大型构件动态固有频率和粘性阻尼系数的小波分析

大型构件动态固有频率和粘性阻尼系数的小波分析

0非线性建模辨识大型构件动态固有频率和粘度阻尼系数的方法高、桥梁、收割机、大轮子轴等大型组件的动态频率和连续性衰减系数对这些组件的动态力学行为和安全运行有直接影响。在实际的工作环境下,许多大型构件在静态情况下的系统固有特征与构件在动态情况的系统固有特征有着较大的差别,因此如何准确地估计大型构件的动态固有频率和粘性阻尼系数一直是众所关注的问题。但是一方面在实际工作环境中,构件受外部载荷的影响,测试信号中往往带有很强的背景噪声,比如水轮机在发电过程中,湍急的水流对叶轮的冲击就会造成测试信号中很强的背景噪声;另一方面,这类构件通常尺寸较大,利用一般的冲击方法很难有效地估算出系统动态固有频率和阻尼系数。上述这些原因使得大型构件的动态固有频率和阻尼系数的辨识方法一直是一件棘手的问题。本文针对工程中存在的实际问题,提出了利用非线性建模方法消除测试信号中的背景噪声,用残差信号进行连续小波变换,从而有效地辨识大型构件动态固有频率和粘性阻尼系数的新方法。计算值与理论值比较分析表明,在理想情况下,其频率误差小于0.1%,阻尼系数的误差小于0.3%,证实了该方法的有效性和准确性。该方法还成功地运用于我国某大型水轮机轴系的动态固有频率和粘性阻尼系数的分析,实际测试值与理论计算值十分接近,从而解决了常规方法无法辨识的大型构件动态固有频率和阻尼系数的难题。1par模型简介非线性问题在工程实际中是普遍存在的。一个系统或一种现象总是或多或少地含有非线性因素。在大多数工程问题中利用线性模型或线性逼近模型进行信号时序分析,往往得不到满意的结果,尤其对于残差信号分析,更需要精确的模型。在这种情况下,应当应用非线性时序模型,常用的非线性时序模型有:门限自回归模型、指数自回归模型、双线性模型、非线性自回归模型。其中非线性自回归模型是一类应用很广泛的非线性模型,大量实践证实了这类模型能很好地描述常见的非线性(包括混沌系统)产生的时间序列。假设实际测试的时间序列为x1,x2,…,xn,那么,不失为一般性,它的非线性时序模型可以定义为xn+1=f(xn,xn-1,xn-2,…)+un+1(1)式中f——一任意非线性函数un+1——时刻n+1时模型输出与信号时序之间的残差。当f为一多项式函数时,则可得多项式型非线性自回归模型,简称为PAR模型(Polynomialauto-regressive)。PAR模型定义为xn+1=m-1∑i=0aixn-i+m-1∑i=0m-1∑j=0bi,jxn-ixn-j+m-1∑i=0m-1∑j=0m-1∑k=0ci,j,kxn-ixn-jxn-k+⋯+un+1(2)xn+1=∑i=0m−1aixn−i+∑i=0m−1∑j=0m−1bi,jxn−ixn−j+∑i=0m−1∑j=0m−1∑k=0m−1ci,j,kxn−ixn−jxn−k+⋯+un+1(2)式中m——PAR模型的阶次ai,bi,j,ci,j,k——多项式系数PAR的时序模型可以用矩阵形式表示X=GP+U(3)式中X——输出矢量P——待定参数矢量G——历史时序矩阵U——残差矢量通常,在建模过程中,要求残差平方和S=(X-GP)T(X-GP)(4)为最小值。根据最小二乘法可得下列正则方程GTGP=GTX(5)如果GTG是非奇异矩阵,则可得P=(GTG)-1GTX=G+X(6)一般,矩阵G常常是奇异矩阵,并称G+=(GTG)-1GT为矩阵G的广义逆矩阵。对于这类广义逆矩阵G+可以采用奇异值分解(SVD)方法来求解。将求得的G+代入式(6),可以求出参数矢量P,然后根据式(3)求得残差信号。