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文档简介

1高等数学

第二十一讲2第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分3二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质

第四章4一、原函数与不定积分的概念引例:求质点的运动规律试求质点在时刻t

的瞬时速度定义1.

满足在区间

I

上的一个原函数

.则称F(x)为f(x)即已知某一函数的导数或微分要求出原来的函数。为了便于研究这类问题，已知作直线运动的质点的运动规律是则逆问题：速度的概念。已知作直线运动的质点在任一时刻的瞬时我们引进原函数与不定积分若在区间I

上定义的两个函数F(x)及f(x)5例：是的一个原函数。是的一个原函数。是是的一个原函数。的一个原函数。是的一个原函数。6问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?

定理1.

存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数7定理2.原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又知故属于函数族定理3：设和是的两个不同的原函数，则它们之间只差一个常数。8定义2.在区间

I上的全体原函数称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;(P185)若则(C为任意常数)C

称为积分常数体现了全体原函数不可丢!例如,记作9不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线

.10例1.

设曲线通过点(1,2),

且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:设曲线为所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为11例2.

质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:

取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻

t

质点所在位置为则(运动速度)(加速度)垂直上抛,不计阻

先由此求

再由此求12先求由知再求于是所求运动规律为由知故13二、基本积分表(P188)从不定积分定义可知:或或利用逆向思维(k

为常数)可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号与微分运算记号连在一起时，或相互抵消，或抵消后只差一个常数。即“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。”14或或1516例3.求解:

原式=例4.

求解:

原式=17三、不定积分的性质推论:

若则18注：在分项积分后，别

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