同济大学高等数学第六版第五章课后习题答案(包括5.1-5.2-5.3-5.4-总习题五)

仅供学习参考仅供学习参考习题5-11.利用定积分定义计算由抛物线产x2+1,两直线x=a、x=b(b〉a)及横轴所围成的图形的面积解第一步在区间［a,b］内插入n-1个分点x=a+七，(/=1,in2,…，n-1),把区间［a,b］分成n个长度相等的小区间，各个小区间的长度为：Ax=b-a(/=1,2,…，n).in第二步：在第/个小区间［4［，x］(/=1,2,…，n)上取右端点己=x=a+b-ai,作和iinTOC\o"1-5"\h\zS工徙)Ax工[(a+ji)2+1].b2an ii n ni=1 i=1=bzaE[a2+2a(b-a)i+b±i2+1]n n n2i=1(b-a)「 _[na2+n2a(b-a)n(n+1) (b-a(b-a)「 _[na2+n+n]' ,•'「/+•+n]n2n2 6=(b-a)[a2+a(b-a)(n+1)+(b-a旦n+1)(2n+1)+1].n 6n2第三步：令九=max{Ax,Ax,…，Ax}=之，取极限得所求面1 2nn积SJbf(x)dx=limXf(m)Ax»0「ii=1=lim(b-a)[a2+n-8+1]a(b-a)(n+1)+(b=lim(b-a)[a2+n-8+1]6n21 1/7 、「=(b-a)[a2+a(b-a)+3(b-a)2+1]=§(b3-a3)+b-a..利用定积分定义计算以下积分：jbxdx(a<b);a解取分点为x=a+4i(/=1,2,…，n-1),那么Ax=U(/=1,in in

2,…,n),在第i个小区间上取右端点己=x=a+*i(/=1,2,…，n).iin于是Jbxdx=limE己Ax=limX(a+b-ai)-b-aTOC\o"1-5"\h\ziia n—8 n—8, n ni=1 i=1(b一a)2n(n+1)】1 、=(b一a)2lim[a(b一a)+ : _]=(b2-a2).n—8 2n2 2J1exdx.0解取分点为x=L(i=1,2,…，n一1),那么Ax=1(i=1,2,…，n).

in in在第i个小区间上取右端点m=x=i(i=1,2,…，n),于是iinJ1exdx=limEen1=lim1(e：+e2++e1n)▼ /1/ \/V/1/ ，上/0 n—8 nn—8n=1=liml-en[1-(，:)n]=lime:[1-e]=e-1.n—8n 1-en n—8n(1-e;)3.利用定积分的几何意义，说明以下等式：(1)J12xdx=1;解112xdx表示由直线y=2x、x轴及直线x=1所围成的面积显然面积为1.dx表示由曲线产、产三、dx表示由曲线产、产三、x轴及y轴所围成的四0分之一圆的面积即圆M+y2=1的面积的4:J1J1_x2dx=1•兀-12=—.0 4 4⑶J"sinxdx=0;一兀解由于y=sinx为奇函数，在关于原点的对称区间［-兀，兀］上与x轴所夹的面积的代数和为零，即j"sinxdx=0.一兀TOC\o"1-5"\h\z" "(4)J2cosxdx=2J2cosxdx.-三 o2解Rcosxdx表示由曲线y=cosx与x轴上［-",口一段所围匹 22成的图形的面积.因为cosx为偶函数，所以此图形关于y轴对称.因此图形面积的一半为Ecosxdx,即" "2cosxdx=2J2cosxdx..水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，闸门上水的压强P(单位面积上的压力大小)是水深h的函数，且有p=9另h(kN/m2).假设闸门高H=3m,宽L=2m,求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P.解建立坐标系如图.用分点x=Hi(i=1,2,…，n-1)将区间［0,inH］分为n分个小区间，各小区间的长为Ax=H(i=1,2,…，n).in在第i个小区间［Xiy,xi］上，闸门相应局部所受的水压力近似为APi=9.8xiL-Axi.闸门所受的水压力为P=limX9.8x-L-Ax=9.8LlimEHi-Hii nnnf8 nf8.1nni=1 i=1=9.8L-H2lim"2+1)=4.8L-H2.nf82n

