随机地震动模型的新发展

随机地震动模型的新发展

随机地震动模型的建立由于地震、震源机制、传播路径和场地条件的复杂性，观测地震加速度过程具有显著的随机性。为了发展用于结构分析的随机地震动模型,已经进行了大量的工作,其中较典型的是Kanai-Tajimi功率谱模型及其各种修正模型。从根本上讲,功率谱模型是地震动的矩函数描述,难以反映地震动随机过程蕴涵的丰富概率信息。为了解决这一难题,文献在频域内建立了随机地震动的Fourier幅值谱模型,并将相位谱的随机性通过初相角的随机性来表示,提出了基于物理的随机地震动模型。沿着这一思路进一步展开研究,本文建立了较为完整的地震动随机函数模型。基于随机过程的随机函数解释,我们建立了地震动的随机函数模型。该模型由两部分组成,即Fourier幅值谱模型和Fourier相位谱模型。其中,幅值谱模型基于拟加速度谱概念建立,具有物理意义明确、形式简洁等优点;相位谱模型则借助于累积相位谱的单值连续特性,以线性多项式与三角级数组合的形式给出。为了验证模型的正确性,进行了实测记录与模拟记录的波形与反应谱对比。本文第I部分论述了模型的建立过程,有关模型参数统计与验证工作在本文第II部分给出。1随机地震动模型形式在数学上,随机过程存在两种表达形式,一种是有限维概率分布函数表示法,另一种是随机函数表示法。下面分别予以阐述。(1)如果对于t∈T的每个有限集{t1,t2,…,tn},有相应的随机变量的集合x(t1),x(t2),…,x(tn),它们有联合概率分布函数:Fx1x2⋯xn(X1,X2,⋯,Xn)=Ρ{x1≤X1∩x2≤X2∩⋯∩xn≤Xn}(1)Fx1x2⋯xn(X1,X2,⋯,Xn)=P{x1≤X1∩x2≤X2∩⋯∩xn≤Xn}(1)则这族联合概率分布函数定义了一个随机过程x(t),t∈T。获得随机过程x(t)的联合概率分布函数是相当困难的。所以,在大量实际问题中,人们往往不得不退而求其次,只研究随机过程的一阶和二阶统计量。现有的随机地震动模型大多是以功率谱密度来表示的,经典的Kanai-Tajimi谱模型及其各种改进模型是这种反映方式的代表。(2)设随机试验的样本空间为S,如果对于每一个试验结果ξ∈S,有一个确定的函数X(t)=X(t,ξ)(t∈T),从而对于所有的ξ∈S,可以得到一族定义在T上的关于参数ξ的样本函数集,则X(t,ξ)称为随机函数。本文的研究即以定义2为出发点,尝试寻找具有解析函数表达形式的随机地震动模型。2加速度时程曲线的简单描述地震动加速度时程在数学表征上具有显著的复杂性,迄今为止,人们还很难直接以简单的数学函数描述地震地面运动的加速度时程曲线。鉴于傅里叶变换的时频域等效性,启发我们将时域内的复杂问题转换到频域来建立数学模型。2.1加速度的估计模型计算简图见图1。假设以基底白噪声输入场地土层,¨z+2ξgωg˙z+ω2gz=-¨z0(2)z¨+2ξgωgz˙+ω2gz=−z¨0(2)可得到场地相对位移解为Ζ(iω)Ζ0(iω)=ω2ω2g-ω2+2ξgωg(iω)(3)Z(iω)Z0(iω)=ω2ω2g−ω2+2ξgωg(iω)(3)土层顶部的绝对加速度可以表示为相对速度的形式,即{f=¨z0+¨zf=ωg˙z(4){f=z¨0+z¨f=ωgz˙(4)因此拟加速度相对于基底白噪声的传递函数可以表示为,Η(iω)=ωg(iω)⋅Ζ(iω)-ω2Ζ0(iω)=ωg(iω)ω2-ω2(ω2g-ω2+2ξgωg(iω))(5)|Η(iω)|2=ω2gω2(ω2g-ω2)2+4ξ2gω2gω2(6)H(iω)=ωg(iω)⋅Z(iω)−ω2Z0(iω)=ωg(iω)ω2−ω2(ω2g−ω2+2ξgωg(iω))(5)|H(iω)|2=ω2gω2(ω2g−ω2)2+4ξ2gω2gω2(6)相应的幅值谱可以表示为,F(ω)=ωgω√(ω2g-ω2)2+4ξ2gω2gω2⋅S0(7)F(ω)=ωgω(ω2g−ω2)2+4ξ2gω2gω2√⋅S0(7)对大量实际地震动的幅值谱以本文模型进行了参数识别,结果显示模型具有较好普适性。表1给出了两条实际地震动幅值谱模型参数识别的结果以及参数的0.95置信区间,图2和图3给出了两个地震动幅值谱及模型幅值谱的对比及其对波形结构的影响。2.2相位谱模型的建立相位谱研究的难点在于相位谱自身剧烈变化和规律性的缺失,从而很难对相位谱进行数学上的描述。图4给出了一个强震记录的相位谱曲线形式。在早期的研究中,曾建议以一个[0～2π]均匀随机分布的随机数模型来表示相位谱的随机分布。但是这样生成的相位谱与真实相位谱的差异非常大。即使在使用真实幅值谱的情况下,由此相位谱模型合成的地震动与真实地震动比较也几乎没有相似性。为此,20世纪70年代末以来,进行了一系列地震动记录相位差谱的研究。提出了多种概率分布模型,包括,Y.Ohsaki,TetsuoKubo的正态分布模型;朱昱、冯启民的对数正态分布模型;以及HjoturThrainsson,AnneS.Kiremidjian提出的β分布模型。