江西省南昌市高三高考三模数学试卷（理科）

2021年江西省南昌市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）1．设全集为R，已知集合A＝{x|lnx＜0}，B＝{x|ex＜e}，则A∪（∁RB）＝（）A．R B．[1，+∞） C．[0，+∞） D．（0，+∞）2．若复数z满足（1+i）（z﹣2）＝2i，则＝（）A．3+i B．3﹣i C．﹣3+i D．﹣3﹣i3．已知自由落体运动的速度v＝gt，则自由落体运动从t＝0s到t＝2s所走过的路程为（）A．g B．2g C．4g D．8g4．若函数，则＝（）A． B． C．1 D．5．已知公差不为0的等差数列{an}满足a52+a62＝a72+a82，则（）A．a6＝0 B．a7＝0 C．S12＝0 D．S13＝06．若变量x，y满足，则目标函数z＝|x|﹣2y的最小值为（）A．﹣8 B．﹣6 C．﹣10 D．﹣47．随机变量X服从正态分布，有下列四个命题：①P（X≥k）＝0.5；②P（X＜k）＝0.5；③P（X＞k+1）＜P（X＜k﹣2）；④P（k﹣1＜X＜k）＞P（k+1＜X＜k+2）．若只有一个假命题，则该假命题是（）A．① B．② C．③ D．④8．将方程f（x）＝f'（x）的实数根称为函数f（x）的“新驻点”．记函数f（x）＝ex﹣x，g（x）＝lnx，的“新驻点”分别为a，b，c，则（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c9．平安夜苹果创意礼品盒，如图1，它的形状可视为一个十面体，其中上下底面为全等的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形．如图2，底面正方形ABCD的边长为2，上底面EFGH与下底面ABCD之间的距离为，则该几何体的侧面积为（）A． B． C． D．10．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为（）①轨道Ⅱ的焦距为R﹣r；②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；③轨道Ⅱ的长轴长为R+r；④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④11．已知函数与直线y＝a（0＜a＜2）在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为x1，x2，⋯，xn，⋯，则f（x1﹣2x2﹣3x3）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．12．已知直线l：x﹣y+4＝0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2＝4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为（）A． B． C． D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知两个单位向量，，且||＝1，则||＝．14．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6＝9S3，S3＝λa3，则λ＝．15．设双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），圆（x﹣c）2+y2＝4c2与双曲线C在第一象限的交点为A，若AF1与双曲线C的一条渐近线l垂直，则l的方程为．16．球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，A，B，C是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为，由这三条劣弧围成的图形称为球面△ABC．已知地球半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点若P，Q在赤道上，且|PQ|＝R，则球面△NPQ的面积为；若NP＝PQ＝QN＝R，则球面△NPQ的面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝135°，BD＝CD＝．（Ⅰ）求sin∠CBD的值；（Ⅱ）若△ABD的面积为4，求AD的长．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC⊥平面PAB，AB∥CD，若DC＝DP＝2，BC＝，AP＝1，AB＝3．（Ⅰ）求证：AP⊥AB；（Ⅱ）求直线PC与平面ADP所成的角的正弦值．19．已知抛物线C：x2＝4y，过点P（1，﹣2）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）记P点关于x轴的对称点为Q点，若△QAB的面积为16，求直线l的方程．20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．