将L=2,H=3代入上式得P=88.2（千牛）..证明定积分性质：(1)jbkf(x)dx=kfbf(x)dx;TOC\o"1-5"\h\za a证明fbkf(x)dx=lim］Lkf&)Ax=klimXf&)Ax=kfbf(x)dx.° »0i=1 ii 入-0i=1 ii°(2)fb1-dx=fbdx=b-a.a a证明fb1dx=limE1-Ax=limEAx=lim(b-a)=b-a.a 九一>0, '九一>0, '九一>0i=1 i=16.估计以下各积分的值：⑴f4(x2+1)dx;解因为当1<x<4时，2<x2+1<17,所以2-(4-1)<f4(x2+1)dx<17-(4-1),<f4(x2+1)dx<51.1f4"(1+sin2x)dx;兀4解因为当"<x<4"时,1<1+sin2x<2,所以1-(5"-")<f4"(1+sin2x)dx<2-(5"-"),'4 4，"' / '4 4八兀J兀J%(1+sin2x)dx<〃.兀4f3xarctanxdx;,1.-3解先求函数f(x)=xarctanx在区间［g,、/3］上的最大值M与最小值m.小）=arctanx+福,因为当g＜x＜、3时，f'（x）＞。，所以函数f(x)=xarctanx在区间［上,%司上单调增加.于是TOC\o"1-5"\h\z1、1 ,1兀m=f( )=一arctan一= ,13、；3 6PM=fQ3)=、,3arctan、；3=3.A-因此冗(3-上)<j3xarctanxdx<_^_(3-2_),6/3 、;3 -13 j3 /3^_<J3xarctanxdx<丝9x 3j0ex2-xdx.2解先求函数f(x)=ex2-x在区间［0,2］上的最大值M与最小值f(x)=ex2-x(2x-1),驻点为x=1.乙比拟f(0)-l9ft2)=e2,f(2)=e-4,得m-e-4,M-e2于是e-4(2-0)<j2ex2-xdx<e2-(2-0),0-2e2<j0ex2-xdxdx<-2e-4.27.设f(x)及g(刈在［a,b］上连续，证明：⑴假设在［a,b］上，f(x)>0,且jbf(x)dx=0,那么在［a,b］上af(x)=0；证明假设f(x)=0,那么必有f(x)〉0.根据f(刈在［a,b］上的连续性，在［a，b］上存在一点x0,使f(x0)>0,且f(x0)为f(刈在［a,b］上的最大值.再由连续性，存在［c,d］u［a,b］,且x0G［c,d］，使当xg［c,d］时，f(x)>号.于是fbf(x)dxJcf(x)dxfbf(x)dxJcf(x)dx+jdf(x)dx+jbf(x)dx>fdf(x)dx>ccd于彳，(d一c)>0.这与条件fbf(x)dx=0相矛盾.因此在［a,b］上f(x)三0.a(2)假设在［a,b］上，f(x)>0,且f(x席0,那么Jbf(x)dx>0;a证明证法一因为f(刈在［a,b］上连续，所以在［a,b］上存在一点x0，使f(x0)>0,且f(x0)为f(刈在［a,b］上的最大值.再由连续性，存在［c,d］u［a,b］,且x0G［c,d］，使当xg［c,d］时,f(x)f(x)>i-2^fba.于是f(x)dx>fdf(x)dx>f(x?(d-c)>0.

c 2证法二因为f(x)2所以fbf(x)dx".假设fbf(x)dx>0不成立.那么只有fbf(x)dx=0,a根据结论⑴，f(x)三0,矛盾.因此Jbf(x)dx>0.⑶假设在［a,b］上，f(x)<g(x),且fbf(x)dx=fbg(x)dx,那么在［a,b］上f((x)=g(x).证明令F(x)=g(x)-f(x),那么在［a,b］上F(x)>0且fbF(x)dx=fb［g(x)-f(x)}d,x=fbg(x)dx-fbf(x)dx=0,由结论(1),在［a,b］上F(x)三0,即f(x)三g(x).4.根据定积分的性质及第7题的结论，说明以下积分哪一个的值较大：⑴f1x2dx还是f1x3dx？解因为当0«X<1时,x2次3,所以f1x2dx>f1x3dx.00又当0<x<1时，x2>x3,所以J1x2dx>J1x3dx.解因为当1<X<2时,X2女3,所以J2解因为当1<X<2时,X2女3,所以J2x2dx<J2x3dx.11

所以J2x2dx<J2x3dx.11又因为当1<x<2时，x2<x3,J2lnxdx还是J2(lnx)2dx？解因为当1<x<2时，0<lnx<1,Inx>(lnx)2,所以J2lnxdx>J2(lnx)2dx.又因为当1<x<2时，0<lnx<1,Inx>(lnx)2,所以J2lnxdx>J2(lnx)2dx.11所以J1xdx>J1ln(1+x)dx.所以J1xdx>J1ln(1+x)dx.00所以J1xdx>J1ln(1+x)dx.0 000解因为当0<x<1时，x>ln(1+x),又因为当0<x<1时，x>ln(1+x)J1exdx还是J1(1+x)dx？解设f((x)=ex-1-x,那么当0<x<1时f，(x)=ex—1>0,f(x)=ex-1-x是单调增加的.因此当0<x<1时，f(x)>f(0)=0,即ex>1+x,所以所以\1exdx>f1(1+x)dx.所以\1exdx>f1(1+x)dx.00又因为当0<x<1时，ex>1+x,习题5-21.试求函数y1.试求函数y=Jxsintdt当x=0及x=0解y，=dJxsintdt=sinx,dx03时的导数.当x=0时，y'=sin0=0;当x与时，上sin；=想.求由参数表示式x=Jtsinudu,y=Jtcosudu所给定的函数y