然而,相位差谱分布是一种概率意义上的数学表示方法,对于一种分布形式,存在无数种相位组合形式,所以无法实现相位谱的唯一性建模。注意到在相位主值基础上加减2kπ,并不影响三角函数的计算结果,因此用相位谱的主值等价表示累积相位谱。Shrikhande&Gupta最早将累积相位谱概念用于地震动的合成,通过对原始记录累积相位谱进行分段线性拟合,达到了人工波与原始记录相似的目的。本文基于累积相位谱单调、连续的优点建立了地震动的Fourier相位谱模型。累积相位谱可由Schafer算法得到:如果相位谱的采样率足够密,以至于任意两个采样点的变化小于π,可以对相位主值P(k)附加一个修正项C(k),其中因此,φ(k)=Ρ(k)+C(k)(9)φ(k)=P(k)+C(k)(9)按上述方式定义的相位函数通常称为x(n)的相位展开(或累积相位谱)。图5给出了由相位主值向累积相位谱转换的算法示意图。以上述算法计算了4个地震动(分别是ElCentro波,Northridge波,Kobe波和Taft波)的累积相位谱(见图6)。可以看出累积相位谱显示出良好的趋势性。对大量强震记录累积相位谱分析表明:除少量地震动的相位谱曲线线性趋势不明显外,大部分记录的相位谱均表现出了较明显的线性变化趋势。所以,在相位谱模型中引入线性多项式项是显然的。但仔细观察真实地震记录的相位谱可以发现上面都附带着小的波动,这些波动可以低频正弦波来描述。因此,相位谱模型可以写为:Φ=Ρ1f+Ρ2+Ρ3sin(Ρ4f)+Ρ5sin(2Ρ4f)+Ρ6sin(3Ρ4f)+Ρ7sin(4Ρ4f)+Ρ8sin(5Ρ4f)(10)Φ=P1f+P2+P3sin(P4f)+P5sin(2P4f)+P6sin(3P4f)+P7sin(4P4f)+P8sin(5P4f)(10)式中,Φ为累积相位谱,f为频率,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8为待定系数,需要对真实记录相位谱进行参数识别得到。图7(a)给出了Livermore记录累积相位谱与模型相位谱的拟合示意图,图7(b)、7(c)给出了真实记录与模拟记录的比较,其中模拟记录为真实记录幅值谱与模型相位谱的结合。图8给出了SuperstitionHills强震记录的相位谱模型及真实记录与模拟记录对比的结果。与原始波形对比,可以看出本文方法能够反映原始波形结构的主要特征,如峰值加速度、波峰波谷的数量以及相互之间排列的疏密和相对位置。表2给出了相应的相位谱参数识别结果。应该注意模拟记录幅值谱使用了原始记录得到的幅值谱,之所以这样做,是为了更好地验证由于相位谱模型带来的差异,减小由于采用幅值谱模型所带来的差异。3各参数构造固定参数综上所述,地震动随机过程X(→ξξ⃗,t)可以随机函数模型表示之,即式中,→ξ=(→λ1,→λ2)Τξ⃗=(λ⃗1,λ⃗2)T、→λλ⃗1和→λλ⃗2为模型中涉及的随机参数向量。F(→λλ⃗1→λλ⃗2,ω)具体可以表示为F(→λ1,→λ2‚ω)=|F(→λ1‚ω))|eiφ(→λ2‚ω)(12)F(λ⃗1,λ⃗2‚ω)=|F(λ⃗1‚ω))|eiφ(λ⃗2‚ω)(12)其中:F(→λ1‚ω)=F(ωg,ξg,Sg,ω)=ωgω√(ω2g-ω2)2+4ξ2gω2gω2Sg(13)φ(→λ2‚ω)=φ(Ρ1,Ρ2,⋯,Ρ8,ω)=Ρ1ω+Ρ2+Ρ3sin(Ρ4ω)+Ρ5sin(2Ρ4ω)+Ρ6sin(3Ρ4ω)+Ρ7sin(4Ρ4ω)+Ρ8sin(5Ρ4ω)(14)模型中的随机参数ωg,ξg,Sg,P1,P2,…,P8可由强震记录通过参数识别和分布函数识别得到。4不同强震记录的模拟对比前文已经分别对Fourier幅值谱模型和相位谱模型的正确性进行了验证,然而在实际应用中需要将幅值谱模型和相位谱模型结合在一起使用,因此,对上述模型进行综合验证是必要的。另外,本文提出的模型是否具有普适性,能否对千差万别的地震动都给出较好的描述,也是模型是否实用的关键。图9～图13给出了由Fourier幅值谱模型与Fourier相位谱模型相结合给出的模拟地震记录,原始强震记录一并给出以便于在时域内比较模型记录与真实记录的相似性。与此同时,给出了模型记录与真实记录加速度反应谱的比较。对比结果显示,本文模型给出的时程较好地实现了对真实强震记录的模拟,同时在反应谱层次上亦给出了满意的结果。应该注意到,上述5幅图中的地震动形式差别很大,图9中的地震动能量较密集,强震段较短;图10中地震动能量分布较分散,强震段较长;图11中的地震动的强度非平稳性非常明显;图12中的地震动长周期脉冲明显;图13中地震动能量主要集中于两个主要脉冲之中。本文模型对于不同形式的地震动均表现出了良好的相似性,这也在一定程度上验证了模型的普适性。5furing型相关系