山东省郓城县2024届数学九年级第一学期期末调研模拟试题含解析

山东省郓城县2024届数学九年级第一学期期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，则旋转角度是（）A．10° B．30° C．40° D．70°2．把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，即得到抛物线（）A．y=-(x+2)2+3 B．y=-(x-2)2+3 C．y=-(x+2)2-3 D．y=-(x-2)2-33．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（）A．50° B．60° C．80° D．100°4．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是A． B． C． D．5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）过A（－3，0），B（1，0），C（－5，y1），D（5，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1>y2 B．y1＝y2 C．y1<y2 D．不能确定6．如图，是的直径，点在上，，则的度数为（）A． B． C． D．7．如图，在矩形中，于，设，且，，则的长为（）A． B． C． D．8．下列各点中，在函数y=－图象上的是（）A．（﹣2，4） B．（2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（8，1）9．如图所示，∆ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cosB=()A． B． C． D．10．设A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数图象上的两点．若x1＜x2＜0，则y1与y2之间的关系是（

）A．y1＜y2＜0

B．y2＜y1＜0

C．y2＞y1＞0

D．y1＞y2＞0二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在△ABC中，BC=12，BC上的高AH=8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE，矩形DEFG的面积为，那么关于的函数关系式是______．（不需写出x的取值范围）．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，在点O的异侧将△OAB缩小为原来的，则点B的对应点的坐标是________.13．已知二次函数的顶点坐标为，且与轴一个交点的横坐标为，则这个二次函数的表达式为__________．14．如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为______．15．等腰三角形的底角为15°，腰长为20cm，则此三角形的面积为．16．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝6，∠D＝30°，点E是AB边的中点，点F是BC边上一动点，将△BEF移沿直线EF折叠，得到△GEF，当FG∥AC时，BF的长为_____．17．已知抛物线y＝（1﹣3m）x2﹣2x﹣1的开口向上，设关于x的一元二次方程（1﹣3m）x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，若﹣1＜x1＜0，x2＞2，则m的取值范围为_____．18．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解_____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图1，在中，是的直径，交于点，过点的直线交于点，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，试求的长；（3）如图2，点是弧的中点，连结，交于点，若，求的值．20．（6分）如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数()的图象交于,两点,已知点坐标为.（1）求一次函数和反比例函数的解析式;（2）连接,,求的面积.21．（6分）如图，△ABC中，∠BAC=120o，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60o后到△ECD的位置．若AB=6，AC=4，求∠BAD的度数和AD的长.22．（8分）感知：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝m，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，连接CD．（1）求证：△ACB≌△BED；（2）△BCD的面积为（用含m的式子表示）．拓展：如图②，在一般的Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝m，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含m的式子表示△BCD的面积，并说明理由．应用：如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，则△BCD的面积为；若BC＝m，则△BCD的面积为（用含m的式子表示）．23．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．24．（8分）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根；（2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（3）若抛物线与直线相交于，两点，写出抛物线在直线下方时的取值范围．25．（10分）如图，抛物线（）与双曲线相交于点、，已知点坐标，点在第三象限内，且的面积为3（为坐标原点）.（1）求实数、、的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在请求出所有的点的坐标，若不存在请说明理由.（3）在坐标系内有一个点，恰使得，现要求在轴上找出点使得的周长最小，请求出的坐标和周长的最小值.26．（10分）计算的值.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】由旋转的性质可得旋转角为∠AOC＝70°．【题目详解】解：∵∠AOB＝40°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝70°，∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，∴旋转角为∠AOC＝70°，故选：D．【题目点拨】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是熟练掌握旋转的意义和性质，能够有旋转的性质得到相等的角.2、D【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可.【题目详解】抛物线向右平移个单位，得：，再向下平移个单位，得：.故选：.【题目点拨】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.3、D【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．【题目详解】圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.故选D．【题目点拨】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4、A【解题分析】试题分析：根据一元二次方程的意义，可知a≠0，然后根据一元二次方程根的判别式，可由有实数根得△=b2-4ac=1-4a≥0，解得a≤，因此可知a的取值范围为a≤且a≠0.点睛：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是根据一元二次方程根的个数判断△=b2-4ac的值即可.注意：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的十数根；当△＜0时，方程没有实数根.5、A【分析】根据二次函数图象的对称轴位置以及开口方向，可得C（－5，y1）距对称轴的距离比D（5，y2）距对称轴的距离小，进而即可得到答案．【题目详解】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）过A（－3，0），B（1，0），∴抛物线的对称轴是：直线x=-1，且开口向下，∵C（－5，y1）距对称轴的距离比D（5，y2）距对称轴的距离小，∴y1>y2，故选A．【题目点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握用抛物线的轴对称性比较二次函数值的大小，是解题的关键．6、B【分析】连接AC，根据圆周角定理，分别求出∠ACB=90，∠ACD=20，即可求∠BCD的度数．【题目详解】连接AC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠AED=20°，

