高考数学三轮冲刺卷：数列模型的实际应用问题（含答案）

高考数学三轮冲刺卷：数列模型的实际应用问题一、选择题（共20小题；）1.根据2020年央行商业贷款基准利率的有关规定：一年以下（含一年）年利率为4.35%；一至三年（含三年）利率为4.75%，三至五年（含五年）利率也为4.75%，五年以上利率为4.9%；某人向银行贷款100万元，按年计复利的话，五年后一次性还清，则需要还款   A.100+100×5×4.75%万元 B.100×1+4.75% C.100+100×5×4.9%万元 D.100×1+4.9%2.某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林   A.14400亩 B.17280亩 C.20736亩 D.172800亩3.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．在龙门石窟的某处“浮雕象”共有7层，每一层的数量是它下一层的2倍，这些“浮雕象”构成一幅优美的图案．已知该处共有1016个“浮雕象”，则正中间那层的“浮雕象”的数量为   A.508 B.256 C.128 D.644.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯   A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏5.古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要   A.6天 B.7天 C.8天 D.9天6.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，身上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为   A.6766 B.6566 C.667.某厂在2002年底制定生产计划，要使2012年底的总产量在2002年底的基础上翻两番，则年平均增长率为   A.112−1 B.102−18.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少?该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还粟   A.253升 B.503升 C.5079.《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等?意思是今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为（结果精确到0.1，参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771 A.2.2天 B.2.4天 C.2.6天 D.2.8天10.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为   A.180里 B.170里 C.160里 D.150里11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A.32f B.32212.《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②．逐节多三分③，逐圈少分三④．一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远?”（注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺）问：此民谣提出的问题的答案是   A.61.395尺 B.61.905尺 C.71.705尺 D.73.995尺13."神六飞天，举国欢庆"，据科学计算，运载“神舟六号”飞船的“长征二号”系列火 箭，在点火1分钟通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在达到离地面240  A.10分钟 B.13分钟 C.15分钟 D.20分钟14.某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为   A.5 B.7 C.9 D.1115.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为   A.133升 B.176升 C.19916.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”则该问题的答案是   A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏17.我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙．大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍．小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半．如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第   A.3天 B.4天 C.5天 D.6天18.某地区在六年内第x年的生产总值y（单位：亿元）与x之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是   A.第一年到第三年 B.第二年到第四年 C.第三年到第五年 D.第四年到第六年19.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100 A.440 B.330 C.220 D.11020.一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2 B，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原的2倍，若该病毒占据64 MB内存（1 MB A.45 B.44 C.46 D.47二、填空题（共5小题；）21.夏季某高山上的温度从山脚起，每升高100米降低0.7 ∘C，已知山顶处的温度是14.8 ∘22.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则第二天走了

里路．23.有一种计算机病毒可以通过电子邮件进行传播，如果第一轮被感染的计算机数是1台，并且以后每一台已经被感染的计算机都感染下一轮未被感染的3台计算机，则至少经过