对X的导数.解x'(t)=sint,y'(t)=cost,dy=d=cost.dxx(t).求由fyedt+』xcostdt=0所决定的隐函数y对x的导数华.0o dx解方程两对x求导得eyy+cosx=0,于是dy__cosxd ey..当x为何值时，函数I(x)_fxte_12dt有极值？o解I'(x)_xe_x2,令I((x)_0,得x_0.因为当x<0时,I((x)<0;当x>0时,I((x)〉0,所以x_0是函数I(x)的极小值点..计算以下各导数:⑴dfx2\；T+Edt;解dfx2.jT+Edt令__dfu.jT+Edt.dUdx du dx_.J1+u2.2x_2x、:1+x4_1_dt_df0_1_dt+dfx3_dt

J1+14 dxx2,v-1+14 dx0.J1+14JdtJ+tU_dfx21dtJdtJ+tUd01+tu d01q11+1q11+(x2)4.(x2)+=1JTO3F2x , 3x2__ + .J1+x8J1+x12⑶dfcosxcos(lt2)dt.dxsinx解d_13xcosg2)dt——d1sinxcosg2)dt+dJc0sxcosg2)dtdxsinr dx0 dx0sinx-—cos(Ksin2x)(sinx)'+cos(Kcos2x)(cosx)’—cosx-cos(Ksin2x)—sinx-cos(Kcos2x)—cosx-cos(Ksin2x)—sinx-cos(K一兀sin2x)—cosx-cos(Ksin2x)+sinx-cos(Ksin2x)(sinx—cosx)cos(ksin2x)6.计算以下各定积分:(1)1°(3X2一X+1)dx;0_解1°(3x2—x+1)dx-(x3—1x2+x)I2 10(2)12(x2+-1)dx;1 X4解112a2&)dx-(3⑶19、,x(1+、x)dx;x3Vx-3)|2-3(23一二3)-；"1-3)-28.4解19.jx(1+.jx)dx-19(x2+x)dx—(2x3+1x2)I4 4 3 2—孕+292)一《43+242)-456.(4)|3dx；()_l1+H；I-.3解13 -arctanxq+x2、3'3=arctan产—arctan-•31_K兀—兀

不一36—6.dx、,‘1一x2'1 1-arcsinx21 1兀兀兀=arcsin-arcsm(一一)=7一(一丁) .1 2 26 632(6)13adx0a2+x23a3adx1 .xI3 =arctan—0a2+x2aax=arcsm_23a=1arctan3-LrctanO=a a=arcsin1-arcsinO=「.2 63x4+3x2+1

x2+1解Jo3x4+3x2+1dx-J。(3x2+_L_^)dx-(x3+arctanx)Io_1 x2+1 _1 x2+1 -1=-(-1)3-arctan(-1)=1+£.(9)J-2(9)J-2-e-1解J-2dx.1+x，

dx1+x=lnI1+xII-2=ln1-Ine=-1.-e-1J"4tan20d0;o解J"4tan20d0=J：(sec20-1)d0=(tan0-0)"4=tan00J2KIsinxIdx;o解J2"IsinxIdx=J"sinxdx-J2"sinxdxTOC\o"1-5"\h\zo o "--cosx冗+cosx2加=—cos兀+COS0+COS2兀-cos兀=4.Ix+1x<1(12)J2f(x)dx,其中f(x)={1x2x〉］.^x2 ^x/o 〔2解J2f(x)dx-J1(x+1)dx+1J2x2dx=(1x2+x)I1+(1x3)2-8.o o 21 2o6 137.设k为正整数.试证以下各题：J"coskxdx=o;-兀证明J"coskxdx=.Isinkx"=£sink"一1sink(-")=o.k -"kk-"⑵J"sinkxdx=o;-"

冗 1 1 1证明fsinkxdx=-coskx九二一十cosk兀+cosk(一兀)k -兀 k k一儿=-1cosk兀+1cosk兀=0.kk(3)，冗cos2kxdx=兀;一兀证明J"cos2kxdx=1J"(1+cos2kx)dx=1(x+71sin2kx)l冗=兀.-冗 2-" 22k -"(4)J"sin2kxdx=".一"证明J"sin2kxdx=1J"(1-cos2kx)dx=1(x-7A_sin2kx)l"=".-" 2-" 2 2k -"8.设k及l为正整数，且kwl.试证以下各题：J"coskxsinlxdx=0;一兀证明』冗一兀证明』冗coskxsinlxdx=1f_兀"[sin(k+1)x-sin(k-1)x]dx一兀TOC\o"1-5"\h\z=[--J.cos(k+1)x]"-[--J-cos(k-1)x]"=0.2(k+7J -" 2(k一) -"J"coskxcoslxdx=0;—"证明J"coskxcoslxdx=1J"[cos(k+1)x+cos(k-1)x]dx-" 乙-"=[1八sin(k+1)x]"+[1八sin(k-1)x]"=0.2(k+1) ' -"2(k-1) ' -"⑶J"sinkxsinlxdx=0.—"证明J"sinkxsinlxdx=-1J"[cos(k+1)x-cos(k-1)x]dx.-" 乙-"=[一__1__sin(k+1)x]"+[__1_sin(k-1)x]"=0.2(k+1) -"2(k-1) -"9.求以下极限:Jxcost2dt(1)lim_0 ;xf0 x22Jxet2dt•Jxet2dt)'=lim_0 0 xf0 xe2x2Jxcost2dt解lim_0 xf0 x(Jxet2dt)2(2)lim0 xf0Jxte2t2dt上心Jxet2dt)2解lim0 xf0Jxte2t2dt=limC0Sx2=1.xf0 102Jxet2dt•ex2 2Jxet2dt=lim 0 =lim0xf0 xe2x2 xf0xex2=lim 2ex2 =lim2=2.xf0ex2+2x2ex2xf01+2x2TOC\o"1-5"\h\z.设f(x)=]xx*.求叭x)=Jxf(t)dt在[0,2]上的表达[xxt[1,2J 0式，并讨论9(x)在(0,2)内的连续性.解当0女<1时，9(x)=Jxf(t)dt=Jxt2dt=1x3;0 0 39(x)=Jxf(9(x)=Jxf(t)dt=J1t2dt+Jxtdt=1+1x2-1=1x2-1.0132 22 6011x3 0<x<1因此 *Hix2-11<x<2因为9(1)=1,lim9(x)=lim1x3=1,3xf1-0 xf1-03 3lim9(x)=lim(1x2-1)=1-1=g,xf1+0 xf1+02 6263所以9(x)在x=1处连续，从而在(0,2)内连续..设f(x)=伊由x0<x莘 .求9(x)=Jxf(t)dt在[0 x<0或x〉兀 0(-叫+8)内的表达式.解当X<0时，