∴∠ACD=∠AED=20°，

∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+20°=110°，

故选：B．【题目点拨】本题考查的是圆周角定理：①直径所对的圆周角为直角；②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7、C【分析】根据矩形的性质可知：求AD的长就是求BC的长，易得∠BAC=∠ADE，于是可利用三角函数的知识先求出AC，然后在直角△ABC中根据勾股定理即可求出BC，进而可得答案.【题目详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BAC=90°，BC=AD，∴∠BAC+∠DAE=90°，∵，∴∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAC=，在直角△ABC中，∵，，∴，∴AD=BC=.故选：C.【题目点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理和解直角三角形的知识，属于常考题型，熟练掌握矩形的性质和解直角三角形的知识是解题关键.8、A【分析】所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．本题只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8的，就在此函数图象上【题目详解】解:-2×4=-8故选:A【题目点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数性质是本题的解题关键．9、C【分析】先设小正方形的边长为1，再建构直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义求解即可；【题目详解】解：如图，过A作AD⊥CB于D，设小正方形的边长为1，则BD=AD=3，AB=∴cos∠B=；故选C.【题目点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理是解题的关键.10、B【解题分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x1＜0即可得出结论．【题目详解】∵反比例函数中，k=1>0，∴函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，∵x1＜x1＜0，

∴0>y1＞y1．故选：B【题目点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、；【分析】根据题意和三角形相似，可以用含的代数式表示出，然后根据矩形面积公式，即可得到与的函数关系式．【题目详解】解：四边形是矩形，，上的高，，矩形的面积为，，，，得，，故答案为：．【题目点拨】本题考查根据实际问题列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12、(－2，)【分析】平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心且在点O的异侧，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于解答．【题目详解】以O为位似中心且在点O的异侧，把△OAB缩小为原来的，