通常,残差信号是由系统的随机噪声和时序中不符合模型规律的部分组成。也就是说,PAR模型中的GP部分主要描述了时序中符合模型总体规律的成分,而残差部分用来描述非规律的成分。如果测取的信号中背景信号很强,而感兴趣的特征信号很弱,比如,大型水轮机主轴在工作环境下,受到强大的水流作用,信号中的背景信号占主导地位,而用于测试系统动态固有特征的冲击信号很弱。在这种情况下,利用残差分析方法可以大大提高有效信号的信噪比。下面我们还将详细介绍残差分析在工程实际中应用实例。2小波变换、系统动态固有频率和衰减系数的分析2.1小波变换的频率形式小波变换是目前最好的时间—频率分析方法,尤其对时变信号,如冲击信号分析非常有效。小波变换实际上是将信号向一系列小波基上进行正交投影。函数f(t)的连续小波变换被定义为Wf(a,b)=∫∞-∞f(t)ˉΨa,b(t)dt=∫∞-∞f(t)1√aˉΨ(t-ba)dt(7)Wf(a,b)=∫∞−∞f(t)Ψ¯¯¯a,b(t)dt=∫∞−∞f(t)1a√Ψ¯¯¯(t−ba)dt(7)式中a——尺度参数b——平移参数Ψa,b(t)——小波ˉΨΨ¯¯¯a,b(t)——复共轭函数在频域,小波变换可以改写为Wf(a,b)=12π∫∞-∞ˆf(ω)ˆΨ(aω)exp(iωb)dω(8)Wf(a,b)=12π∫∞−∞fˆ(ω)Ψˆ(aω)exp(iωb)dω(8)式中ˆf‚ˆΨ——ffˆ‚Ψˆ——f和Ψ函数在频域的表示形式对于最常用的Morlet小波Ψ(t),它的频域表达式可以近似为ˆΨ(ω)=π-1/4exp[-(ω-ω0)22](9)当尺度为a时,Morlet小波Ψa,0(t)的频域表示式为ˆΨa,0(ω)=aπ-1/4exp[-(ω0-aω)22](10)由于Morlet小波是复值小波,所以能提取信号中的幅值和相位信息。为了更好地理解这一点,我们举单一的谐波信号为例f(t)=X0cos(ωnt)(11)是一幅值为X0,角频率为ωn的单一谐波信号,它们频谱为ˆf(ω)=X02π[δ(ω-ωn)+δ(ω+ωn)](12)式中δ——狄拉克函数根据式(8)、式(10)和式(12)可知,单一谐波信号的小波变换为Wf(a,b)=a2ππ-1/4X0exp[-(ω0-ωn)22]×exp(iωnb)(13)由上式可知,单一谐波信号的小波变换的模|Wf(a,b)|=a2ππ-1/4X0exp[-(ω0-ωn)22]与信号的幅值成正比,而小波变换的相位φ[Wf(a,b)]=ωnb与信号的原相位一致。2.2固有频率的辨识目前常用的辨识系统固有频率和粘性阻尼的方法多采用冲击法。根据系统在冲击载荷作用下它的响应信号可以估算出系统的固有频率和阻尼系数。但这种方法仅适用于静态环境和平稳运行环境。系统在实际工作环境下的动态特征信号往往带有很大的背景信号,而连续小波变换具有良好的时—频分析特征,可以将信号分解到不同的频带上,从而可以将信号中的冲击信号与背景信号分解到不同的频带上,并根据前面所讨论的方法来辨识系统的动态固有频率和阻尼系数。下面讨论具体实现方法。单自由度粘性阻尼系统的脉冲响应可以表示为x(t)=Aexp(-ζωnt)cos(ωdt+φ0)(14)式中A——幅值ωn——系统在无阻尼情况下的圆频率ωd——系统在粘性阻尼情况下的圆频率ωd=ωn√1-ζζ——相对阻尼系数φ0——初相位与式(13)类似,式(14)的小波变换为Wf(a,b)=a2ππ-1/4Aexp(-ζωnt)×exp(-ζωnt)exp[-(ω0-ωd)22]exp(i(ωdb+φ)](15)对于确定的尺度系数a(a表示在某一频带上),小波变换的模与相位分别是|Wf(a,b)|=a2ππ-1/4Aexp(-ζωnt)×exp[-(ω0-aωd)22](16)φ(Wf(a,b))=ωd+φ0(17)如果实际的冲击响应信号经小波变换后,它的模|Wf(a,b)|以及相位φ(Wf(a,b))是已知的,那么就可以根据式(16)和式(17)得出:ζωn=-ddt(ln|Wf(a,b)|)(18)φd=ddt(φ(Wf(a,b)))(19)这样可以从式(18)和式(19)估算出系统的固有频率和阻尼系数。