TOC\o"1-5"\h\z①⑴="(M/0力二0；0 0当0女&兀时，4(x)=JXf(t)dt=JXIsintdt=-1costlx=-_Lcosx+J.;0 02 2 0 2 2当x〉兀时，叭X)=1Xf (t)dt=Jn1sintdt+JX0dt=-1cos11冗0 0 2 冗 2 01 10121=-Kcos兀+.cos。=1.2 20121因此.设f((刈在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且f(x)<0,F(x)=-L-JXf(t)dt.x-aa证明在(a,b)内有F(x)<0.证明根据积分中值定理，存在国a,x],使JXf(t)dt=f&)(x-a).a于是有F'(x)=-二JXf(t)dt+Lf(x)(x-a)2a x-a=f(x)- 1f也)(x-a)x-a (x-a)2=_L[f(x)-f&)].x一a由f'(x)<0可知f(刈在[a,b]上是单调减少的，而a爻女，所以f(x)-f(?<0.又在(a,b)内，x-a〉0,所以在(a,b)内F'(x)=L[f(x)-f《)]<0.x一a习题5-3

.计算以下定积分:(1)「sin(x+：)dx;① 3解卜sin(x+K)dx=—cos(x+K)12k3 3近12 2⑵I1dx:—2(11+5x)3解J—2春=5•—2(11+5x)-24k, 2兀11八一一cos+cos__一一―一一0.丁丁22jg2/L-工(3)Esin。cos39d9;0解Rsin。cos3。d9=—Rscos39dsin。001 小严 1 兀,1 八1cos492一一「cos4k+cos40一「.4 (24 24 4(4)>(1—sin30)d0;0解卜(1—sin30)d0=「d0+卜sin20dcos000=02+Jk(1—cos20)dcos0000 0一兀+(cos0—3cos30)|2一兀—3J22cos2udu;k6u\+1sin2u二46工

2

支

6解JJi-cos2udu=7u\+1sin2u二46工

2

支

62 2k 26 6一1(兀一兀)+l(sinK—sinK)一兀一,3一2(2百)+4( 3)=6H.J、2.J2-x2dx;个个2一x2dx令"久n"一'12J2cost•4,’2costdt0解J；0=J\(1+cos2r)dt00=(+1sin2%)1\=；.2 0 2£4£/4(1+cos2x)dx£=勾2(x+；sin2y)1:=、,2(兀+2).£4(8)J1J1^dx;上x2、2解J1%-'1-x2dx令x=sintJ工cost2 二J"sin2t•costdt(9)Ja0解J1

sin2t—1)dt=(—cott—t)+=1—£.£ 44a1 1令x=asint£x27a2—x2dx J2a2sin2t,acost,acostdt0 0=a4J+sin22tdt=a4J2(1—cos4t)dt=40 80J3d；x2.J1+x2解J3dx ==翌—J-_11x2.J1+x2a4,.£a4 £a4兀12—sin4t2二8Io32 016•sec2tdt£cost3dt——(11)』sin21xdx.<5—4x，xdx令--5—4x=u1J1(5—u2)du=—l(5u—1u3)1=1.3 8 3卜6(12)J4 ;11+、,.-1x解J4_dx_=====J21.2udu=211+%/x 11+uJ2(1-1(13)f134解f134，)du22(u-lnl1+ul)|2=2(1+ln2).1+u 1 3dx.,^,1—x—1

dxJ1—x—1令"i="f01'(-2u)du

1u—1222f2(1+_£r)du22(u+Inlu—1l)|2=1—2ln2.0 u—1 I。(14)f2axdx0J3a2—x2解旱f-2axdx0../3a2—x2二一1f2a 1 d(3a2—x2)20 .j3a2—x2二一、;3a2—x212a2a(.\；3—1).(15)f1te-t2dt;0解f1te一t2dt=-f1e一彳d(-t2)=-e一段0 0 2fe2,x ;x、.1+lnx解fe2=fe2x、1+lnx 1(17)10dx；2x2+2x+2，一2解f0x+x+2=f0—2x2xjvj—211J dInx=2J1+lnx|e2=2(%3—1).1dx1+(x+1)2=arctan(x+1)|=arctan1—arctan(—1)=：.(18)f2cosxcos2xdx;工

