高中数学人教A版选择性课件第三章圆锥曲线的方程章末整合

章末整合第三章2021内容索引0102知识网络整合构建题型突破深化提升知识网络整合构建题型突破深化提升专题一与圆锥曲线有关的轨迹问题例1已知两同心圆的半径分别为5和4,AB为小圆的直径,求以大圆的切线为准线且过A,B两点的抛物线的焦点的轨迹方程.解

以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系(图略).设大圆的切线为l,抛物线的焦点为F,显然l不与直线AB垂直.过点A,B,O分别作l的垂线,垂足分别为点A1,B1,O1,图略,由抛物线的定义得|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.又由梯形中位线定理得|AA1|+|BB1|=2|OO1|,∴|AF|+|BF|=2|OO1|=10.方法技巧

解动点轨迹问题的策略和技巧(1)解决与圆锥曲线有关的轨迹问题,首先要明确圆锥曲线的性质,做好对图形变化可能性的总体分析,选好相应的解题策略并拟定好具体的解题方法,注意将动点的几何特性用数学语言表达出来.(2)要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件,如曲线上点的坐标的取值范围等.变式训练1如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,则动圆P的圆心P的轨迹方程是

.

解析

由已知,圆E半径为r=2,设圆P的半径为R,则|PF|=|PM|=R,|ME|=r=2,|PE|=|PM|-|ME|=R-2,所以|PF|-|PE|=2.由双曲线的定义知,P的轨迹为双曲线的左支,因为a=1,c=2,所以b=,所以,所求轨迹方程为x2-=1(x≤-1).答案

x2-=1(x≤-1)专题二圆锥曲线定义的应用例2已知斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.解

(方法1)如图,由抛物线的标准方程可知,抛物线的焦点坐标为F(1,0),∴直线AB的方程为y=x-1.将方程①代入抛物线方程y2=4x,得(x-1)2=4x.化简得x2-6x+1=0,解得(方法2)根据抛物线的定义,|AF|等于点A到准线x=-1的距离,即|AF|=x1+1.同理,|BF|=x2+1.于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.由方法1知,x2-6x+1=0,故x1+x2=6.∴|AB|=6+2=8.方法技巧

研究圆锥曲线上的点到焦点的有关距离的最值大(小)问题时,常把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离,再根据几何图形,利用几何法解决最大(小)值问题.答案

A专题三圆锥曲线的离心率及其范围问题例3已知椭圆M:.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M与双曲线N的离心率之积为

.

方法技巧

“三法”应对离心率(1)定义法:由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上,都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=.已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法.(2)方程法:建立参数a与c之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法.(3)几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题时,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系.通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观.变式训练3在平面直角坐标系xOy中,点F1,F2分别是椭圆(a>b>0)的左、右焦点,过点F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于A,B两点.若∠AF1B为锐角,则该椭圆的离心率的取值范围是

.

专题四圆锥曲线中的最值与范围问题(1)求椭圆C1,C2的标准方程;(2)过F1的直线交椭圆C2于点M,N,求△F2MN面积的最大值.方法技巧

圆锥曲线中最大(小)值与范围问题的常见求法(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系.(2)不等式(组)求解法:根据题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式(组)得出参数的取值范围.(3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、另一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的取值范围.(4)利用基本不等式往往需要创造条件,并进行巧妙构思.(5)构造一个一元二次方程,利用判别式Δ≥0来求解.变式训练4如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-4=0,抛物线C:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程.(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(4-p,-p);②求p的取值范围.所以抛物线C的方程为y2=16x.(2)设P(x1,y1)、Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是PQ的方程可设为y=-x+b.专题五圆锥曲线中的定点、定值问题例5(2020安徽黄山高考模拟)已知直线l经过椭圆C:(a>b>c)的右焦点(1,0),交椭圆C于点A,B,点F为椭圆C的左焦点,△ABF的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线m与直线l的倾斜角互补,且交椭圆C于点M,N,|MN|2=4|AB|,求证:直线m与直线l的交点P在定直线上.(2)证明

若直线l的斜率不存在,则直线m的斜率也不存在,这与直线m与直线l相交于点P矛盾,所以直线l的斜率存在.设l:y=k(x-1)(k≠0),m:y=-k(x+t),A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN).将直线m的方程代入椭圆方程,得(3+4k2)x2+8k2tx+4(k2t2-3)=0,方法技巧

圆锥曲线中的定点(值)问题的计算方法(1)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定点(值).探索直线过定点时,可设直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立关于b,k的等量关系进行消元,借助直线系方程找出定点.(2)从特殊情况入手,先探求定点(值),再证明此定点(值)与变量无关.①有关斜率的定值问题,包含证明动直线的斜率为定值,不同直线斜率的方法:设原始量的有关变量,逐步表示出关系式中涉及的斜率,最后进行化简得到一个定值.②有关向量的定值问题,包括向量之积为定值,向量之间一些稍微复杂的关系为定值,两直线垂直(可以用向量的数量积为0来证明).方法:设出原始量的变量,逐步表示出向量所涉及的点的坐标,再表示出向量,直接利用坐标关系列式子,最后化简得定值.(当求

,而A,B,C,D在同一条直线上时,可化为求线段长度之积|AB||CD|的问题,只是要注意正负号即可)③有关线段长的定值问题,包括线段的长为定值,线段长之间的关系式(如方法:设原始量的变量,推出线段的长的表达式(这里常用到“设而不求”法求弦长),然后代入式子化简求得定值.变式训练5(2020河南洛阳高考模拟)已知O为坐标原点,过点M(1,0)的直线l与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且(1)求抛物线C的方程;(2)过点M作直线l'⊥l交抛物线C于P,Q两点,记△OAB,△OPQ的面积分别为专题六圆锥曲线中的存在探究型问题例6已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1),A,B为抛物线上不重合的两动点,O为坐标原点,=-4,过A,B作抛物线的切线l1,l2,直线l1,l2交于点M.(1)求抛物线的方程.(2)直线AB是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由.(3)三角形ABM的面积是否存在最小值,若存在,请求出最小值;若不存在,说明理由.解

(1)由F(0,1)得p=2,所以抛物线方程为x2=4y.(2)是.当直线AB的斜率不存在时,与抛物线的对称轴平行,没有两个交点,当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),方法技巧

存在性问题解决策略首先假设所探究的问题结论成立或存在符合题意的点、直线,在这个假设下进行推理论证,如果得到了一个合理的推理结果