湖南省益阳市高三高考数学模拟试卷（2021-04）

2021年湖南省益阳市高三高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x∈N|0＜x＜4}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，2] B．[1，2] C．{1，2} D．{0，1，2}2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），若z（2+i）＝5i，则在复平面内点P（a，b）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知α＝，a＝sinα，b＝log2sinα，c＝（sinα）﹣1，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝an+2n﹣1，a1＝2，若Sn≥128，则n的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．85．已知x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为（）A． B． C． D．46．我们要检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示（已隐去数据），其部分数据如表：小数记录x…？…五分记录y……现有如下函数模型：①y＝5+lgx，②y＝5+lg，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为（）（附：10﹣＝0.5，5﹣＝0.7，10﹣＝0.8），7．如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则•的取值范围为（）A．[2，3] B．[4，3] C．[2，4] D．[2，5]8．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，且f（1）＝0，则不等式（x2﹣2x）f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，2） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得分，有选错的得0分。9．某大型超市因为开车前往购物的人员较多，因此超市在制定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短．现随机采集了200个停车时间的数据（单位：min），其频率分布直方图如图．超市决定对停车时间在40分钟及以内的顾客免收停车费（同一组数据用该区间的中点值代替），则下列说法正确的是（）A．免收停车费的顾客约占总数的20% B．免收停车费的顾客约占总数的25% C．顾客的平均停车时间约为58min D．停车时间达到或超过60min的顾客约占总数的50%10．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为A1B1的中点，则下列说法正确的是（）A．DE与CC1为异面直线 B．DE与平面BCC1B1所成角的正切值为 C．过D、C、E三点的平面截正方体所得两部分的体积相等 D．线段DE在底面ABCD的射影长为11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则下列结论正确的是（）A．若直线l⊥x轴，则|AB|＝2 B． C．y1•y2＝﹣4 D．∠A1FB1＝12．已知函数f（x）＝|sinx|﹣|sin（﹣x）|（π……），则下列说法中正确的是（）A．π是f（x）的周期 B．f（x）的值域为[﹣，] C．f（x）在（，5π）内单调递减 D．f（x）在[﹣2021，2021]中的零点个数不超过2574个三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，由红、黄、蓝、白四种发光元件连接成倪红灯系统N，四种发光元件的工作相互独立，当四种发光元件均正常工作时，倪红灯系统N才能随机地发出亮丽的色彩，当某种元件出现故障时，倪红灯系统N在该处将出现短暂的黑幕现象，若某时刻出现两处黑幕现象，需从装有红、黄、蓝、白四种发光元件中（除颜色外没有区别）抽取两种相应的发光元件进行更换，则一次性从中随机抽取的两个恰为故障发光元件的概率为．14．已知圆O：x2+y2＝1，A（3，3），点P在直线l：x﹣y＝2上运动，则|PA|+|PO|的最小值为．15．在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB⊥PB，∠PBC＝45°，AB＝2，PC＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．16．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+2ab+2abcosc＝a2+c2，则cos2+cos﹣1的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在①ac＝4，②S△ABC＝，③3sinB＝2sinA，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2c，A＝，______？18．已知等差数列{an}中，a3＝5，a7＝13，等比数列{bn}中，b1＝a3﹣2，b2＝a5．（1）求{an}，{bn}的通项公式；（2）令，求数列{cn}的前n项和Tn．19．“练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击打靶训练，甲、乙在相同的条件下轮流射击．每轮中，甲，乙各射击一次，射中者得1分，未射中者得0分．已知甲、乙每次射中的概率分别为，且各次射击互不影响．（1）经过1轮射击打靶，记甲、乙两人的得分之和为X，求X的分布列；（2）试问经过第2轮还是第3轮射击打靶后，甲的累计得分高于乙的累计得分的可能性更高？并说明理由．