数值天气预报期末考已结束第四章

第四章全球大气谱模式

SpectralModelforGlobalAtmosphere全球大气谱模式全球大气球坐标系（投影坐标不方便，会使某些地区产生严重形变）全球大气谱模式全球大气模式求解两种方法：

网格法：球面网格（经纬网格，方盒网格）

谱方法：是把变量进行谱展开，由基本方程组得到对应的谱方程，变量场的预报转化为谱方程的预

报，这种模式称为谱模式.DifferencesbetweenFDandspectralmodelsConsiderthelinearadvectionequation:with

I.C.u(x,0)=u0(x)Finitedifferenceapproachinvolvesadiscretizationoftheforecastvariableandequationinspaceandtimewith:Thelinearadvectionequationmaythenbewritten:Alternatively,wemaywritewherearethediscreteFouriertransformexpansioncoefficientsof

u(x,t).

Thelinearadvectionequationmaythenbewritten:or,afterdiscretizingintime:全球大气谱模式——发展历史Silberman(1954)借助于球谐函数求解了无辐散正压涡度方程Lorenz(1960),Plazman(1960)随后证明了无辐散正压流体谱截断方程如同原来精确的微分方程一样具有总动能和总涡度的平方守恒性质，这些性质可以自动消除非线性不稳定。Eliasen(1970)和Orszag（1970）分别独立提出“变换法”计算非线性项，即先把有关物理量场从谱空间变换到几何空间，计算出格点上的值及非线性项的值，然后再作逆变换，把这些项变换回谱空间。实现谱方法一个实质性突破！Bourke（1977）提出第一个原始方程谱模式。目前，ECMWF/IntegratedForecastingSystem(IFS)T1279L91,NCEP/GlobalForecastSystem(GFS)T574L64,CMA/T213/T639等全球大气谱模式谱展开：把变量在求解区域内用适当的函数展开，控制方程

就变成关于展开系数的以时间为自变量的常数微分

方程，然后再用差分法求解数值解。常微分方程组

即为谱方程。其中,①要进行波谱截断（有限自由度）

②对三维运动,有三种情况:ⅰ)x方向级数展开,y、p(z)差分ⅱ)x、y方向级数展开,p(z)差分ⅲ)均级数展开

常用的是第二种。③对球面大气,函数系(正交)常取为球面谐和函数任何在球面上单值、且有二次以上连续微商的实函数

，均可用球面调和函数

展开为一个平均收敛的级数，即为

的共轭。§1.球面调和函数及其性质而展开系数（又称谱系数、球谐谱系数）为§1.球面调和函数及其性质是方程的特征函数。1球谐函数定义：§1.球面调和函数及其性质是标准化的连带Legendre(勒让德)多项式：§1.球面调和函数及其性质2球谐函数

性质：①在λ方向有2m个零点（节点）

在φ方向，除两极点外，有（n-m）个零点在气象应用中，m（m>0)称为纬向波数，表示一个纬圈上谐波个数；n-m表示在南北两极之间（极点除外）

的零点个数，通常称n为二维指数或全波数。§1.球面调和函数及其性质②③§1.球面调和函数及其性质④正交性§1.球面调和函数及其性质3球谐变换、傅立叶变换、勒让德变换格点空间

傅立叶谱系数

球谐谱系数

§1.球面调和函数及其性质球谐变换对：格点空间

球谐谱系数

§1.球面调和函数及其性质傅立叶变换对：格点空间

傅立叶谱系数

§1.球面调和函数及其性质勒让德变换对：球谐谱系数

傅立叶谱系数

4对称和反对称

若计算区域仅是半球范围，则可假设f(λ,φ)关于赤道是对称的，或反对称的，照样可求解ⅰ）对称→也对称→n-m=偶数，

也是

的偶函数

此时，只要取n=m,m+2,m+4,……,m+J(J为偶数)§1.球面调和函数及其性质ⅱ）反对称

是

的奇函数→n-m=奇数n=m+1,m+3,m+5,……,m+J(J为奇数)§1.球面调和函数及其性质nMmM§1.球面调和函数及其性质5波谱截断：实际应用中，谱展开式只能取有限项，因而存在波数截断，常用波数截断有两种i）三角形截断（TM,如T42）(triangulartruncation)

即在图中,展开的波数限制在一个三角形内三角截断所有谱分量，即

的数量为（M+1)(M+2)/2。(~M**2)§1.球面调和函数及其性质ⅱ)菱形截断(RM,如R15):

(rhomboidaltruncation)

J为正整数即在图中,展开的波数限制在一个菱形区域内菱形截断所有谱分量，即

的数量为（M+1)(M+1)。(~M**2)§1.球面调和函数及其性质iii)三角形截断和菱形截断比较（相同自由度，即波数截断保留相同数目的谱分量）1.三角形截断各向同性；菱形截断各向异性。2.三角形截断能更好地描述平均纬向环流和超长波；菱形截断使低纬东西向分辨率减少，而高纬中等纬向波数分辨率增加。3.三角形截断要比同样自由度的菱形截断计算量小一些。4.Baer（1972）认为，中等分辨率的模式应采用三角形截断方式；Ellsaesser(1966)研究表明，甚低分辨率（纬向仅取5～10个波数）的模式，菱形截断可使500hPa旋转流场动能保留最大方差。mnCCDDAABB§2.正压无辐散涡度方程谱模式1、涡度方程

