直线的点斜式方程直线的两点式方程精讲（6大题型）

直线的点斜式方程、直线的两点式方程重点：1、会求直线的点斜式方程、斜截式方程；2、会求直线的两点式和截距式方程；难点：对几种直线方程形式的灵活运用。一、直线的点斜式方程1、定义：如图，直线过定点，斜率为，把直线叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。2、两种特殊的直线：（1）垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°，斜率不存在，没有点斜式，其方程为或.（2）平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点，倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为.3、求直线点斜式方程的一般步骤：（1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程（2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外。二、直线的斜截式方程1、定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为，则直线叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。【注意】（1）直线的斜截式是直线点斜式的特例。（2）一条直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距，特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程。2、斜截式的几种特例表示过原点的直线，表示与轴平行的直线，表示轴三、直线的两点式方程1、定义：如图，直线经过点，（其中，），则方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。【注意】（1）与坐标轴垂直的直线没有两点式方程。（2）将两点式方程变形为：，可以表示任何直线。2、两点式方程的应用用两点式返程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或者纵坐标相等时，不能用两点式。已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程。四、直线的截距式方程1、定义：如图，直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），则方程，叫做直线的截距式方程，简称截距式。【注意】截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线。因此截距式不能表示过原点的直线、与轴垂直的直线、与轴垂直的直线。2、截距的概念（1）横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可；（2）纵截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。3、截距式方程应用的注意事项（1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；（2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；（3）要注意截距式方程的逆向应用。五、线段中点坐标公式若点，的坐标分别为，，且线段的中点M的坐标为，则.题型一直线的点斜式方程【例1】（2023秋·甘肃临夏·高二校考期末）直线经过点，倾斜角为，则直线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线倾斜角为，直线斜率，直线方程为：，即.故选：C.【变式11】（2023·全国·高二专题练习）过点且斜率为3的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意可得直线为，化简得，故选：【变式12】（2023秋·高二课时练习）求经过点，倾斜角是直线倾斜角的2倍的直线的点斜式方程．【答案】【解析】因为直线的斜率为，所以该直线倾斜角为，所以所求直线的倾斜角为，其斜率为，所以所求直线的点斜式方程为．【变式13】（2022秋·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）的三个顶点、、，则边上的中线所在直线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为的三个顶点、、，则线段的中点为，所以，，所以，边上的中线所在直线方程为，即.故选：A.题型二直线的斜截式方程【例2】（2022秋·新疆昌吉·高二统考期中）已知直线经过点，斜率为，则直线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直线经过点，则直线在轴上截距为4，又直线斜率为，则直线方程是.故选：A【变式21】（2023·全国·高二专题练习）直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线的倾斜角为，因为直线的斜率为，，所以.故选：C.【变式22】（2023·全国·高二专题练习）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是.【答案】【解析】设直线l的倾斜角为，则，则，所以直线.【变式23】（2023·全国·高二专题练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程：（1）斜率为2，在y轴上的截距是5；（2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；（3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【答案】（1）y＝2x＋5；（2）y＝－x－2；（3）y＝x＋3或y＝x－3【解析】（1）由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5.（2）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan150°＝－，故所求直线的斜截式方程为y＝－x－2.（3）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan60°＝．因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3.题型三直线的图象辨析【例3】（2022秋·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）直线不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】作出直线的图象如下图所示：由图可知，直线不过第三象限.故选：C.【变式31】（2023·全国·高二专题练习）若直线经过第一、二、四象限，则有（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】直线即，经过第一、二、四象限，则，得，故选：B【变式32】（2022秋·江苏扬州·高二邵伯高级中学校考期中）直线可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以AC错；当时，，故B对；故选：B【变式33】（2023·全国·高二专题练习）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2，故D正确，当时，,故B不正确，当时，或，由图象知AC正确.故选：B题型四直线的两点式方程【例4】（2023·全国·高二专题练习）经过两点、的直线方程都可以表示为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当经过、的直线不与轴平行时，所有直线均可以用，由于可能相等，所以只有选项C满足包括与轴平行的直线.故选:C【变式41】（2023·全国·高二专题练习）经过点的直线的两点式方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为直线经过点，所以由方程的两点式可得直线方程为，即．故选：A【变式42】（2022·高二课时练习）在中，已知点，，．求边上中线所在直线的两点式方程．【答案】【解析】因为，，所以线段BC的中点D的坐标为．又BC边上的中线经过点，所以BC边上中线的两点式方程为．【变式43】（2023·全国·高二专题练习）已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，（1）求BC边所在的直线方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程．【答案】（1）2x＋5y＋10＝0；（2）10x＋11y＋8＝0【解析】（1）BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0．（2）设BC的中点为M(a，b)，则a＝＝，b＝＝－3，所以，又BC边的中线过点A(－3，2)，所以＝，即10x＋11y＋8＝0，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0．题型五直线的截距式方程【例5】（2023·全国·高二专题练习）过两点的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知：直线在x，y轴上的截距分别为，根据直线的截距式可知直线方程为：.故选：C.【变式51】（2023·全国·高二专题练习）过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）A．B．C．D．或【答案】D【解析】设直线在x，y轴上的截距分别为，则，若，即直线过原点，设直线为，代入，即，解得，故直线方程为；若，设直线为，代入，即，解得，故直线方程为，即；综上所述：直线方程为或.故选：D.【变式52】（2023·全国·高二专题练习）已知直线过，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线的方程是（）．A．或B．或C．或D．或【答案】A【解析】（1）当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为把点代入求出，即直线方程为（2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为，把点代入求出，即直线方程为综上，直线方程为或，故选：A【变式53】（2022秋·河南平顶山·高二汝州市第一高级中学校考阶段练习）经过点，并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为．【答案】或【解析】①当横纵截距为零时，直线的斜率，所以直线方程为，即；②当横纵截距不为零时，设直线方程为，将点代入得，解得，所以直线方程为，即.故答案为：或.题型六直线与坐标围成图形的面积【例6】（2022·高二课时练习）直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（）A．2B．C．3D．【答案】D【解析】很显然，直线与轴和轴既不平行也不垂直，当时，，当时，，所以直线与轴和轴的交点分别为和，因为直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，所以有，解得：或.故选：D【变式61】（2023·全国·高二专题练习）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为.【答案】或【解析】因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0.设直线方程为，则.因为，即，所以，所以时，，当时，，所以直线方程为或.故答案为:或.【变式62】（2022·高二课时练习）若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．【答案】或.【解析】∵直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为，则直线方程为，即.，即，，∴直线方程为.若在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在轴上的截距为，则在轴上的截距为，故直线方程为，即.∵，即，，直线方程为.综上所述，直线