20．如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝，BC＝AB＝2，A1B1＝A1A＝1．（1）证明：DD1∥平面ACB1；（2）求面角A﹣B1C﹣D1的余弦值．21．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），圆O：x2+y2＝a2，过点F与x轴垂直的直线在第一象限交圆与椭圆分别于点A，B，且|AF|＝|BF|，点在椭圆上．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且斜率为k的直线l与E交于C，D两点，CD的中点为M，直线OM与椭圆有一个交点为N，若＝，求△MNF的面积．22．已知函数f（x）＝alnx+x2+1，其中a∈R且a≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x2﹣2x成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x∈N|0＜x＜4}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，2] B．[1，2] C．{1，2} D．{0，1，2}解：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|0≤x≤2}，∴A∩B＝{1，2}．故选：C．2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），若z（2+i）＝5i，则在复平面内点P（a，b）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：若z（2+i）＝5i，则z＝＝＝1+2i，所以a＝1，b＝2，P（1，2），则P位于第一象限．故选：A．3．已知α＝，a＝sinα，b＝log2sinα，c＝（sinα）﹣1，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c解：∵α＝，∴0＜sinα＜1，∴0＜a＜1，b＝log2sinα＜0，c＝（sinα）﹣1＞1，∴b＜a＜c，故选：D．4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝an+2n﹣1，a1＝2，若Sn≥128，则n的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8解：数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝an+2n﹣1，a1＝2，当n＝1时，解得a2＝3，当n＝2时，解得a3＝5，…，a7＝65所以S7＝a1+a2+…+a7＝134，由于S6＝69，当n＝7时，满足Sn≥128，故选：C．5．已知x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为（）A． B． C． D．4解：由约束条件作出可行域如图，目标函数z＝，即为y＝﹣，作出直线y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣平移至C处时，z取得最大值，联立，解得C（，），则目标函数z的最大值为z＝．故选：C．6．我们要检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示（已隐去数据），其部分数据如表：小数记录x…？…五分记录y……现有如下函数模型：①y＝5+lgx，②y＝5+lg，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为（）（附：10﹣＝0.5，5﹣＝0.7，10﹣＝0.8），解：由数据可知，当x＝1时，y＝5，两个都符合，但当x＝0.1时，由y＝5+lgx，得y＝5+lg0.1＝4，与表中的数据符合，而y＝5+lg10＝5.1，与表中的数据不符合，所以选择模型y＝5+lgx更合适，此时令y＝4.7，则lgx＝﹣0.3，所以x＝10﹣＝0.5．故选：B．7．如图所示，边长为2的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则•的取值范围为（）A．[2，3] B．[4，3] C．[2，4] D．[2，5]解：由题可知，当点P在点C处时，•最小，此时•＝＝，过圆心O作OP∥AB交圆弧于点P，连接AP，此时•最大，过O作OG⊥AB于G，PF⊥AB的延长线于F，则•＝|AB||AF|＝|AB|（|AG|+|GF|）＝，所以•的取值范围为[2，5]．故选：D．8．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，且f（1）＝0，则不等式（x2﹣2x）f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，2） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）解：因为（x2﹣2x）f（x）＝x（x﹣2）f（x），所以记g（x）＝xf（x），因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以g（x）为定义在R上的偶函数，又g′（x）＝f（x）+xf′（x），因为当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，所以当x＞0时，g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又f（1）＝0，得g（1）＝0，所以g（﹣1）＝0，不等式（x2﹣2x）f（x）＜0等价于（x﹣2）g（x）＜0，所以或，即或，解得x＜﹣1或1＜x＜2．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得分，有选错的得0分。9．