22(19)金工2n 2cosxcos2xdx2J2(1—2sin2x)dsinx2(sinx-sinsx)工 32Jcosx—COS3xdx;二222T一工 32解Jivcosx-C0S3Xddx'J工 2jcosx\1-C0S2xdx工=J0jcosx(-sinx)dx+J2v，cosxsinxdx工—2cos2x(20)卜0解「0cos3x2-J1+cos2xdx.J1+cos2xdx=J2「sinxdx=-j2cosxn-2.‘2.0 1 10 12.利用函数的奇偶性计算以下积分：⑴卜x4sinxdx;-兀解因为X4sinx在区间［-兀,兀］上是奇函数，所以卜x4sinxdx=0.-兀(2)124cos40d0;工2解124cos40d0=2「4cos4。d0=81丸1+芋2x)2d0-2「(1+2cos2x+cos22x)d00-212(3+2cos2x+1cos4x)d002 2二(30+2sin2x+；sin4x)«=3^_.(3)J2(arcsinx)2dx;-2户J1(arcsinx)27_0J1(arcsinx)2/2 ^d^x>^2J2 ^d^x2 Y1-x20 v1-x2=212(arcsinx)2d(arcsinx)0-2(arcsinx*二总⑷「X3S*Xdx.X4+2X2+1—5解因为函数X3吁\是奇函数，所以「x呼\dx=0.X4+2X2+1 —5X4+2X2+1TOC\o"1-5"\h\z.证明：Ja叭X2)dX=21卯(x2)dX,其中9(u)为连续函数—a 0证明因为被积函数9(x2)是x的偶函数，且积分区间［-a,a］关于原点对称，所以有Ja9(X2)dx-2J"9(X2)dx.—a 0.设f(x)在［一b,b］上连续，证明Jbf(x)dx-Jbf(—x)dx.—b —b证明令x-—t,那么dx-—dt,当x-—b时t-b,当x-b时t-—b,于是Jbf(x)dx-J—bf(—t)(—1)dt-Jbf(—t)dt,b b —b而 Jbf(—t)dt-Jbf(—X)dx,b —b所以 Jbf(x)dx-Jbf(—x)dx.b —b5.设f(刈在［a,b］上连续.，证明Jbf(x)dx-Jbf(a+b—x)dx.aa于是而所以6.证明令x-a+b—t,那么dx-dt,当x-a时t-b,当x-b时于是而所以6.Jbf(x)dx-Jaf(a+b—t)(—1)dt-Jbf(a+b—t)dt,ab aJbf(a+b—t)dt-Jbf(a+b—x)dx,aaJbf(x)dx-Jbf(a+b—x)dx.aa证明：J1TdL-J^L(x〉0).r1+X2 11+X2X 1证明令x=!,那么dx=—J_dt,当x-x时t=l,当x-1时t-1,t 12 x于是

所以f1dx4+所以f1dx4+x2x1+12

dx1+x2=f1_•(-J_)dt=f2」_dt,11+1 12 11+t2x石dt=fx1_dx,11+x2-Ldx7.证明：f1xm(1-x)ndx=f1xn(1-x)mdx7.证明令1-X=t,那么f1xm(1-x)ndx=-f0(1-1)mtndt=f1(1-1)mtndt-f1xn(1-x)mdx,f^Xm(1-x)ndx=f1xn(1-x)mdx.8.证明：f"sinnxdx=2f为sinnxdx.证明卜0sinnxdx证明卜0sinnxdx-fTsinnxdx+f"sinnxdx,f"sinnxdx式20 2令5--f0sinn(兀-1)(-dt)-fTsinntdt-2sinnxdx,

0所以「sinnxdx=2fsinnxdx.所以9.9.设f((X)是以l为周期的连续函数证明fa+1f(x)dx的值与aa无关.证明f(X+1)-f(X).fa+1f(x)dx-f0f(x)dx+flf(x)dx+fa+lf(x)dxJlf(x)dx+fa+lf(x)dx-f0l