则点B的对应点的坐标为，

即，

故答案为：．【题目点拨】本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．13、【分析】已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，把（3，0）代入求出的值即可．【题目详解】设二次函数的解析式为，∵抛物线与轴一个交点的横坐标为，则这个点的坐标为：（3，0），∴将点（3，0）代入二次函数的解析式得，解得：，∴这个二次函数的解析式为：，故答案为：【题目点拨】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．14、3【解题分析】根据圆周角定理可求出∠AOB的度数，设扇形半径为x，从而列出关于x的方程，求出答案.【题目详解】由题意可知：∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，设扇形半径为x，故阴影部分的面积为πx2×＝×πx2＝2π，故解得：x1＝3，x2＝－3（不合题意，舍去），故答案为3.【题目点拨】本题主要考查了圆周角定理以及扇形的面积求解，解本题的要点在于根据题意列出关于x的方程，从而得到答案.15、100【解题分析】试题分析：先作出图象，根据含30°角的直角三角形的性质求出腰上的高，再根据三角形的面积公式即可求解．如图，∵∠B=∠C=15°∴∠CAD=30°∴CD=AC=10∴三角形的面积考点：本题考查的是三角形外角的性质，含30°角的直角三角形的性质点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；30°角的所对的直角边等于斜边的一半．16、或【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠D＝30°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝6，作CH⊥AD于H，则CH＝CD＝3，DH＝CH＝3＝AD，得出AH＝DH，由线段垂直平分线的性质得出CA＝CD＝AB＝6，由等腰三角形的性质得出∠ACB＝∠B＝30°，由平行线的性质得出∠BFG＝∠ACB＝30°，分两种情况：①作EM⊥BF于M，在BF上截取EN＝BE＝3，则∠ENB＝∠B＝30°，由直角三角形的性质得出EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，得出BN＝2BM＝3，再证出FN＝EN＝3，即可得出结果；②作EM⊥BC于M，在BC上截取EN＝BE＝3，连接EN，则∠ENB＝∠B＝30°，得出EN∥AC，EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，BN＝2BM＝3，证出FG∥EN，则∠G＝∠GEN，证出∠GEN＝∠ENB＝∠B＝∠G＝30°，推出∠BEN＝120°，得出∠BEG＝120°﹣∠GEN＝90°，由折叠的性质得∠BEF＝∠GEF＝∠BEG＝45°，证出∠NEF＝∠NFE，则FN＝EN＝3，即可得出结果．【题目详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝30°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝6，作CH⊥AD于H，则CH＝CD＝3，DH＝CH＝3＝AD，∴AH＝DH，∴CA＝CD＝AB＝6，∴∠ACB＝∠B＝30°，∵FG∥AC，∴∠BFG＝∠ACB＝30°，∵点E是AB边的中点，∴BE＝3，分两种情况：①作EM⊥BF于M，在BF上截取EN＝BE＝3，连接EN，如图1所示：则∠ENB＝∠B＝30°，∴EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，∴BN＝2BM＝3，由折叠的性质得：∠BFE＝∠GFE＝15°，∵∠NEF＝∠ENB﹣∠BFE＝15°＝∠BFE，∴FN＝EN＝3，∴BF＝BN+FN＝3+3；②作EM⊥BC于M，在BC上截取EN＝BE＝3，连接EN，如图2所示：则∠ENB＝∠B＝30°，∴EN∥AC，EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，∴BN＝2BM＝3，∵FG∥AC，∴FG∥EN，∴∠G＝∠GEN，由折叠的性质得：∠B＝∠G＝30°，∴∠GEN＝∠ENB＝∠B＝∠G＝30°，∵∠BEN＝180°﹣∠B﹣∠ENB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠BEG＝120°﹣∠GEN＝120°﹣30°＝90°，由折叠的性质得：∠BEF＝∠GEF＝∠BEG＝45°，∴∠NEF＝∠NEG+∠GEF＝30°+45°＝75°，∠NFE＝∠BEF+∠B＝45°+30°＝75°，∴∠NEF＝∠NFE，∴FN＝EN＝3，∴BF＝BN﹣FN＝3﹣3；故答案为：或．【题目点拨】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；掌握翻折变换的性质和等腰三角形的性质是解答本题的关键．17、﹣＜m＜【分析】首先由抛物线开口向上可得：1﹣3m＞0，再由1＜x1＜0可得：2＞3m，最后由x2＞2可得：1﹣3m＜，由以上三点即可求出m的取值范围．【题目详解】∵抛物线y＝（1﹣3m）x2﹣2x﹣1的开口向上，∴1﹣3m＞0，①∵﹣1＜x1＜0，∴当x＝﹣1时，y＞0，即2＞3m，②∵x2＞2，∴当x＝2时，y＜0，即1﹣3m＜，③由①②③可得：﹣＜m＜，故答案为：﹣＜m＜．【题目点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点的问题，解题时应掌握△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．18、x1＝0，x4＝﹣1．【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．【题目详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，解得x＝0或x＝﹣1．故答案为：x1＝0，x4＝﹣1．