轮后，被感染的计算机总数超过2000台．24.某地区森林木材存有量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木材量为110a，设an为第n年末后该地区森林木材存量，则a25.对任何正整数k，记f1k为k的各位数字的平方和，对n≥2有fnk=三、解答题（共5小题；）26.某区为推动教育现代化，计划从2012年至2016年为中小学每年新购置的电脑台数均按25%的比率增长．其中2014，2015年两年新购置的电脑数之和为1800，该区2016年为中小学新购置的电脑台数为多少?27.某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设fn表示前n （fn=前n年的总收入−前n年的总支出（1）该厂从第几年开始盈利?（2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算?28.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日这一天到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上学时（18岁的生日不再存入）将所有存款（含利息）全部取出，请你为这对夫妇算一算，能取回的钱的总数是多少?29.已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：m（1）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：（2）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少?（计算时取1.130.在定期自动转存模型下，（1）如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和，试求出储户n年后所得的本利和公式；（2）如果存入1万元定期存款，存期1年并自动转存，年利率为3.5%，那么5年后共得本利和多少万元?答案1.B 2.B 【解析】第一年造林10000亩，则第二年造林10000⋅1+20%=12000（亩），第三年造林为120001+20%3.D 【解析】根据题意，可知从最下层往上“浮雕象”每层的数量构成一个公比为2等比数列an设最下层的浮雕数量为a1，则由S7=所以正中间那层为第4层，其“浮雕象”的数量a44.B 【解析】方法一：设从上往下数第n层的灯盏数量为an，前n层的灯盏数量和为S由题意知，an为公比为2的等比数列，且S所以S7=a11−故选B．方法二：设塔顶的a1盏灯，由题意an是公比为所以S7解得a1故选：B．5.C 【解析】由题意知，这是一个等比数列问题，已知等比数列an的公比9=2S5=5，求因为a1所以a1所以5312n所以n≥8．故选C．6.A 【解析】设此等差数列为an，公差为d>0由题意得：a1+a即4a解得a1所以a57.D 【解析】设2002年底的总产量为a，年平均增长率为x，则4a=a1+x所以1+x10所以x=108.D 【解析】因为5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为a1，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且S3则a123所以马主人要偿还的量为a29.C 【解析】设蒲的长度组成等比数列an，其a1=3，公比为12，其前n项和为莞的长度组成等比数列bn，其b1=1，公比为2，其前n项和为B由题意可得，61−整理得，2n+62n所以n=log所以蒲、莞长度相等大约需要2.6天．10.C 【解析】根据题意，设此人每天所走的路程为数列an，其首项为a1，即此人第一天走的路程为又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则an是以为a1首项，又由S6=315，即有解得：a111.D 【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：1212.A 【解析】因为每竹节间的长相差0.03尺，设从地面往上，每节竹长为：a1，a2，a3，⋯所以an是以a1=0.5由题意知竹节圈长，后一圈比前一圈细，1分3厘米即0.013尺，设从地面往上，每节节圈长为b1，b2，b3，⋯由bn是以b1=1.3所以一蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是：S30故答案选：A．13.C 14.C 【解析】方法一：因为随着n的增大，Sn在增大，要使Snn取得最大值，只要让随着n的增大Sn+1−Sn的值超过Sn+1−S1n（平均变化）的加入即可，Sn+1−S方法二：假设Smm是Snn取的最大值，所以只要Smm>Sm+1m+1即可，也就是Sm−0m−0>Sm+1−015.B 16.B 17.B 【解析】由题意：大老鼠与小老鼠每天走的路程为等比数列，则有：大鼠：q=2，前n天共走了Sn小鼠：q=12，前n天共走了若墙厚度10尺⇒S2n−1+2−1n=3时23n=4时24至少第4天．18.A 【解析】设年平均增长率为P，an为第n年的生产总值，因为an1+P2=an+2，所以P=an+2an19.A 【解析】设该数列为an，设bn=an−1由题意可设数列an的前N项和为SN，数列bn的前n项和为T可知当N为nn+12时n∈N+，数列an的前N项和为数列b容易得到N>100时，n≥14，A项，由29×302=435，440=435+5，可知B项，仿上可知25×262=325，可知S330C项，仿上可知20×212=210，可知S220D项，仿上可知14×152=105，可知S110方法二：由题意可知：20⏟第一项，20,21根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21−1，22−1，23每项含有的项数为：1，2，3，⋯，n，总共的项数为N=1+2+3+⋯+n=1+n所有项数的和为Sn由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将−2−n则①1+2+−2−n=0，解得：n=1，总共有1+1×1②1+2+4+−2−n=0，解得：n=5，总共有1+5×5③1+2+4+8+−2−n=0，解得：n=13，总共有1+13×13④1+2+4+8+16+−2−n=0，解得：n=29，总共有1+29×29所以该款软件的激活码为440．20.A 【解析】因为开机时占据内存2 B，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原的2倍，所以3分钟后占据内存22 B，两个3分钟后占据内存23 B，三个3分钟后占据内存24 B，故n个21.1600米22.96【解析】由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为12的等比数列，则a11−12623.7【解析】假设第n轮被感染的计算机为an台，则第n+1轮被感染的计算机数为an+1=