0l

fa+lf(x)dx--ifaf(t+1)dt=faf(x+1)dx=faf(x)dx,所以

因此Jef(x)dx的值与a无关.a10.假设f(t)是连续函数且为奇函数，证明Jxf(t)dt是偶函数;假设f(t)是连续函数且为偶函数证明Jxf(t)dt是奇函数.0证明设F(x)-Jxf(t)dt.0假设f(t)是连续函数且为奇函数，那么f(-1)--f(t),从而F(-F(-x)=J-xf(t)dt0令工Jxf(-u)(-1)duJxf(u)dxJ即F(x)-Jxf(t)dt是偶函数.0假设f(t)是连续函数且为偶函数，那么f(-1)-f(t),从而J-x 令t=-uJx+F(-x)=Jxf(t)dt Jxf(-u)(-1)du00--Jxf(u)dx--Jxf(x)dx--F(x),0即F(x)-Jxf(t)dt是奇函数11.11.计算以下定积分:(1)J1xe-xdx;0xe-xdx=-J1xde-x--xe-x1+J1e-xdx--e-1-e-x1-1-2e-1.0Jex0JexInxdx;1解JexInxdx-11-2e2-4x2001匚7 11Jelnxdx2-.x21nx21 2：=4(e2+1).一1fe17e-ex2•dx120x(3)J2^tsin3tdt(3为常数);0

sin3tdt=—①tdcos3t—1.1COS31sin3tdt=—①tdcos3t—1.1COS31普

3 011fj+ 3coswtdt302兀+13232•八，生 2儿Sin313=- 0 32工X3—dx，正simx4解J一力 ］工力… …工,［工…力dx=-J3xdcotx=一xcotx3+J3cotxdx工simx 工4 4兀1।兀 £1v；'3 1一3=—.• ++Insinx3=(「一年加+-IDk.3.34 境2W 224(5)卜&dx;v，，x解J41nxdx-2J4lnxdp-2P氏Inx|4—2)*\x-Ldx二81n2—21」dx-81n2—4、可=4(21n2—1).v'x k(6)J1xarctanxdx;解J1xarctanxdx—01J1arctanxdxi202x2arctanx2x2arctanx1—J1x2• dx020 1+x28-2!(1-&)dx-8-2(x-arctanx)0兀「(1—兀)—兀—1.82( 4) 42J+e2xcosxdx;0解J2e2xcosxdx—J2e2xdsinx—e2xsinx|2一2J寸e2xsinxdx0 0 0 0—e冗+2Jee2xdcosx—e冗+2e2xcosx|£—4Jee2xcosxdx

0 0 0

支—e兀+2-4J2e2xcosxdx0所以 J2e2xcosxdx-1(e冗一2).TOC\o"1-5"\h\z0 5J2xlogxdx;解J2xlogxdx-1J21ogxdx22 21 21J2 1=_x21ogx2- x2- dxJh2： x1n2-1x22-2-21n22(9)卜(xsinx(9)卜(xsinx)2dx;0解「(xsinx)2dx-o.兀31一641卜x2(1-cos2x)dx—1x320 6兀-1卜x2dsin2x0401x3Sin2xn+Io4sin2x-2xdx|n=苓-：卜xdcos2x,=t-1=t-1xcos2xl加+164 104(10)Jesin(1nx)dx;1解法一ncos2xdx-兀3兀,1 兀3兀6-4+8sin2xl:=6FJesin(1nx)dx令1n日J1sint-etdt.1 0因为所以因此J1sint-etdt-J1sintdet-etsint0 0-e-sin1-J1costdet-e-sin1-etcost0-e-sin1-e-cos1+1-J1etsintdt,01-J1etcostdt001-J1etsintdt00J1etsintdt-l.(e-sin1-e-cos1+1).02Jesin(1nx)dx-〈(e-sin1-e-cos1+1).12解法二=e-sin1-Jecos(lnx)dxiTOC\o"1-5"\h\zJesin(lnx)dx-x•sin(lnx)1e-Jex•=e-sin1-Jecos(lnx)dxie 1,-e•sin1-x•cos(lnx)e-ex•sin(lnx)•dx11 x-e•sin1-e•cos1+1-Jesin(lnx)dx,0Jesin(lnx)dx-1(e-sin1-e•cosI+I).1 2JellnxIdx;解JellnxIdx--J1lnxdx+Jelnxdx1 1--xlnx1+xlnxe+J1dx-Jedxe 1e1--1+e+(1-1)-(e-1)-2(1-1).(12)J1(1-(12)J1(1-x2)mdx(m为自然数)；0解J1(1-x2)mdx令x-sin'J22cosm+1tdt.0 0根据递推公式J^cosnxdx-n-1J2cosn-2xdx,J1(1一X2)mdx=0n0mm-2m-4 • •m+1m-1m-3mm-2m-4 •m+1m-1m-3531兀

•••6422,642••753,m为奇数,

m为偶数.J-J"xsinmxdx(m为自然数).m0解因为J"xsinmxdx令x-"-tJ0(兀-1)sinm(兀-1)(-1)dt0 2-J""sinmtdt-J"tsinmtdt,所以J=j冗xsinmxdx=m0—兀=2：j"sinmxdx20•212sinmxdx=兀j2sinmxdx(用第8题结果).根据递推公式j2sinnxdx=n-1j寸sinn-2xdx,0m-1m-3m-5<mm-2m-4m-1m-3m-5 • Imm-2m-4n0531兀2•••642Tm为偶数,6427r儿753,习题5-41.判别以下各反常积分的收敛性,分的值：如果收敛，1.判别以下各反常积分的收敛性,分的值：如果收敛，计算反常积j+8dx;x4解因为j+8dx1x71x-331