（Ⅰ）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；（Ⅱ）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为ξ元，其中ξ＝|16﹣4m|．小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，…，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为η元，其中η＝（n﹣4）2.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由．21．定义在实数集R上的偶函数f（x）的最小值为3，且当x≥0时，f（x）＝3ex+a，其中e是自然对数的底数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求最大的整数m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤3ex．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：θ＝θ0（θ0∈[0，π），ρ∈R）．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）设A，B是曲线C1、C2的公共点，若，求曲线C2的直角坐标方程．[选修45：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣3|+2|x﹣1|．（Ⅰ）求f（x）的最小值m；（Ⅱ）已知a＞0，b≥0，若a+2b＝m时，正常数t使得ta+ab的最大值为2，求t的值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，已知集合A＝{x|lnx＜0}，B＝{x|ex＜e}，则A∪（∁RB）＝（）A．R B．[1，+∞） C．[0，+∞） D．（0，+∞）解：因为集合A＝{x|lnx＜0}＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|ex＜e}＝{x|x＜1}，所以∁RB＝{x|x≥1}，则A∪（∁RB）＝（0，+∞）．故选：D．2．若复数z满足（1+i）（z﹣2）＝2i，则＝（）A．3+i B．3﹣i C．﹣3+i D．﹣3﹣i解：由（1+i）（z﹣2）＝2i，得z＝2+＝2+＝2+i（1﹣i）＝3+i，所以＝3﹣i．故选：B．3．已知自由落体运动的速度v＝gt，则自由落体运动从t＝0s到t＝2s所走过的路程为（）A．g B．2g C．4g D．8g解：，故选：B．4．若函数，则＝（）A． B． C．1 D．解：根据题意，函数，则f（﹣）＝4sin（﹣）＝2，则＝f（2）＝log22＝；故选：D．5．已知公差不为0的等差数列{an}满足a52+a62＝a72+a82，则（）A．a6＝0 B．a7＝0 C．S12＝0 D．S13＝0解：因为公差不为0的等差数列{an}满足a52+a62＝a72+a82，所以a82﹣a52+a72﹣a62＝0，所以（a8﹣a5）（a8+a5）+（a7﹣a6）（a7+a6）＝0，即3d（a8+a5）+d（a7+a6）＝0，因为d≠0，所以3（a8+a5）+（a7+a6）＝0，由等差数列的性质得4（a1+a12）＝0，即a1+a12＝0，所以S12＝0．故选：C．6．若变量x，y满足，则目标函数z＝|x|﹣2y的最小值为（）A．﹣8 B．﹣6 C．﹣10 D．﹣4解：z＝|x|﹣2y＝，由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（0，4），可行域与目标函数都关于y轴对称，只需考虑x≥0时即可，当x≥0时，可行域为y轴（含y轴）右侧，目标函数为z＝x﹣2y，由图可知，z＝x﹣2y过A时，z有最小值为﹣8．故选：A．7．随机变量X服从正态分布，有下列四个命题：①P（X≥k）＝0.5；②P（X＜k）＝0.5；③P（X＞k+1）＜P（X＜k﹣2）；④P（k﹣1＜X＜k）＞P（k+1＜X＜k+2）．若只有一个假命题，则该假命题是（）A．① B．② C．③ D．④解：因为4个命题中只有一个假命题，又①P（X≥k）＝0.5；②P（X＜k）＝0.5，由正态分布的相知可知，①②均为真命题，所以μ＝k，则P（X＞k+1）＞P（X＞k+2）＝P（X＜k﹣2），故③错误；因为P（k﹣1＜X＜k）＝P（k＜X＜k+1）＞P（k+1＜X＜k+2），故④正确．故选：C．8．将方程f（x）＝f'（x）的实数根称为函数f（x）的“新驻点”．记函数f（x）＝ex﹣x，g（x）＝lnx，的“新驻点”分别为a，b，c，则（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c解：令f（x）＝f′（x），则ex﹣x＝ex﹣1，解得x＝1，即a＝1；令g（x）＝g′（x），则，设，则，即函数φ（x）在（0，+∞）单调递增，又，∴函数φ（x）在（1，2）上存在唯一零点，即1＜b＜2；令h（x）＝h′（x），则，解得，则．∴c＜a＜b．故选：A．9．平安夜苹果创意礼品盒，如图1，它的形状可视为一个十面体，其中上下底面为全等的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形．