大学数学(高数微积分)第十章线性函数第四节(课堂讲义)

*第四节辛空间主要内容辛空间的基本概念及性质辛子空间及辛变换辛变换的性质近年来有限维辛空间的理论在力学、计算数学、几何学、代数学、组合学等学科中日显重要.我们在这一节简略地介绍辛空间的一些性质，特别是辛空间的子空间及辛自同构(称为辛变换)的性质.由前一节的讨论，已经得到下面两点性质：1.辛空间(V,f)中一定能找到一组基

1,

2,…,

n,

-1,

-2,…,

-n

满足一、辛空间的基本概念及性质f(

i,

j

)=0,-n

i,j

n,i+j0.这样的基称为(V,f)的辛正交基.还可看出辛空间一定是偶数维的.2.任一2n

级非退化反对称矩阵K

可把一个数域

P

上2n

维空间V

化成一个辛空间，且使K

为某基e1,e2,…,en,e-1,e-2,…,e-n

下的度量矩阵.又此辛空间在某辛正交基

1,

2,…,

n,

-1,

-2,…,

-n

下的度量矩阵为f(

i,

-i

)=1,1

i

n,故

K

合同于J.即任一2n

级非退化反对称矩阵皆合同于J.两个辛空间(V1,f1)及(V2,f2)，若有V1

到V2的作为线性空间的同构K

，它满足f1(u,v)=f2(K

u,K

v),则称K是(V1,f1)到(V2,f2)的辛同构.(V1,f1)到(V2,f2)的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把(V1,f1)的一组辛正交基变成(V2,f2)的辛正交基.两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.辛空间(V,f)到自身的辛同构称为(V,f)上的辛变换.取定(V,f)的一组辛正交基

1,

2,…,

n,

-1,

-2,…,

-n

V

上的一个线性变换K

，在该基下的矩阵为K，其中A,B,C,D

皆为n

n

方阵.则K是辛变换当且仅当KTJK=J，亦即当且仅当下列条件成立：ATC=CTA,BTD=DTB,ATD-CTB=E.且易证，|K|0，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换.设(V,f)是辛空间，u,v

V,满足f(u,v

)=0则称

u,v

为辛正交的.W

是V

的子空间，令W

={u

V|f(u,w

)=0,w

W}.(2)W

显然是V

的子空间，称为W

的辛正交补空间.定理7

(V,f)是辛空间，W

是V

的子空间则dimW

=dimV-dimW.证明取V

的一组基

1,

2,…,

2n

，W

的一组基

1,

2,…,

k.设f

在

1,

2,…,

2n

下的度量矩阵为A.一对向量

=(

1,

2,…,

2n)X，

=(

1,

2,…,

2n)Y，其中分别是

及

在基

1,

2,…,

2n下的坐标向量，于是f(

,

)=XTAY.现设W

的基

1,

2,…,

k在V

的基

1,

2,…,

2n下的坐标向量是

X1,X2,…,Xk.又f是非退化的，A

为可逆阵.因此又

W

当且仅当

1,

2,…,

k都与

辛正交当且仅当Y

满足齐次线性方程组于是W

与(3)的解空间同构.(3)的解空间的维数为2n-k,就证明了dimW

=dimV-dimW.证毕定义11

(V,f)为辛空间，W

为V

的子空间.若W

W

,

则称W

为(V,f)的迷向子空间；若W

=W

,即W

是极大的(按包含关系)迷向子空间，也称它为拉格朗日子空间；若

W

∩

W

={0}，则称W

为

(V,f)的辛子空间.二、辛子空间及辛变换例如，设

1,

2,…,

n,

-1,

-2,…,

-n

是(V,f)

的辛正交基，则L(

1,

2,…,

k)是迷向子空间.L(

1,

2,…,

n)是极大迷向子空间，即拉格朗日子空间.L(

1,

2,…,

k,

-1,

-2,…,

-k)是辛子空间.对辛子空间(V,f)的子空间U，W.通过验证，并利用定理7，可得下列性质:(1)

(W

)

=W

,(2)

U

W

W

U

,(3)

若U

是辛子空间，则V=U

U

,(4)

若U

是迷向子空间，则

(5)

若U

是拉格朗日子空间，则

定理8

设L

是辛空间(V,f)的拉格朗日子空间，

1,

2,…,

n是L

的基，则它可扩充为(V,f)的辛正交基.证明由上面性质(5)，知dimV=2n.用Li表示n-1维子空间L(

1,…,

i-1,

i+1,…,

n).由Li

L知Li

L

=L.再由定理7知L1

是n+1维子空间，故L1

中有向量

-1不在L

中，即f(

1,

-1

)

0.不妨设f(

1,

-1

)=1(否则把

-1换成它的适当倍数).由于

-1

L1

，则f(

j,

-1

)=0,j=2,…,n.

然后在L2

选一向量

-2不在L

中，使f(

2,

-2)=1.设f(

-1,

-2)=

a，作

-2=a

-1+

-2，则有f(

2,

-2)=1及f(

-1,

-2)=-a+a=0,且显然有f(

i,

-2

)=0,i=1,3,…,n.

如此继续下去得到(V,f)

的基

1,

2,…,

n,

-1,

-2,…,

-n是(V,f)

的辛正交基.证毕推论设W

是(V,f)的迷向子空间，

1,

2,…,

n

是W

的基，则它可扩充成(V,f