矩形的性质和判定

第4页版权所有不得复制初中数学矩形的性质和判定编稿老师巩建兵一校黄楠二校杨雪审核宋树庆【考点精讲】【典例精析】例题1如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF中点。设AM的长为x，试求x的最小值。思路导航：根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四边形AEPF是矩形，所以AM＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(1,2)AP，在Rt△ABC中利用AP求出x的最小值。答案：解：连接AP，∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2＋AC2＝36＋64＝100，BC2BAC＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∵∠BAC＝90°，M为EF中点，∴AM＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(1,2)AP，当AP⊥BC时，AP值最小，此时S△BAC＝eq\f(1,2)×6×8＝eq\f(1,2)×10×AP，AP＝4.8，即x的最小值为2.4。点评：本题考查了垂线段最短，三角形面积，勾股定理的逆定理，矩形的判定等的应用，关键是求出AP的最小值和得出AM与AP的数量关系。例题2请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：如图1，已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，垂足是D，P是BC边上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：PE＋PF＝CD。证明思路：如图2，过点P作PG∥AB交CD于点G，则四边形PGDE为矩形，PE＝GD；又可证△PGC≌△CFP，则PF＝CG；所以PE＋PF＝DG＋GC＝DC。如图3，若P是BC延长线上任意一点，其他条件不变，则PE、PF与CD有何关系？请你写出结论并完成证明过程。思路导航：采用与题目相同的思路，过点C作CG⊥PE，利用矩形的性质和全等三角形的性质确定PE、PF、CD之间的关系。答案：结论：PE－PF＝CD。证明：过点C作CG⊥PE于点G，∵PE⊥AB，CD⊥AB，∴∠CDE＝∠DEG＝∠EGC＝90°。∴四边形CGED为矩形。∴CD＝GE，GC∥AB。∴∠GCP＝∠B。∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。∴∠FCP＝∠ACB＝∠B＝∠GCP。在△PFC和△PGC中，∠F＝∠CGP＝90°，∠FCP＝∠GCP，CP＝CP，∴△PFC≌△PGC（AAS）。∴PF＝PG。∴PE－PF＝PE－PG＝GE＝CD。点评：本题通过构造矩形和三角形全等，利用矩形和全等三角形的判定和性质求解。解答这类阅读理解问题，读懂题目提供的解题思路是解题关键。例题3如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，F为BA延长线上的一点，**7.如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG。（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点O所在位置应满足什么条件？说明理由。

1.D解析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形。2.C解析：如图，连接BD。∵在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2，即∠ABC＝90°。又∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴四边形EDFB是矩形，∴EF＝BD。∵BD的最小值为直角三角形ABC斜边上的高，eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)AB·AC，∴BD＝4.8，∴EF的最小值为4.8，故选C。3.D解析：作△ABC的高CQ，AH，过C作CZ⊥DE，交ED的延长线于点Z，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，根据勾股定理得：AH＝4，根据三角形的面积公式得：eq\f(1,2)BC•AH＝eq\f(1,2)AB•CQ，即：6×4＝5CQ，解得：CQ＝eq\f(24,5)，∵CQ⊥AB，DE⊥AB，CZ⊥DE，∴∠CQE＝∠QEZ＝∠Z＝90°，∴四边形QEZC是矩形，∴CQ＝ZE。再证明△ZCD≌△FCD，得DF＝DZ，∴DE＋DF＝CQ＝eq\f(24,5)。4.10解析：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中点。∴DE＝eq\f(1,2)AC（直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半）；又∵DE＝5，AB＝AC，∴AB＝10。5.2eq\r(,3)解析：∵AF＝BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，∴DF为三角形ABC的中位线，∴DE∥BC，DF＝eq\f(1,2)BC，又∠ADF＝90°，∴∠C＝∠ADF＝90°，又BE⊥DE，∴∠E＝90°，∴四边形BCDE为矩形，∵BC＝2，∴DF＝eq\f(1,2)BC＝1，在Rt△ADF中，∠A＝30°，DF＝1，∴AD＝eq\r(,3)，∴CD＝AD＝eq\r(,3)，则矩形BCDE的面积S＝CD•BC＝2eq\r(,3)。6.证明：分别取AC、BC中点M、N，连接MD、ND，再连接EM、FN，∵D为AB中点，∠AEC＝90°，∠BFC＝90°，∴EM＝DN＝eq\f(1,2)AC，FN＝MD＝eq\f(1,2)BC，DN∥CM且DN＝EMC＋∠CMD＝∠FNC＋∠CND，即∠EMD＝∠FND，∴△EMD≌△DNF（SAS）。∴DE＝DF。7.（1）四边形DEFG是平行四边形。理由如下：∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG是△ABC的中位线；∴DG∥BC，且DG＝eq\f(1,2)BC；同理可证：EF∥BC，且EF＝eq\f(1,2)BC；∴DG∥EF，且DG＝EF，故四边形DEFG是平行四边形；（2）O在BC边的高上（