+8=lim(-x-3)+1 xf+8333'所以反常积分卜虫收敛，且\+8dx1x43•+8dx解因为j+8dx解因为j+8dx=2,；可+8=lim2tx-2=+8,所以反常积分1 xf+8+8dx+8dx发散.(3)18e(3)18e-axdx(a〉0);0解因为j+°°e-axdx=—_Le-ax1 、1=lim(-e-ax)+=xf+8 a所以反常积分b8e-axdx收敛，且j+8e-axdx=L0(4)j+8e-ptchtdt(p〉1);0解因为”e-pt”e-ptchtdt=1J+82」01e(1-p)t e-(1+p)t1+p+8=p0p2-1，p.p2-1所以反常积分J+8e-ptchtdt收敛，且J+8ep.p2-1⑸J+8e-ptsin3tdt(p〉0,3〉0);0解J+8e-ptsin3tdt=-LJ+8e-ptdcos3t1，一，1--e-ptcos31+8+_31，一，1--e-ptcos31+8+_31pJ—————J3321p+8e-ptdsin3t3321p2f+8=-———J3320cos3t♦(—pe-pt)dte-ptsin31+8+_p_J+8sin3t•(一pe-pt)dte-ptsin3tdt,所以 「8e-ptsin3tdt=一30⑹卜旦,n；ex2+2x+2-8解J+8 dcx2+2x+2-8=J+8-8dx1+(x+1)2兀/兀、一=arctan(x+1)|+8=2-(-2)=兀.解这是无界函数的反常积分,X=1是被积函数的瑕点.(8)J20v11-x2

dxJi-x211=lim(一\,1-x2)+1=1.(8)J20v11-x2

dx解这是无界函数的反常积分,X=1是被积函数的瑕点.因为J2dx=J1dx+J2dx

o(1-x)2-J0(1-x)2\(1-x)2?

「dx_10(1—x)「dx_10(1—x)21一x1_limL-1_内,0xf1一1一x0(1-x)2(9)f2xdx;1.jx一1解这是无界函数的反常积分,X_1是被积函数的瑕点.f22cdx_f2(日+1)dx_[2(x-1)|+2、，口][21vx-11 vx-1 3 11_3-lim[2(x-1)2+2口]_22.(10)fe d：1x、,1-(lnx)(10)fe d：1x、,1-(lnx)2解这是无界函数的反常积分,X_e是被积函数的瑕点.fe坐 _fe 1 dlnx1x、,1-(lnx)2 1\；1-(lnx)2_arcsin(lnx)『_limarcsin(lnx)_1xfe-2.当k为何值时，反常积分J+80兀2.dx收敛？当k为何值时,这反常积分发散？又当k为何值时，这反常积分取得最小值?解当k<1时，f「盛K 焉dlnx_1-k（lnx）k+『e当k_1时，_f+8J-2ln_f+8J-2lnxdlnx_ln(lnx)+8_+8；1 22x(lnx)k当k>1时，f+8dx _f+8 1 dlnx_」(lnx)-k+1+8_Ar(ln2)1-k.2x(lnx)k 2(lnx)k 1-k 2k-1因此当k>1时，反常积分f+8、收敛；当k<1时，反常积0x(lnx)k

分J产、发散.0x(lnx)k当k>当k>1时，令f(k)J"0dxx(Inx)k k-1(ln2)1-k,那么f'(kf'(k)=-(k-1)2(ln2)1-k-3(ln2)1-klnln2

k-1(ln2)i-klnln2(k—)2((ln2)i-klnln2(k—)2(k—1+lnln2令f'(k)=0得唯一驻点k=1-lnln2因为当1<k<1-lnln2时ff(k)<0,当k>1-lnln2时f'(k)>0,所lnln2以卜=1-盛为极小值点，同时也是最小值点，即当卜=1-时，这反常积分取得最小值lnln23.利用递推公式计算反常积分I=J+8xne-xdx.n0因为I=J+8xne-xdx=-J+8xnde-x0=-Xn€-x+8+nJ+8xn-1e-=-Xn€-x0 0 n-1所以又因为所以/=所以又因为所以/=n,(n-1),(n-2)…2,I1I=J+8xe-xdx=-J+8xde-x=-xe-x1 0 01=n,(n-1),(n-2)，,,2,I尸n!.+8+j+80 0e-xdx=-e-x+8=10总习题五1总习题五1.填空：(1)函数f(刈在［a,b］上(常义)有界是f(x)在［a,b］上可积的条件，而f(x)在［a,b］上连续是f是f(刈在［a,b］上可积的条件;解函数f(刈在［a,b］上(常义)有界是f(刈在［a,b］上可积的—必要—条件，而f(x)在［a,b］上连续是f(刈在［a,b］上可积—充分—的条件；⑵对［a,+8)上非负、连续的函数f(x),它的变上限积分卜f(x)dx在［a,+8)上有界是反常a