球坐标系（λ，φ），浅水方程组可写为（z为自由面高度）§2.正压无辐散涡度方程谱模式上式可改写为其中§2.正压无辐散涡度方程谱模式§2.正压无辐散涡度方程谱模式§2.正压无辐散涡度方程谱模式无辐散，则可引入流函数ψ：正压无辐散涡度方程可用流函数写为：§2.正压无辐散涡度方程谱模式可改写为：§2.正压无辐散涡度方程谱模式谱方程及Silberman直接解法

令：§2.正压无辐散涡度方程谱模式§2.正压无辐散涡度方程谱模式将上述展开式带入正压无辐散涡度方程§2.正压无辐散涡度方程谱模式§2.正压无辐散涡度方程谱模式§2.正压无辐散涡度方程谱模式§2.正压无辐散涡度方程谱模式§2.正压无辐散涡度方程谱模式§2.正压无辐散涡度方程谱模式§2.正压无辐散涡度方程谱模式非线性相互作用系数可得谱方程如下：§2.正压无辐散涡度方程谱模式§2.正压无辐散涡度方程谱模式略去撇号：谱方程可重写为：其中：§2.正压无辐散涡度方程谱模式§2.正压无辐散涡度方程谱模式3Orszag变换法Orszag(1970)提出了计算非线性项谱系数的变换法，与S的直接法相比，计算量由于使用FFT算法而大大减少。其基本思想为：令非线性项为则非线性项的谱系数

不是直接在谱空间用相互作用法求得，而是先根据预报变量的的谱系数

在格点上计算出然后再将格点上

变换为谱系数§2.正压无辐散涡度方程谱模式§2.正压无辐散涡度方程谱模式非线性项谱系数如何求得？§2.正压无辐散涡度方程谱模式非线性项谱系数的算法：a)Silberman直接法（在谱空间根据流函数谱系数直接计算，计算量大）：b)Orszag变换法（根据流函数谱系数计算格点空间J，然后将其变换为

谱系数，由于使用FFT算法，计算量减少）：§2.正压无辐散涡度方程谱模式§2.正压无辐散涡度方程谱模式由流函数谱系数计算非线性项在格点空间值的思路如下：§2.正压无辐散涡度方程谱模式使用如下递推关系：§2.正压无辐散涡度方程谱模式由流函数谱系数计算非线性项在格点空间值的方法如下：§2.正压无辐散涡度方程谱模式由流函数谱系数计算非线性项在格点空间值的方法如下：§2.正压无辐散涡度方程谱模式由流函数谱系数计算非线性项在格点空间值的方法如下：§2.正压无辐散涡度方程谱模式由流函数谱系数计算非线性项在格点空间值的方法如下：§2.正压无辐散涡度方程谱模式由流函数谱系数计算非线性项在格点空间值的方法如下：§2.正压无辐散涡度方程谱模式由流函数谱系数计算非线性项在格点空间值的方法如下：§2.正压无辐散涡度方程谱模式谱方程的时间差分格式：§2.正压无辐散涡度方程谱模式Orszag变换法基本计算流程：高斯积分FFTFFTtt+∆t§2.正压无辐散涡度方程谱模式DFT定义§2.正压无辐散涡度方程谱模式对于F1，F2，F3和F4均截断于M，由于非线性相互作用，F1×F2和F3×F4会产生最大纬向波数为2M的波动。而

中的m取值也是从-M到M。因此，中所包含的最大纬向波数为3M由DFT定义可得，N-1>=3M N>=3M+1§2.正压无辐散涡度方程谱模式高斯格点数：三角截断：Kg>=(3M+1)/2

菱形截断：Kg>=(5M+1)/2§2.正压无辐散涡度方程谱模式22证明：§2.正压无辐散涡度方程谱模式积分不等于0，要求m=m1+m2§2.正压无辐散涡度方程谱模式由于＝§2.正压无辐散涡度方程谱模式对于菱形截断高斯积分：积分要精确成立，要求具有具有2kg-1次代数精度，kg为高斯结点总数。因此，2kg-1>=2N+3J,kg>=（2N＋3J+1)/2如果J=N,则，kg>=(5N+1)/2对于三角形截断最高自由度：2kg-1>=3Nkg>=(3N+1)/2§3、波谱方法和差分法的比较

和差分法比较，波谱方法的优点：可以精确处理各分量之间的相互作用，因此截断后的系统动能和涡度平方（拟能）仍守恒，不产生因此混淆误差引起的计算不稳定；

水平平流项可以精确计算，相速度没有误差；

便于模拟全球大气运动；便于使用半隐式时间积分方案以线性平流方程为例讨论：

解区间

，且在

处满足周期性边界条件。§3、波谱方法和差分法的比较§3、波谱方法和差分法的比较精确解：§3、波谱方法和差分法的比较假设：§3、波谱方法和差分法的比较§3、波谱方法和差分法的比较由以上三式可确定：§3、波谱方法和差分法的比较但由准确解可知：t=0时，ζ在格点上的值应满足：显然，（*1）和