【题目点拨】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟知整体法的应用.三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）连接半径，根据已知条件结合圆的基本性质可推出，即，即可得证结论；（2）设，根据已知条件列出关于的方程、解方程即可得到圆心角，再求得半径，然后利用弧长公式即可得解；（3）由，设，然后根据已知条件利用圆的一些性质、勾股定理以及三角形的不同求法分别表示出、，再利用平行线的判定以及相似三角形的判定和性质即可求得结论．【题目详解】解：（1）连结，如图：∵是的直径∴∴∵∴∵∴∴∵在圆上∴是的切线．（2）设∵∴∴∵在中，∴∴∴∵∴∴连结，过作于点，如图：∵点是的中点∴∴设∴∴∴∵在中，∴∵，∴∴∴．故答案是：（1）证明见解析（2）（3）【题目点拨】本题考查了圆的相关性质、切线的判定、等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形的相关性质、锐角三角函数、三角形的外角性质以及弧长的计算公式等，综合性较强，但难度不大属中档题型．20、（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）6【分析】（1）由点的坐标利用一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式；（2）联立一次函数、反比例函数得方程，解方程组即可求出AB点坐标，求出直线与轴的交点坐标后，即可求出和，继而求出的面积．【题目详解】解：（1）将代入解析式与得，，，一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）解方程组得或，，设直线与轴，轴交于，点，易得，即，．【题目点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；利用分割图形求面积法求出的面积．21、AD=10,∠BAD=60°.【解题分析】先证明△ADE是等边三角形，再推出A，C，E共线；由于∠ADE=60°，根据旋转得出AB=CE=6，求出AE即可．【题目详解】解：由旋转可知：△ABD≌△ECD∴AB=EC=6,∠BAD=∠EAD=ED∵∠ADE=60°∴△ADE是等边三角形∴AE=AD∠E=∠DAE=60°∴∠BAD=60°∵∠BAC=120°∴∠DAC=60°=∠DAE∴C在AE上∴AD=AC+CE=4+6=10.【题目点拨】本题考查的知识点是旋转的性质,等边三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质,等边三角形的性质.22、感知：（1）详见解析；（1）m1；拓展：m1，理由详见解析；应用：16，m1．【解题分析】感知：（1）由题意可得CA＝CB，∠A＝∠ABC＝25°，由旋转的性质可得BA＝BD，∠ABD＝90°，可得∠DBE＝∠ABC，即可证△ACB≌△BED；（1）由△ACB≌△BED，可得BC＝DE＝m，根据三角形面积求法可求△BCD的面积；拓展：作DG⊥CB交CB的延长线于G，可证△ACB≌△BGD，可得BC＝DG＝m，根据三角形面积求法可求△BCD的面积；应用：过点A作AN⊥BC于N，过点D作DM⊥BC的延长线于点M，由等腰三角形的性质可以得出BN＝BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BN＝DM，由三角形的面积公式就可以得出结论．【题目详解】感知：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴CA＝CB＝m，∠A＝∠ABC＝25°，由旋转的性质可知，BA＝BD，∠ABD＝90°，∴∠DBE＝25°，在△ACB和△DEB中，，∴△ACB≌△BED（AAS）（1）∵△ACB≌△BED∴DE＝BC＝m∴S△BCD＝BC×ED＝m1，故答案为m1，拓展：作DG⊥CB交CB的延长线于G，∵∠ABD＝90°，∴∠ABC+∠DBG＝90°，又∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝∠DBG，在△ACB和△BGD中，，∴△ACB≌△BGD（AAS），∴BC＝DG＝m∴S△BCD＝BC×DG＝m1，应用：作AN⊥BC于N，DM⊥BC交CB的延长线于M，∴∠ANB＝∠M＝90°，BN＝BC＝2．∴∠NAB+∠ABN＝90°．∵∠ABD＝90°，∴∠ABN+∠DBM＝90°，∴∠NAB＝∠MBD．∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB＝BD．在△AFB和△BED中，，∴△ANB≌△BMD（AAS），∴BN＝DM＝BC＝2．∴S△BCD＝BC•DM＝×8×2＝16，若BC＝m，则BN＝DM＝BC＝m，∴S△BCD＝BC•DM＝×m×m＝m1故答案为16，m1．【题目点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定(AAS)，全等三角形的性质，直角三角形的性质，面积计算，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键.23、（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析.【分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；【题目详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=AF．（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF=CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠FAG=60°，∵AB=AG=AF，∴△AFG是等边三角形，∴AG=GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG=CG，∵AG=GD，∴AD=CF，∴四边形ACDF是矩形．【题目点拨】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.24、（1），；（2