高等数学2知识点总复习课件

高等数学总复习高等数学总复习1知识点1.

数量积、向量积、夹角余弦；知识点1.数量积、向量积、夹角余弦；2知识点1.

数量积、向量积、夹角余弦；////知识点1.数量积、向量积、夹角余弦；////3解解4解解5知识点2：平面及其方程（三种形式）平面的点法式方程:平面的一般方程:平面的截距式方程:两平面夹角余弦公式://知识点2：平面及其方程（三种形式）平面的点法式方程:平面的6取法向量化简得所求平面方程为解取法向量化简得所求平面方程为解7设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解8化简得代入体积式所求平面方程为化简得代入体积式所求平面方程为9知识点3：空间直线及其方程空间直线的一般方程:直线的参数方程:直线的对称式方程:^两直线的夹角公式知识点3：空间直线及其方程空间直线的一般方程:直线的参数方程10平面:垂直：平行：夹角公式：直线:机动目录上页下页返回结束知识点3：空间直线及面线间的关系方程平面:垂直：平行：夹角公式：直线:机动目录上页11例.

求直线与平面的交点.提示:化直线方程为参数方程代入平面方程得从而确定交点为（1，2，2）.机动目录上页下页返回结束例.求直线与平面的交点.提示:化直线方程为参数方程代12解

所求直线方程方法2:设解所求直线方程方法2:设13练习:设有直线与则L1与L2的夹角为[注]L1和L2的方向向量分别为和练习:设有直线与则L1与L2的夹角为[注]L1和L2的14知识点4：二元函数的定义域与极限例6求的定义域．解所求定义域为知识点4：二元函数的定义域与极限例6求15例7求极限解其中例7求极限解其中16求极限:求极限:17知识点5：二元函数求偏导数；多元复合函数链式法则:

知识点5：二元函数求偏导数；多元复合函数链式法则:18特殊地即令其中两者的区别区别类似特殊地即令其中两者的区别区别类似19例解:机动目录上页下页返回结束例解:机动目录上页下页返回结束20高等数学2知识点总复习课件21例.设F(x,y)具有连续偏导数,解利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程机动目录上页下页返回结束故例.设F(x,y)具有连续偏导数,解利用偏导数公22多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数23高等数学2知识点总复习课件242、二元函数f(x，y)在点（x0，y0)处两个偏导数存在，是f(x，y)在该点连续的（A）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件2、二元函数f(x，y)在点（x0，y0)处两个偏导数存在255、二元函数在点(0,0)处(A)连续、偏导数存在（B）连续、偏导数不存在(C)不连续、偏导数存在（D）不连续、偏导数不存在偏导数存在，又当（x，y）沿y=kx趋向于（0，0）时随着k的不同，该极限值也不同，所以极限不存在，f(x，y)在（0，0）不连续。5、二元函数在点(0,0)处(A)连续、偏导数存在（B）26解解27解解28解令记同理有解令记同理有29于是于是30解令解令31练习:设,求解令则练习:设,求解令则32知识点6：多元函数微分学的几何应用1.曲线切线方程:2.曲线的法平面：3.切平面方程:4.曲面的法线方程为:知识点6：多元函数微分学的几何应用1.曲线切线方程:2.曲33解切平面方程为法线方程为解切平面方程为法线方程为34高等数学2知识点总复习课件355.方向导数与梯度（归纳）：

求曲线的切线及法平面(关键:抓住切向量)

求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)

机动目录上页下页返回结束求函数的方向导数和梯度5.方向导数与梯度机动目录上页下页36一、方向导数

设函数z

f(x,y)在点P0(x0

y0)的某一邻域U(P0)内有定义

l是xOy平面上以P0(x0

y0)为始点的一条射线

与l同方向的单位向量为el

(cos

cos

)

存在,则称此极限为函数f(x,y)在点P0沿方向l的方向导数,记为

取P(x0

tcos

y0

tcos

)

U(P0)

如果极限方向导数一、方向导数设函数zf(x,y)在点P037一、方向导数

设函数z

f(x,y)在点P0(x0

y0)的某一邻域U(P0)内有定义

l是xOy平面上以P0(x0

y0)为始点的一条射线

与l同方向的单位向量为el

(cos

cos

)

方向导数

方向导数就是函数f(x

y)在点P0(x0

y0)处沿方向l的变化率

一、方向导数设函数zf(x,y)在点P038一、方向导数

设函数z

f(x,y)在点P0(x0

y0)的某一邻域U(P0)内有定义

l是xOy平面上以P0(x0

y0)为始点的一条射线

与l同方向的单位向量为el

(cos

cos

)

方向导数

如果函数z

f(x,y)在点P0(x0

y0)可微分,那么函数在该点沿任一方向l(el

(cos

cos

))的方向导数都存在,且有定理(方向导数的计算)>>>

一、方向导数设函数zf(x,y)在点P039讨论

函数f(x,y)在点P沿x轴正向和负向,沿y轴正向和负向的方向导数如何?提示

函数f(x,y)在点P0沿方向l(el

(cos

cos

))的方向导数

讨论提示函数f(x,y)在点P040

例

求f(x

y

z)

xy2

z3

xyz在点(1

1

2)沿方向l的方向导数

其中l的方向角分别为60

45

60

解

与l同向的单位向量为

因为函数可微分

且

所以

fx(1

1

2)

