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文档简介
1§16.1二重积分的定义与基本性质二、二重积分的存在性一、二重积分的定义三、二重积分的性质2一、二重积分的定义解法:
类似定积分解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy
面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以
D
的边界为准线,平行于
z
轴求其体积？“大化小,常代变,近似和,求极限”步骤如下：(3)求和：(4)取极限：(1)分割：(2)近似：4２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量(iii)
上含有P的边界点.
第(i)类面积：则有则有
P是有界的，
用直线网T分割(i)上的点都是P的内点;(ii)上的点都是P的外点,即第(i)(iii)类面积：区域的面积显然有通常称为P的内面积,
为P的外面积.
定义1若平面图形P满足=,则称P为可求面积的图形,并把共同值作为P的面积.
定理1
平面有界图形P可求面积的充要条件是:数集有上确界,有下确界.记
对任给的总存在直线网T,使得定义2(二重积分)7积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素9
在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，是柱体体积的负值．别称为关于分割
T的上和与下和.作和式
它们分设函数
在
D上有界,T为
D的一个分割,它
把
D分成
n个可求面积的小区域
令
二、二重积分的存在性定理2.2
在
D上可积的充要条件是:
定理2.3
在
D上可积的充要条件是:对于任给的正数
存在
D的某个分割
T,使得
定理2.4
有界闭域
D上的连续函数必可积.
定理2.5
设
是定义在有界闭域
D上的有
界函数.若
的不连续点都落在有限条光滑曲线上,则
在
D上可积.
定理2.1
在
D上可积，则在D上有界.12例1
在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.13性质１当为常数时，性质２三、二重积分的性质14性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特别地则有15性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）16解例3
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