某大型超市因为开车前往购物的人员较多，因此超市在制定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短．现随机采集了200个停车时间的数据（单位：min），其频率分布直方图如图．超市决定对停车时间在40分钟及以内的顾客免收停车费（同一组数据用该区间的中点值代替），则下列说法正确的是（）A．免收停车费的顾客约占总数的20% B．免收停车费的顾客约占总数的25% C．顾客的平均停车时间约为58min D．停车时间达到或超过60min的顾客约占总数的50%解：由题意可知，免收停车费的顾客约占总数的（0.0025+0.01）×20＝0.25，故免收停车费的顾客约占总数的25%，故选项A错误，选项B正确；由频率分布直方图可知，a﹣﹣×2﹣0.0025＝0.0125，则顾客的平均停车时间约为（10×0.0025+30×0.01+50×0.0125+70×0.015+90×0.01）×20＝58min，故选项C正确；停车时间达到或超过60min的顾客约占总数的（0.015+0.01）×20＝0.5，故停车时间达到或超过60min的顾客约占总数的50%，故选项D正确．故选：BCD．10．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为A1B1的中点，则下列说法正确的是（）A．DE与CC1为异面直线 B．DE与平面BCC1B1所成角的正切值为 C．过D、C、E三点的平面截正方体所得两部分的体积相等 D．线段DE在底面ABCD的射影长为解：由图可知：DE与CC1为异面直线，∴A正确；DE与平面BCC1B1所成角的正切值可转化为求求DE与平面ADD1A1所成角的正切值，连接A1D，在直角三角形EA1D中：DE与平面BCC1B1所成角的正切值为tan∠A1DE＝＝，∴B正确；过D、C、E三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面A1B1CD截正方体所得两部分的体积关系，由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等，∴C正确；取AB中点F，连接EF、DF，∵EF∥B1B且B1B⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD，∴DF的长为线段DE在底面ABCD的射影长，在直角三角形DFE中：EF＝1，DE＝，∴DF＝＝，∴D错；故选：ABC．11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则下列结论正确的是（）A．若直线l⊥x轴，则|AB|＝2 B． C．y1•y2＝﹣4 D．∠A1FB1＝解：选项A，由题意知，F（1，0），∵直线l⊥x轴，∴把x＝1代入y2＝4x得，y＝±2，∴|AB|＝4，即选项A错误；选项B，当直线l⊥x轴时，x1＝x2＝1，∴x1•x2＝1，即选项B错误；选项C，当直线l⊥x轴时，y1•y2＝﹣4，当直线l与x轴不垂直时，设直线l：x＝my+1，联立，得y2﹣4my﹣4＝0，∴y1•y2＝﹣4，即选项C正确；选项D，由抛物线的定义知，|AF|＝|A1F|，∴∠AA1F＝∠AFA1，又AA1∥x轴，∴∠AA1F＝∠A1FO，∴∠AFA1＝∠A1FO＝∠AFO，同理可得，∠BFB1＝∠B1FO＝∠BFO，∴∠A1FB1＝∠A1FO+∠B1FO＝（∠AFO+∠BFO）＝，即选项D正确．故选：CD．12．已知函数f（x）＝|sinx|﹣|sin（﹣x）|（π……），则下列说法中正确的是（）A．π是f（x）的周期 B．f（x）的值域为[﹣，] C．f（x）在（，5π）内单调递减 D．f（x）在[﹣2021，2021]中的零点个数不超过2574个解：∵f（x）＝|sinx|﹣|sin（﹣x）|＝|sinx|﹣|cosx|，∴f（x+π）＝|sin（x+π）|﹣|cos（x+π）|＝|sinx|﹣|cosx|＝f（x）．∴π是函数f（x）的最小正周期，∴A正确；∵f（﹣x）＝|sin（﹣x）|﹣|cos（﹣x）|＝|sinx|﹣|cosx|＝f（x），∴函数f（x）是偶函数．当x∈[0，π]时，f（x）＝＝，结合图象根据函数性质可知：当x＝时，f（x）取最大值1，当x＝0或π时，f（x）取最小值﹣1，∴函数值域为[﹣1，1]，∴B错；结合图象由函数f（x）的性质可知：f（x）在[0，]上是增函数，在（，π]上是减函数，又∵函数f（x）的周期是π，∴函数f（x）在（，5π）上的单调增区间是（，]，减区间是（，5π]，∴C错误；由函数f（x）性质可知在[0，π]上有2个零点，∵函数最小正周期是π的偶函数且＜＜643.64，∴函数f（x）在[﹣2021，2021]中的零点个数不超过643×2×2+2＝2574个，∴D正确；故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，由红、黄、蓝、白四种发光元件连接成倪红灯系统N，四种发光元件的工作相互独立，当四种发光元件均正常工作时，倪红灯系统N才能随机地发出亮丽的色彩，当某种元件出现故障时，倪红灯系统N在该处将出现短暂的黑幕现象，若某时刻出现两处黑幕现象，需从装有红、黄、蓝、白四种发光元件中（除颜色外没有区别）抽取两种相应的发光元件进行更换，则一次性从中随机抽取的两个恰为故障发光元件的概率为．解：记红、黄、蓝、白四种发光元件分别为A，B，C，D，则从中随机抽取两个的所有情况为：AB，AC，AD，BC，CD，共6种，而更换的两个故障发光元件为其中一种情况，∴一次性从中随机抽取的两个恰为故障发光元件的概率为P＝．故答案为：．14．已知圆O：x2+y2＝1，A（3，3），点P在直线l：x﹣y＝2上运动，则|PA|+|PO|的最小值为．解：由于点A与点O在直线l：x﹣y＝2的同侧，设点O关于直线l：x﹣y＝2的对称点为O′（x′，y′），∵kOO′＝﹣1，∴OO′所在直线方程为y＝﹣x，联立，解得，即OO′的中点为（1，﹣1），∴O′（2，﹣2），则|PA|+|PO|＝|PA|+|PO′|≥|AO′|＝．故答案为：．15．