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第十五章傅立叶级数§1傅立叶级数1．在指定区间内把下列函数展开成傅立叶级数：（1）f(x)=x(i)-<x<(ii)0<x<2;(2)f(x)=x2(i)-<x<(ii)0<x<2;(3)ax-<x<0f(x)=(a,b为不等于0的常数，且ab)bx0<x<2.设f是以2为周期的可积函数，证明对任何实数c有3.把函数--<x<0f(x)=0展开成傅立叶级数，并由它推出（1）（2）（3）4．设函数f(x)满足条件：f(x+)=-f(x),问此函数在（-，）的傅立叶级数满足什么特性。5．函数f(x)满足条件：f(x+)=f(x),问此函数在（-，）的傅立叶级数满足什么特性？6．试证函数系cosnx,n=0,1,2….和sinnx,n=1,2,…都是[0，]上的正交函数系，但它们合起来的（5）式不是[0，]上的正交函数系。7．求下列函数的傅立叶展开式：（1）；（2）-<x<;(3)f(x)=ax2+bx+c,(i)0<x<2(ii)-<x<(4)f(x)=chx,-<x<(5)f(x)=shx,-<x<8.求函数f(x)=,0<x<2的傅立叶级数展开式，并应用它推出。9．设f为[-，]上光滑函数，且f(-)=f(),为f的傅立叶级数，an’，bn’为f的导函数f‘的傅立叶系数。证明：，。（n=1,2,…）10.设f为[-，]上的光滑函数，且f(-)=f()，证明：，（.11.证明：若三角级数中的系数满足关系，M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数。§2以2l下列周期函数的傅立叶级数展开式：（1）f(x)=|cosx|;(2)f(x)=x-[x];(3)f(x)=sin4x;(4)f(x)=sgn(cosx).求函数xf(x)=11<x<23-x的傅立叶级数并讨论其收敛性。将函数f(x)=在[0，]上展开成余弦级数。将函数在[0，]上展开正弦级数。把函数1-x,f(x)=x-3,2<x<4在（0，4）上展开成余弦级数。把函数在（0，1）上展开余弦级数，并推出求下列函数的傅立叶级数展开式：（1）f(x)=arcsin(sinx);(2)f(x)=arcsin(cosx).8.试问如何把定义在[0，/2]上的可积函数f延拓到区间（-，）内，使它们的傅立叶级数为如下形式：（1）（2）§3收敛定理的证明1．设f为（-，）上以2为周期的光滑函数，证明f的傅立叶级数在（-，）上一致收敛于f.2.f为[-，]上可积函数，证明：若f的傅立叶级数在[-，]上一致收敛于f,则成立巴塞伐（parseval）等式：这里an,bn为f的傅立叶系数。由于巴塞伐等式对于在[-，]上满足收敛定理条件的函数也成立（证略）。请应用这个结果证明下列各式：（1）（2），（3）4.证明：若f,g均为[-

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