积分卜0f(x)dx收敛的条件；a解对［。,+8)上非负、连续的函数f(X),它的变上限积分卜f(X)dx在［。,+8)上有界是反常a积分卜0f(x)dx收敛的—充分—条件；a⑶绝对收敛的反常积分P8f(x)dx一定；a解绝对收敛的反常积分P8f(x)dx一定收敛；a⑷函数f(X)在［a,b］上有定义且|f(刈在［a,句上可积，此时积分pf(x)dx存在.a解函数f(刈在［a,b］上有定义且|f(x)|在［a,b］上可积，此时积分Pf(x)dx—不一定—存a在.2.计算以下极限:(1)lim—]^.,,'1+—；n—8n—=1'n=2(2<2-1).3(2)limn—8np+1解lim1'+2'+—+nPP-=lim[(1)p+(—)p+…(=2(2<2-1).3(2)limn—8np+1解lim1'+2'+—+nPP-=lim[(1)p+(—)p+…(n)p]-1=j1xpdx=(3)limlnn—8np+1nn!n—8n1 xp+1p+1解limlnn—8；nnn!” 1八_,人， 1 , =lim[—(ln1+ln2+ +lnn)-•nlnn]nn—8n=lim[(ln1-Inn)+(ln2-Inn)+ +(Inn-Inn)]—=lim(ln—+ln—+ +lnn)•—=jp+p+2p+ +np,c、n—8nn=(xlnx)1-j1dx=(xlnx)1-x00⑷lim2jxf(t)dt,其中f(x)连续;x—ax-aa解法一lim—jxf(t)dt=limxf(m)=af(a)(用的是积分中值定理).

么).解法二limxfxf(t)dt=limxfx么).解法二limxfxf(t)dt=limxfxf(t)dt fxf(t)dt+xf(x)=af(a)(用的是洛必达法那fx(arctant)2dtlim-Q——. xf+^vx2+1fx(arctant)2dtlim-0 xf+w Vx2+1lim =lim (arctanx)2xf+w x xfw xtvx2+13.以下计算是否正确，试说明理由：d(―)f1——=-f1 x—=(-arctan—)「=——-11+x2 -11+(1)2 x-1 2x解计算不正确，因为1在［-1,1］上不连续.x,x=1(2)因为f1 dx t-f1d,所以f1 dx=q.-1x2+x+1 -112+1+1 -1x2+x+1解计算不正确，因为1在［-1,1］上不连续.t(3)f”一x—dx=limfa—x—dx=Q.-w1+x2 afw-A1+x2解不正确，因为,xdx=limfQ_x_dx+limfb-x-dx丰limfA-x—dx.-w1+x2 af-wa1+x2bf+wQ1+x2 Af+w-A1+x24.设p>0,证明上<f1-dx-<1.p+1Q1+xp1 1+xp-xp. xp证明1> = =1- >1-xp.因为1+xp 1+xp 1+xpf1(1-xp)dx<f1*<f1dx,Q Q1+xp Q而 f1dx=1,f1(1-xp)dx=(x-^-^—)1=—p—,Q Q p+1Q1+p所以 上<f1金<1.1+p Q1+xp5.设f(x卜g(x)在区间［a,b］上均连续，证明：［fbf(x)g(x)dx］2<fbf2(x)dx-fbg2(x)dx;a a a证明因为伊(x)-Xg(x)］2>0,所以入2g2(x)-2入f(x)g(x)+f2(x)>0,从而入2fbg2(x)dx-2九fbf(x)g(x)dx+fbf2(x)dx>Q.aa a

上式的左端可视为关于入的二次三项式，因为此二次三项式大于等于0,所以其判别式小于等于0,即4[Jbf(x)g(x)dx]2-4fbf2(x)dxJbg2(x)dx<0,aaaa⑵^Jb[f(x)+g(x)]2dxaaa亦即 [Jbf(x)g(xa⑵^Jb[f(x)+g(x)]2dxaaa}<^Jbf2(x)dx}+^Jbg2(x)dx1,

aa证明Jb[f(x)+g(x)]2dx=Jbf2(x)dx+Jbg2(x)dx+2Jbf(x)g(x)dxa aa a<Jbf2(x)dx+Jbg2(x)dx+2[Jbf2(x)dx-Jbg2(x)dx]2,a a aa又 Jbf2(x)dx+Jbg2(x)dx+2[Jbf2(x)dx-Jbg2(x)dx]2=\Jbf2(x)dx]2+[Jbg2(x)dx]21,a a aa a a所以(Jb所以(Jb[f(x)+g(x)]2dxa2/Jbf2。)dxa卜+(Jbg2(x)dx1a.设f(x)在区间[。,句上连续，且f(x)〉0.证明Jbf(x)dx-Jb-d->(b-a)2.a af(x)证明有不等式[Jbf(x)g(x)dx]2<Jbf2(x)dx-Jbg2(x)dx,在此不等式中，取f(x)=-=L=,a a a 'f(x)g(x)=vf(x),那么有Jb[yf(x)]2-dx-Jb[. ]2dx>[Jb*：f(x)- dx]2,a avf(x) a f(x)JbfJbf(x)dx-Jbdxf(x).计算以下积分:舟x+sinx,(1)J2dx;01+cosx解J2但空01+cosx解J2但空01+cosxdx=J： x——dx-J矣d(1+cosx)2+cosx