=FC,AB=DC.

求证：AF∥ED分析：要证明AF∥ED，须证明

A＝

D，要证明

A与

D相等，只需证明

AFC和

DEB全等即可

ABCDFE证明：因为BE∥FC，所以

1＝

2，ABCDFE12因为AB=DC所以AB+BC=DC+BC,即AC=DB在

AFC和

DEB中，AC=DB

1＝

2BE=CF所以

AFC≌

DEB(SAS)所以

A＝

D

（全等三角形对应角相等）所以AF∥ED

（内错角相等，两直线平行）

6、（荆门市）如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．分析

要求证的两条线段AC、BF不在两个能够全等的三角形中，因此证AC＝BF困难，考虑能否通过辅助线把AC，BF转化到一个三角形？由已知AD是中线，在三角形中有中线问题常采用中线加倍的辅助，延长AD到H，使DH＝AD．连结BH，通过三角形全等和等线段代换即可证出．ABCDEF证明：延长AD到H，使DH＝AD，连结BH，因为AD是△ABC的中线，

所以BD＝DC，

又因为∠BDH＝∠CDA，DH＝AD，

所以△BDH≌△CDA．（SAS)所以BH＝CA，∠H＝∠DAC，又AE＝EF，所以∠AFE＝∠BFD，又AFE＝∠BFD，

所以∠H＝∠BFD．

所以BH＝BF．所以BF＝AC

剖析

在解平面几何题时，常需要添加辅助线，画辅助线的作法千变万化，比较灵活，但也有一些规律．比如在三角形中，有中线常采用“倍长中线”的辅助线，构造出全等三角形，再根据全等三角形的性质实现相等线段的代换，从而达到证题的目的．又例如证明线段的和、差、倍