如图2，底面正方形ABCD的边长为2，上底面EFGH与下底面ABCD之间的距离为，则该几何体的侧面积为（）A． B． C． D．解：该几何体的俯视图如图所示，设O为俯视图的中心，则，所以,设等腰三角形的高为h,则,得,所以一个等腰三角形的面积为,所以该几何体的侧面积为,故选：B．10．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为（）①轨道Ⅱ的焦距为R﹣r；②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；③轨道Ⅱ的长轴长为R+r；④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④解：由题意可得知，圆形轨道Ⅰ的半径为R，设轨道Ⅱ的方程为+＝1，则a+c＝R，因为圆心轨道Ⅲ的半径为r，则a﹣c＝r，联立，解得2c＝R﹣r，所以轨道Ⅱ的焦距为2c＝R﹣r，故①正确；由于a＝，c＝，故焦距为2c＝R+r，2b＝2＝2，所以R不变，r增大，b增大，轨道Ⅱ的短轴长增大，故②不正确；长轴2a＝R+r，故③正确；所以离心率e＝＝1﹣，r不变，R越大，e越大，即轨道Ⅱ的离心率越大，故④正确所以①③④正确，故选：C．11．已知函数与直线y＝a（0＜a＜2）在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为x1，x2，⋯，xn，⋯，则f（x1﹣2x2﹣3x3）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．解：＝＝，令f（x）＝a，即＝a，解得或，且，则有，所以x1﹣2x2﹣3x3＝，则f（x1﹣2x2﹣3x3）＝．故选：D．12．已知直线l：x﹣y+4＝0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2＝4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为（）A． B． C． D．3解：由题意设点P（t，t+4），C（x1，y1），D（x2，y2），因为PD，PC是圆的切线，所以OD⊥PD，OC⊥PC，所以C，D在以OP为直径的圆上，其圆的方程为，又C，D在圆x2+y2＝4上，将两个圆的方程作差得直线CD的方程为：tx+（t+4）y﹣4＝0，即t（x+y）+4（y﹣1）＝0，所以直线CD恒过定点Q（﹣1，1），又因为OM⊥CD，M，Q，C，D四点共线，所以OM⊥MQ，即M在以OQ为直径的圆上，其圆心为，半径为，如图所示所以|AM|min＝|AO′|﹣r＝﹣＝2，所以|AM|的最小值为，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知两个单位向量，，且||＝1，则||＝．解：∵，且；∴＝；∴；∴＝1+1+1＝3；∴．故答案为：．14．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6＝9S3，S3＝λa3，则λ＝．解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，若S6＝9S3，则q≠1，则有＝9×，变形可得1+q3＝9，解可得q＝2，则S3＝＝7a1，a3＝4a1，若S3＝λa3，则λ＝＝；故答案为：．15．设双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），圆（x﹣c）2+y2＝4c2与双曲线C在第一象限的交点为A，若AF1与双曲线C的一条渐近线l垂直，则l的方程为4x+3y＝0．解：设AF1的倾斜角为θ，∵AF1与双曲线C的一条渐近线l垂直，且，∴tanθ＝，联立，解得cosθ＝，在△AF1F2中|AF1|＝|AF2|+2a＝2c+2a，|F1F2|＝2c，由余弦定理可得：（2c）2＝（2c+2a）2+（2c）2﹣2•（2c+2a）•2c•cosθ＝4a2+8c2+8ac﹣8b（a+c），化简得：a+c＝2b，即c＝2b﹣a，又a2+b2＝c2，∴a2+b2＝（2b﹣a）2+4b2+a2﹣4ab，即，∴，则直线l的方程为y＝﹣，即4x+3y＝0．故答案为：4x+3y＝0．16．球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，A，B，C是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为，由这三条劣弧围成的图形称为球面△ABC．已知地球半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点若P，Q在赤道上，且|PQ|＝R，则球面△NPQ的面积为；若NP＝PQ＝QN＝R，则球面△NPQ的面积为πR2．解：如图1，∵OP＝OQ＝R，PQ＝，∴OP2+OQ2＝PQ2，则OP⊥OQ，又ON⊥赤道所在平面，∴OP、OQ、ON两两互相垂直，则×4πR2＝；如图2，当NP＝PQ＝QN＝R时，构造球内接正四面体N﹣PQS，其中心为O，连接NO交三角形SPQ于H，则NO＝R，OH为正四面体N﹣SPQ内切球的半径，由等体积法可得，OH＝NH，则OH＝，cos，在△NOP中，由余弦定理可得：cos，即，得PN＝．