线性代数试题及答案

第一部分选择题(28分一、单项选择题（14228分）在每小题列出的四个选项中只有 a12 a12 12

a21a10

a21a22+a-D.m-

A02000 0

等于

1 1

1

2

0 1 011

0

0 2

设矩阵A=

-1，A*是A的伴随矩阵，则A*中位于（1，2）的元素是 4 B.C. D.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有 A B.BCC.A„0时 D.|A|„0时已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于 A. B.C. D.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则 0的数λ1，λ2，…，λs使0的数λ1，λ2，…，λs0的数μ1，μ2，…，μs使λsαs=0和设矩阵A的秩为r，则A中 A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于 D.所有r阶子式都不为设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是 η1+η2是Ax=0的一个 B.1η1+1η2是Ax=b的一个 C.η1-η2是Ax=0的一个 D.2η1-η2是Ax=b的一个设n阶方阵A不可逆，则必有 秩 设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是 如存在数λ和向量αAα=λα，则αA的属于特征值λ如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是AA2如λ1，λ2，λ3A3个互不相同的特征值，α1，α2，α3A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必 B.C. D.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是 C.A- D.A的行（列）设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则 A.ABBABCABD.AB 2 3 3 0

211 0- 5

1210第二部分非选择题（72分二、填空题（10220分）不写解答过程，将正确的答案写在每 6 925设A=1-11 3.则 ，B= 1

-1-2A=(aij)3×3|A|=2Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）, 设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则 设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它 设A是m×n矩阵，A的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个 设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α- 设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值 设矩阵A= 6，已知α=2是它的一个特征向量，则α所对应的特征 -3-

-2 8

设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形 三、计算题（7642分 2

3-设A=

0，B-2 .求（1）ABT（2）|4A|. 0-121

-4 2设矩阵A=

0B-12 1 3 010 22 32 44 3 4 9试判断α4是否为α1，α2，α3 -2-1 2- 6-A

3 4（A；（2）A

2 f(x1,x2,x3)=x2+2x2-3x2+4xx-4xx-4xx 1 1 2四、证明题（2510分AA3=0E-A可逆，且（E-A）-设η0Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2Ax=0的一个基础解系η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2Ax=bη0，η1，η215. 4

-3η1)，cn-212

三、计算题（7642分 20 解

T 4AB= 4 0 =1810 2|A|= 40=-2-12所以|4A|=64（-2）=- -1= 511=-10511=-2511=-20=0-5-

=30+10= AB=A+2B即（A-2E）B=A， -4-（A-2E）-

-1 = -5 B=(A-2E)-1A

4-4-3 2 -5- 1

1 4-12 -8-=

-9--2 9 0 0- 解一

fi

2

9

0

-11 5 1030 2 fi

fi0110 8

001 00-14- 000100 fi010 01000解二考虑-2x1+x2+3x3=x1-3x2=-即2x2+2x3=3x1+4x2-x3=解A1-2-1 2 fi

-22

- -

2--

--

1 2-fi-fi006fi0030070000

（2）ABB是阶梯形，B1、2、4列是BA1、2、4A的列向量组的一（A1、2、51、3、41、3、5列也是 5/55/5/3经正交标准化，得η1=-5/5，η2= λ=-81

1/3ξ=2，经单位化得η= 3

32/3 25/5215/ 1/3所求正交矩阵为T1 0

5/ 45/ 2/3 5/ 对角矩阵D=0 0 00-25/5215/ 1/3

-5/ 2/35/ -45/15-2/ 333=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x3y1=x1+2x2-2x x1=y1-2y设 y x- ，即x y+ 1-2

x3 因其系数矩阵C=

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