3残差信号的尺度谱为了验证该方法的有效性和解的精度,我们以信号exp(-2t)sin(10πt)为例。图1表示信号的时域波形。图2表示信号经过连续小波变换后的尺度谱,其值用灰度值来表示,尺度谱值越大,即信号的能量越集中,其灰度值也越大。从图2中可以看出,主要能量集中在尺度a=2.0位置。取a=2.0,由式(18)和式(19)求得信号的衰减指数和圆频率。表1给出了理论值与实际辨识值的比较。为了模拟实际工程问题中复杂情况,我们将背景信号设定为一混沌信号,并在该混沌信号上叠加一个微弱的冲击响应信号exp(-10t)sin(20πt),叠加后的信号如图3所示。混沌信号是由杜芬方程产生。通常,混沌信号被认为具有宽带的频率成分,因此可以较好地模拟实际的工程问题。从图4所表示的信号尺度谱中也可以看出信号能量较为分散。在尺度a<3时,在各时间段均有较大的能量分布,这部分信号是由杜芬方程的混沌信号产生的。在尺度a=1,时间段t=4附近,信号能量较为集中,这一部分正是由于冲击信号所引起的。为了提高信噪比,我们运用前面所介绍的非线性建模方法,提取出信号中的残差。残差信号的尺度谱如图5所示,从图5可以明显地看出信号中的冲击成分。取a=1,可以从残差信号的尺度谱中估算出冲击响应信号的圆频率和衰减指数。表2给出了理论值与实际辨识值之间的信号比较。从上面的两个例子可以看出,利用小波变换方法来识别系统动态固有频率和阻尼系数具有很高的精度。4动态特征参数的辨识大型混流式水轮发电机组运行的稳定性将直接影响到机组的安全和使用寿命。由于水轮机在实际工作环境中,水流会产生低频率的冲击载荷,其频率一旦接近轴系的动态固有频率,就会使轴系产生强烈的振动,严重时可以损坏水轮机组。但是由于大型水轮机组的轴系是一个巨大的结构件,其主轴的外径可达2m左右,转轮外径达17m,总长为20m以上,总质量约1300t。对于这类大型构件的动态特征参数的辨识是一件十分困难的问题。传统的辨识方法很难准确估计出轴系的动态固有频率。我们采用前面所介绍的非线性建模方法和小波变换方法成功地辨识出水轮机组轴系的动态固有频率和阻尼系数,取得满意的结果。为了获取轴系在工作环境下动态固有频率,我们采用瞬态冲击激振方法,用质量为220kg的重锤撞击主轴,产生瞬态激振冲击力。图6为连续撞击多次情况下,主轴振动信号的时域波形。由于水流的冲击,主轴振动信号主要是由水流低频载荷所引起的。从图6中很难看出由重锤撞击所产生的冲击响应信号。图7是原始信号的尺度谱图,从图7中,在尺度a=4附近,存在并不明显的连续4次撞击所产生的冲击响应。为了提高信噪比,将原始信号进行非线性建模提取出残差信号,从而剔除水流载荷所产生的背景信号。图8是残差信号的尺度谱,可以看出撞击信号被明显地提取出。根据图8的尺度谱,可以估算出水轮机组轴系的动态固有频率为3.5Hz左右,粘性阻尼系数为0.02~0.03。理论分析结果表明,在考虑不同因素情况下,轴系的第一临界频率在3.5Hz左右,因此可以认为实测值与理论值基本一致。5解决了动态固有频率和阻尼系数的辨识问题本文针对大型结构件的动态特征的辨识问题,提出了对实测的冲击响应信号进行非线性建模,并利用残差信号的小