由对称性可得，球面△NPQ的面积为×4πR2＝πR2．故答案为：；πR2．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝135°，BD＝CD＝．（Ⅰ）求sin∠CBD的值；（Ⅱ）若△ABD的面积为4，求AD的长．解：（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理知，，所以BD⋅sin∠CBD＝CD⋅sin∠BCD，因为，，即．（Ⅱ）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以AD2＝AB2+BD2﹣2AB⋅BD⋅cos∠ABD＝10，所以．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC⊥平面PAB，AB∥CD，若DC＝DP＝2，BC＝，AP＝1，AB＝3．（Ⅰ）求证：AP⊥AB；（Ⅱ）求直线PC与平面ADP所成的角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，过点D作AB的垂线，垂足为E，因为BC⊥平面PAB，所以BC⊥AB，BC⊥AP，所以BC∥DE，因为，所以，AE＝1，则，因为AP＝1，DP＝2，所以AD2+AP2＝DP2，即AP⊥AD，因为BC与AD相交，BC、AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AP⊥AB；（Ⅱ）解：如图，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面ADP的法向量为，则，所以，令，则，所以，所以直线PC与平面ADP所成角的正弦值为．19．已知抛物线C：x2＝4y，过点P（1，﹣2）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）记P点关于x轴的对称点为Q点，若△QAB的面积为16，求直线l的方程．解：（Ⅰ）由题意设直线l的方程为y+2＝k（x﹣1），由，得到：x2﹣4kx+4k+8＝0由题意知△＞0，所以k2﹣k﹣2＞0，即k＜﹣1或k＞2，因为k＞0，所以k的取值范围为（2，+∞）．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）知x1+x2＝4k，x1x2＝4k+8，因为，所以，即k2﹣k﹣6＝0，所以k＝3或k＝﹣2，因为k＞2，所以k＝3，则直线l的方程为3x﹣y﹣5＝0．20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．（Ⅰ）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；（Ⅱ）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为ξ元，其中ξ＝|16﹣4m|．小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，…，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为η元，其中η＝（n﹣4）2.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由．解：（Ⅰ）设这个小球掉入5号球槽为事件A．掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，所以P（A）＝．所以这个小球掉入5号球槽的概率为．……（Ⅱ）小红的收益计算如下：每一次游戏中，ξ的可能取值为0，4，8，12.，，，．ξ04812P一次游戏付出的奖金，则小红的收益为．………小明的收益计算如下：每一次游戏中，η的可能取值为0，1，4，9．，，，．∴η的分布列为：η0149P一次游戏付出的奖金，则小明的收益为4﹣1＝3．∵，∴小明的盈利多．…21．定义在实数集R上的偶函数f（x）的最小值为3，且当x≥0时，f（x）＝3ex+a，其中e是自然对数的底数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求最大的整数m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤3ex．解：（1）∵y＝ex是增函数，∴当x≥0时，f（x）为增函数，又f（x）为偶函数，∴f（x）min＝f（0）＝3+a，∴3+a＝3．∴a＝0当x＜0时，∵﹣x＞0∴f（x）＝f（﹣x）＝3e﹣x综上，（2）当x∈[1，m]时，有f（x+t）≤3ex，∴f（1+t）≤3e当1+t≥0时，3e1+t≤3e即e1+t≤e，1+t≤1，∵﹣1≤t≤0当1+t≤0时，同理，﹣2≤t≤﹣1，∴﹣2≤t≤0同样地，f（m+t）≤3em及m≥2，得em+t≤em∴由t的存在性可知，上述不等式在[﹣2，0]上必有解．∵et在[﹣2，0]上的最小值为e﹣2，∵，即em﹣e3m≤0①令g（x）＝ex﹣e3x，x∈[2，+∞）．则g'（