(y2-yz)|(1

1

2)

-1

fy(1

1

2)

(2xy-xz)|(1

1

2)

0

fz(1

1

2)

(3z2-xy)|(1

1

2)

11

例求f(xyz)xy2z3x41二、梯度梯度的定义

函数z

f(x,y)在点P0(x0

y0)的梯度:gradf(x0

y0)

fx(x0

y0)i

fy(x0

y0)j

梯度与方向导数

如果函数f(x

y)在点P0(x0

y0)可微分

el

(cos

cos

)是与方向l同方向的单位向量,则

gradf(x0

y0)

el

|gradf(x0

y0)|

cos(gradf(x0

y0),^el)

二、梯度梯度的定义函数zf(x,y)在点42

函数在一点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.

二、梯度梯度的定义

函数z

f(x,y)在点P0(x0

y0)的梯度:gradf(x0

y0)

fx(x0

y0)i

fy(x0

y0)j

梯度与方向导数

|gradf(x0

y0)|

cos(gradf(x0

y0),^el)

如果函数f(x

y)在点P0(x0

y0)可微分

el

(cos

cos

)是与方向l同方向的单位向量,则函数在一点的梯度是这样一个向量,它的方向与43例求

grad．

解这里

f(x，y)

．因为，，所以

grad．

例

设

f(x，y，z)

x3－xy2－z，求gradf(1,1,0)．

解

gradf

(fx，fy，fz

)

(3x2－y2,－2xy,－1)，于是

gradf(1，1，0)

(2,

2,－1)．函数在此点沿方向(2,-2,-1)增加率最大,其值为3.机动目录上页下页返回结束函数在此点沿方向(-2,2,1)减少率最大,其值为-3.例求grad．44说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在知识点7：多元函数的极值及其求法说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(45

46例.求函数解:

第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数机动目录上页下页返回结束例.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0)47在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;机动目录上页下页返回结束在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.48高等数学2知识点总复习课件49解则

2x=3y,y=2z解则2x=3y,y=2z50知识点8：二重积分的性质与计算性质１当为常数时，性质２性质３对区域具有可加性知识点8：二重积分的性质与计算性质１当为常数时，性质２性51性质4若在D上则有性质5性质6性质4若在D上则有性质5性质652二重积分的计算1.二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则机动目录上页下页返回结束二重积分的计算1.二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情53先确定积分次序(先看被积函数,再看被积区域D)先积后定限,限内画条线,先交为下限,后交上限写.先确定积分次序(先看被积函数,再看被积区域D)54解积分区域如图解积分区域如图55则2.极坐标系情形:若积分区域为机动目录上页下页返回结束则⑵⑴则2.极坐标系情形:若积分区域为机动目录上页56例.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:

由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,说明:

有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束对y积分是常量例.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数57三重积分的计算方法方法1.“先一后二”(投影法)方法2.“先二后一”(截面法)方法3.“三次积分”机动目录上页下页返回结束1.直角坐标情形:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”(投影法)方法582.不同坐标系的三重积分积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系变量可分离.围成;机动目录上页下页返回结束其中其中2.不同坐标系的三重积分积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,59其中

为由例.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动目录上页下页返回结束其中为由例.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面60知识点9：重积分的应用（1）平面区域的面积（2）曲面的面积知识点9：重积分的应用（1）平面区域的面积（2）曲面的面积61例.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影为则出的面积A.机动目录上页下页返回结束例.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在xoy面上62知识点10：两类曲线积分及格林公式知识点10：两类曲线积分及格林公式63例16解例17解A(1,0)B(1,1)O例16解例17解A(1,0)B(1,1)O64第二类曲线积分几种特殊情形的计算:第二类曲线积分几种特殊情形的计算:65曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终机动目录上页下页返回结束曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)66

两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：67平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理.设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即机动目录上页下页返回结束定理证明采用⑴→⑵→⑶→⑷平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理.设D是单连通域68解解69例.计算曲线积分

其中

为螺旋的一段弧.解:

线机动目录上页下页返回结束例.计算曲线积分其中为螺旋的一段弧.解:线机动70例.

计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:令设L所围区域为D,由格林公式知机动目录上页下页返回结束例.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解71在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和lˉ

所围的区域为林公式,得机动目录上页下页返回结束在D内作圆周取逆时针方向,,对区域应用格记L和lˉ72例.

验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。机动目录上页下页返回结束例.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:73知识点11：两类曲面积分及高斯公式则则则知识点11：两类曲面积分及高斯公式则则则74高等数学2知识点总复习课件75两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系76知识点:常数项级数的收敛与发散

条件收敛与绝对收敛结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.知识点:常数项级数的收敛与发散

条件收敛与绝对收敛结论:77比较判别法:可作为参考的级数:几何级数,P-级数(包括调和级数).比较判别法:可作为参考的级数: