全国各地高考数试题及解答分类汇编大全(13立体几何)

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学分类整理2018年高考数学试题分类汇编海南省保亭中学王生-1-第1页（共17页）2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（13立体几何）一、选择题1．（2018北京文、理）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．41．【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，，，，由勾股定理可知，，，，，则在四棱锥中，直角三角形有，，，共三个，故选C．2．（2018浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．83.答案：C解答：该几何体的立体图形为四棱柱，.3（2018上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）（A）4（B）8（C）12（D）164．（2018浙江）已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ14.答案：D解答：作垂直于平面，垂足为，取的中点，连接.过作垂直于直线，可知，，过固定下的二面角与线面角关系，得.易知，也为与平面的线面角，即与平面的线面角，根据最小角定理，与直线所成的线线角，所以.5．（2018全国新课标Ⅰ文）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A． B． C． D．25.答案：B解答：三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为连线的距离，所以，所以选B.6．（2018全国新课标Ⅰ文）在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（）A． B． C． D．且，，结合四棱锥体积公式可得其体积为．3．（2018天津理）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为.3．【答案】【解析】由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积，顶点到底面四边形的距离为，由四棱锥的体积公式可得．4．（2018全国新课标Ⅱ文）已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．4．【答案】【解析】如下图所示，，，又，解得，所以，，所以该圆锥的体积为．5．（2018全国新课标Ⅱ理）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．5．【答案】【解析】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为，所以，，因与圆锥底面所成角为，所以底面半径为，因此圆锥的侧面积为．三、解答题1．（2018北京文）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，分别为，的中点．（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）求证：平面．1．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1），且为的中点，，底面为矩形，，．（2）底面为矩形，，平面平面，平面，．又，平面，平面平面．（3）如图，取中点，连接，．，分别为和的中点，，且，四边形为矩形，且为的中点，，，，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面．2．（2018北京理）如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角B−CD−C1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．2．【答案】（1）证明见解析（2）的余弦值为；（3）证明过程见解析．【解析】（1）在三棱柱中，平面，四边形为矩形．又，分别为，的中点，，，，平面．（2）由（1）知，，．又平面，平面．平面，．如图建立空间直角坐称系．由题意得，，，，，，，设平面的法向量为，，，令，则，，平面的法向量，又平面的法向量为，．由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．（3）平面的法向量为，，，，，与不垂直，与平面不平行且不在平面内，与平面相交．3.（2018上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.4．（2018江苏）在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．4．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）在平行六面体中，．因为平面，平面，所以平面．（2）在平行六面体中，四边形为平行四边形．又因为，所以四边形为菱形，因此．又因为，，所以．又因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．5．（2018江苏）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．5．【答案】（1）；（2）．【解析】如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，则，，，以为基底，建立空间直角坐标系．因为，所以，，，，，．（1）因为为的中点，所以，从而，，故．因此，异面直线与所成角的余弦值为．（2）因为为的中点，所以，因此，，．设为平面的一个法向量，则即，不妨取，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．6．（2018浙江）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．6．答案：（1）略；（2）解答：（1）∵，且平面，∴，∴.同理，.过点作的垂线段交于点，则且，∴.在中，，∴，①过点作的垂线段交于点.则，，∴.在中，，∴，②综合①②，∵，平面，平面，∴平面.（2）过点作的垂线段交于点，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，设平面的一个法向量，则，令，则，又∵，.由图形可知，直线与平面所成角为锐角，设与平面夹角为.∴.7．（2018天津文）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．7．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】（1）由平面⊥平面，平面平面，，可得平面，故．（2）取棱的中点，连接，．又因为为棱的中点，故．所以（或其补角）为异面直线与所成的角．在中，，故．因为平面，故．在中，，故．在等腰三角形中，，可得．所以，异面直线与所成角的余弦值为．（3）连接，因为为等边三角形，为边的中点，故，．又因为平面⊥平面，而平面，故平面．所以，为直线与平面所成的角．在中，．在中，．所以，直线与平面所成角的正弦值为．8．（2018天津理）如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；（II）求二面角的正弦值；（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.8．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】依题意，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得，，，，，，，，．（1）依题意，．设为平面的法向量，则即，不妨令，可得．又，可得，又因为直线平面，所以平面．（2）依题意，可得，，．设为平面的法向量，则即，不妨令，可得．设为平面的法向量，则即，不妨令，可得．因此有，于是．所以，二面角的正弦值为．（3）设线段DP的长为，则点的坐标为，可得．易知，为平面的一个法向量，故，由题意，可得，解得．所以线段的长为．9．（2018全国新课标Ⅰ文）如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．9.答案：（1）见解析（2）解答：（1）证明：∵为平行四边形且,∴,又∵,∴平面,∵平面,∴平面平面.（2）过点作,交于点，∵平面，∴,又∵,∴平面,∴,∴,∵,∴,又∵为等腰直角三角形，∴，∴.10．（2018全国新课标Ⅰ理）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.10.答案：（1）略；（2）.解答：（1）分别为的中点，则，∴，又，，∴平面，平面，∴平面平面.（2），，∴，又，，∴平面，∴，设，则，，∴，过作交于点，由平面平面，∴平面，连结，则即为直线与平面所成的角，由，∴，而，∴，∴与平面所成角的正弦值.11．（2018全国新课标Ⅱ文） 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．11．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）因为，为的中点，所以，且．连结．因为，所以为等腰直角三角形，且，．由知，．由，知平面．（2）作，垂足为．又由（1）可得，所以平面．故的长为点到平面的距离．由题设可知，，．所以，．所以点到平面的距离为．12．（2018全国新课标Ⅱ理）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．12．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）因为，为的中点，所以，且，连结．因为，所以为等腰直角三角形，且，，由知，由知平面．（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．由已知得，，，，，，取平面的法向量，设，则，设平面的法向量为．由，，得，可取，，由已知得，，解得（舍去），，，又，所以．所以与平面所成角的正弦值为．13．（2018全国新课标Ⅲ文）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．13.答案：见解答解答：（1）∵正方形半圆面，∴半圆面，∴平面.∵在平面内，∴，又∵是半圆弧上异于的点，∴.又∵，∴平面，∵在平面内，∴平面平面.（2）线段上存在点且为中点，证明如下：连接交于点，连接；在矩形中，是中点，是的