在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB⊥PB，∠PBC＝45°，AB＝2，PC＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为14π．解：如图所示，设球心为O，△PBC外接圆的圆心为O1，则OO1⊥平面PBC，由AB⊥BC，AB⊥PB，BC∩PB＝B，得AB⊥平面PBC，∴AB∥OO1，连接BO1，过A作AH∥BO1，交O1O的延长线于点H，则OA＝OB，AH＝BO1，∴OH＝OO1，由条件得，O1H＝AB＝2，∴OO1＝1，又在△PBC中，（r为△PBC的外接圆的半径），∴，∴＝．则，故答案为：14π．16．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+2ab+2abcosc＝a2+c2，则cos2+cos﹣1的取值范围为（，）．解：因为b2+2ab+2abcosc＝a2+c2，整理可得2ab（1+cosC）＝a2+c2﹣b2，所以由余弦定理可得2ab（1+cosC）＝2accosB，所以b（1+cosC）＝ccosB，可得sinB＝sinCcosB﹣sinBcosC，可得sinB＝sin（C﹣B），因为0，0＜C＜，所以B＝C﹣B，可得C＝2B，又因为△ABC为锐角三角形，所以，可得＜B＜，所以＜cosB＜，又因为cos2+cos﹣1＝+cosB﹣1＝，所以＜3cosB﹣1＜，从而＜＜，可得cos2+cos﹣1的取值范围为（，）．故答案为：（，）．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在①ac＝4，②S△ABC＝，③3sinB＝2sinA，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2c，A＝，______？解：选择条件①：由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bc•cosA＝4c2+c2﹣4c2•cos＝3c2，∴a＝c，又ac＝4，∴c＝2．选择条件②：∵S△ABC＝bcsinA，b＝2c，A＝，∴＝•2c•c•sin，∴c＝1．选择条件③：由正弦定理知，＝，∵3sinB＝2sinA，∴3b＝2a，∵b＝2c，∴a＝3c，由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bc•cosA＝4c2+c2﹣4c2•cos＝3c2，∴a＝c，与a＝3c相矛盾，故不存在该三角形．18．已知等差数列{an}中，a3＝5，a7＝13，等比数列{bn}中，b1＝a3﹣2，b2＝a5．（1）求{an}，{bn}的通项公式；（2）令，求数列{cn}的前n项和Tn．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝5，a7＝13，∴a1+2d＝5，a1+6d＝13，解得a1＝1，d＝2，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．设等比数列{bn}的公比为q，∵b1＝a3﹣2＝2×3﹣1﹣2＝3，b2＝a5＝2×5﹣1＝9，∴q＝＝＝3，∴bn＝3×3n﹣1＝3n．（2）＝，∴数列{cn}的前n项和Tn＝+++……+，∴Tn＝++……++，相减可得：Tn＝+2（++……+）﹣＝+2×﹣，化为：Tn＝1﹣．19．“练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击打靶训练，甲、乙在相同的条件下轮流射击．每轮中，甲，乙各射击一次，射中者得1分，未射中者得0分．已知甲、乙每次射中的概率分别为，且各次射击互不影响．（1）经过1轮射击打靶，记甲、乙两人的得分之和为X，求X的分布列；（2）试问经过第2轮还是第3轮射击打靶后，甲的累计得分高于乙的累计得分的可能性更高？并说明理由．解：（1）X的可能取值为0，1，2，由题意可知P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列为：X012P（2）经过2轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：一是甲累计得2分，此时乙的累计得分低于2分，二是甲累计得1分，此时乙累计得0分，所以＝，经过3轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分有三种情况：一是甲累计得3分，此时乙的累计得分低于3分，二是甲累计得2分，此时乙的累计得分低于2分，三是甲累计得1分，此时乙累计得0分，所以＝，因为P2＞P1，所以经过3轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分的可能性更高．20．如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝，BC＝AB＝2，A1B1＝A1A＝1．（1）证明：DD1∥平面ACB1；（2）求面角A﹣B1C﹣D1的余弦值．【解答】（1）证明：连接BD，交AC于O，连接B1O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝BD，由棱台的性质可得B1D1∥OD，由BC＝AB＝2，得AB＝2，又A1B1＝1，可得，则B1D1＝OD，∴四边形B1ODD1是平行四边形，则B1O∥DD1，又∵B1O⊂平面B1AC，DD1⊄平面B1AC，∴DD1∥平面ACB1；（2）解：∵A1A⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴A1A⊥AC，A1A⊥AB，又，BC＝，AB＝2，∴AC＝2，则AB2+AC2＝BC2，故AB⊥AC，即AB，AC，AA1两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（0，2，0），B1（1，0，1），D1（﹣1，1，1），∴，，．设平面AB1C的一个法向量为，由，取z＝1，得；设平面B1CD1的一个法向量为，由，取z1＝3，得．设二面角A﹣B1C﹣D1为θ，由图可知，θ为锐角，则cosθ＝|cos＜＞|＝