太原五中20222023学年度第一学期阶段性检测高二数学(理)

1/1太原五中2022-2023学年度第一学期阶段性检测高二数学(理)密

学校班级

姓名学号

密封线内不得答题

太原五中2022-2023学年度第一学期阶段性检测

高二数

学（理）

出题人、校对人：阴瑞玲、闫晓婷、王泽宇（2023.10.17）

一、选择题（每小题4分,共40分,

每小题只有一个正确答案）1.下列命题正确的是()

A.

棱柱的侧面都是长方形B.棱柱的全部面都是四边形C.棱柱的侧棱不肯定相等

D.—个棱柱至少有五个面

2.假如一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45?，上底为1腰梯形，那么原平面图形的面积是()A.

2

B.C.D.3.已知两条不同的直线mn、，和平面α，下列结论正确的是()①//,mnnα⊥，则mα⊥；②//,//mn

αα，则//mn；

③,mn

αα⊥⊥，则//mn；

④m与平面α所成角的大小等于n与平面α所成角的大小，则//mn.A.①③B.①②

C.②③

D.①④

4.三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为2，则该三棱锥的外接球的表面积为()

A.4π

B.6π

C.8π

D.10π

5.在正方体1111ABCDABCD-中，E是棱1BB的中点，用过点

1AEC、、的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是()

A．

B．

C．

D．

6.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM//平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()

A．①②

B．①②③

C．①

D．②③

7.在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，DA⊥平面ABFE，四边形ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB//CD//EF，AB=AD=4，EF=8，EF到平面ABCD的距离为6，则这个“羡除”体积是()A．96

B．72

C．64

D．58

8.在平面四边形ABCD中，AC⊥BC，BC=1，AB=2，将△ABC沿对角线AC所在的直线折起，使平面ABC⊥平面ACD，则直线AB与平面ACD所成角为(

)A．

3

πB．

6

πC．

56

π

D

．

23

π9.如图，平面四边形ABCD中，EF、是ADBD、的中点，=2ABADCD==，

BD=，90BDC∠=，将△ABD沿对角线BD折起至△ABD'，使平面ABD'⊥

平面BCD，则四周体ABCD'-中，下列结论不正确的是()

A．EF//平面ABC'

B．异面直线CD与AB'所成的角为90°

C．异面直线EF与AC'所成的角为60°

D．直线AC'与平面BCD所成的角为30°10.如图,直三棱柱111ABCABC-中,侧棱长为2，=1ACBC=，

=90ACB?

∠，D是11AB的中点，F是1BB上的动点，1ABDF、交于点E.

要使1AB⊥平面1CDF，则线段1BF的长为()

A．12

B．1

C．3

2

D．2

二、填空题（每小题4分，共20分）

14.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，2AB=，1AA，DF、分别是棱AB、1AA的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF的周长的最小值为.

15.在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，SA=SB32=，二面角S-AB-C的大小为120°，则此三棱锥的外接球的半径为.

三、解答题（每小题10分，共40分）

16.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E、F分别是A1C1、BC的中点.

(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证:C1F∥平面ABE.

17.（10分）如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD，PA=(1)求证:BE⊥平面PAB；(2)求二面角

A-BE-P的大小.

18.（10分）在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在棱AB、CD上，且AE＝CF＝1

.

(1)求异面直线

A1E与C1F所成角的余弦值；(2)求四周体EFC1A1的体积．

19.（10分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，ABPC⊥，ADBC，ADCD⊥，且2PCBCAD=

=2CD==2PA=．(1)PA⊥平面ABCD；

(2)在线段PD上，是否存在一点M

，使得二面角M-AC-D大小为60°？假如存在，求

的值；假如不存在，请说明

理由．

1

AA

B

密

学校班级

姓名学号

密封线内不得答题

太原五中2022-2023学年度第一学期阶段性检测

高二数学（理）

出题人、校对人：阴瑞玲、闫晓婷、王泽宇（

2023.10.17）

一、选择题（每小题4分,共40分,每小题只有一个正确答案）1.

下列命题正确的是()

A.棱柱的侧面都是长方形

B.

棱柱的全部面都是四边形C.棱柱的侧棱不肯定相等D.

—个棱柱至少有五个面【答案】D

A不对，侧面都是平行四边形，不肯定都是长方形；

B不对，三棱柱的底面是三角形；

C不对，棱柱的侧棱肯定相等；

D对，三棱柱的面最少，三个侧面两个底面共

5个面，其他棱柱都多余5个面,故选

D.2.假如一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45?，上底为1腰梯形，那么原平面图形的面积是()A.

2

B.

C.D.【答案】C

依题意，四边形ABCD是一个底角为，上底为，腰为的等腰梯形，

过C,D分别做

，

，

则和为斜边长为的等腰直角三角形，所以AE=DE=BF=1，又

EF=CD=1，梯形ABCD的面积：

在斜二测画直观图时，直观图的面积与原图的面积之比为：

即：.故选C.

3.已知两条不同的直线mn、，和平面α，下列结论正确的是()①//,mnnα⊥，则mα⊥；②//,//mnαα，则//mn；③,mnα

α⊥⊥，则//mn；

④m与平面α所成角的大小等于n与平面α所成角的大小，则//mn.A.①③B.①②C.②③D.①④

【答案】A②不对，由于直线

可能平行可能相交也可能异面；

④不对，线m,n可能平行可能相交也可能异面；故选A.4.三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为222

，，，则该三棱锥的外接球的表面积为(

)

A.4π

B.6π

C.8π

D.10π【答案】B

三棱锥P?ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两相互垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PAaPBbPCc===，，，则

111222abbcca===

，

解得,1,abc=

===所以球的半径长R，则球的表面积S=4πR2

=6π，故选B.5.在正方体1111ABCDABCD-中，E是棱1BB的中点，用过点1AEC、、的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是

()

A．

B．

C．

D．

【答案】A

剩余部分的直观图如图：则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A．

6.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③【答案】B

对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.

∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴BC⊥PC.

对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA?平面PAC，OM?平面PAC，∴OM∥平面PAC.对于③，由①知BC⊥平面PAC，

∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．故选B.7.在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，DA⊥平面ABFE，四边形ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB//CD//EF，AB=AD=4，EF=8，EF到平面ABCD的距离为6，则这个“羡除”体积是()

A．96

B．72

C．64

D．58

【答案】C

如图所示，多面体切割为两个三棱锥E﹣AGD，F﹣HBC和一个

直三棱柱GAD﹣HBC，

由于

，且到平面ABCD的距离为

6，

，

所以这个“羡除”体积为

．故选C．

8.在平面四边形ABCD中，AC⊥BC，BC=1，AB=2，将△ABC沿对角线AC所在的直线折起，使平面ABC⊥平面ACD，则直线AB与平面ACD所成角为()A．

3

π

B．

6

πC．

56

π

D．

23

π【答案】B

，则AC=

，平面

平面

，

交线为

AC

，

BC

AC，

所以BC

面ACD，所以

即为直线与平面所成角，cos=，

所以

=

，故选B.

9.如图，平面四边形ABCD中，EF、是ADBD、的中点，=2ABADCD==，

BD=90BDC∠=，将△ABD沿对角线BD折起至△ABD'，使平面ABD'⊥

密

学校班级

姓名

学号

密封线内不得答题

平面BCD，则四周体ABCD'-中，下列结论不正确的是()

A．EF//平面ABC'

B．异面直线CD与AB'所成的角为90°

C．异面直线EF与AC'所成的角为60°

D．直线AC'与平面BCD所成的角为30°【答案】C由于，

分别为

和两边中点，所以

，

即

平面

，A正确；由于平面平面，交线为

，且

，所以

平面

，

即，故B正确；取边中点

，连接

，，则，

所以为异面直线

与

所成角，又，

，，即

，故C错误；由于平面平面

，连接

，则

，所以

平面

，

连接FC，所以为异面直线

与所成角，

又

，∴

，

又

，sin

，∴

，D

正确；故选C．

10.如图,直三棱柱111ABCABC-中,侧棱长为2，=1ACBC=，=90ACB?

∠，D是11

AB的中点，F是1BB上的动点，1ABDF、交于点E.要使1AB⊥平面1CDF，则线段1BF的长为()

A．

12

B．1

C．

32

D．2

【答案】A

设B1F=x,由于AB1⊥平面C1DF,DF?平面C1DF,

所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1=,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,

则DE=h.

又2×=h,所以h=,DE=.在Rt△DB1E中,B1E==.

由面积相等得×=x,得x=.

二、填空题（每小题4分，共20分）

11.两个球的体积之比是8:27，那么两个球的表面积的比为.【答案】4:9

12.三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，过点P作平面ABC的垂线，垂足为O，则点O是

ABC的心.【答案】外心

13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝1

3

DD1，NB＝1

3BB1，那么正方体过点M，N，C

1的截面图形是边形.

【答案】选在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱

DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝1

3BB1.如图，延长

C1M交C

D的延长线于点P，延长C1N交CB的延长线于点Q，连接PQ交

AD于点E，AB于点F，连接NF

，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形．

14.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，2AB

=，1AA，D

F、分别是棱AB

、1AA的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF的周长的最小值为.

【答案】

15.在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为3

的等边三角形，SA=SB32=，二面角S-AB-C的大小为120°，则此三棱锥的外接球的半径为.【答案】

2

三、解答题（每小题10分，共40分）

16.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于

底

面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E、F分别是A1C1、BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证:C1F∥平面ABE.

ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又由于AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥

平面B1BCC1.

AB的中点G,连接EG,FG,如图.

由于E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG

由于AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.

又由于EG?平面ABE,C1F?平面ABE,所以C1

F∥平面ABE.

17.（10分）如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°,E是

CD的中点,PA⊥底面ABCD，PA=(1)求证:BE⊥平面PAB；(2)求二面角A-BE-P的大小.【答案】

,连接BD,由ABCD是菱形,

且

∠

BCD=60

°知,△BCD是等边三角形.

由于E是CD的中点,所以BE⊥CD.

密

学校班级

姓名学号

密封线内不得答题

又AB∥CD,所以BE⊥AB.又由于PA⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,

所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.

(1)知BE⊥平面PAB,PB?平面PAB,所以PB⊥BE.又AB⊥BE,

所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA∠PBA=60°,

故二面角A-BE-P的大小是60°.

∵EF?平面EFC1，A1N?平面EFC1，∴A1N∥平面EFC1，

∴VA1－EFC1＝VN－EFC1＝VE－NFC1＝31