2016年上海高考数学(理科)真题含解析

2016年上海高考数学(理科)真题含解析2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1.设xR，则不等式x31的解集为________________【答案】(2,4)【解析】1x31，即2x4，故解集为(2,4)2.设z32i，其中为虚数单位，则_________________iImzi【答案】3【解析】zi(32i)23i，故Imz33.:l,:,则的距离为2xy10ll,l2xy101212__________________【答案】255【解析】d1122122554.某次体检，位同学的身高（单位:米）分别为6，则这组数据的中位数是___1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77（米）【答案】1.765.已知点(3,9)在函数的图像上，则f(x)的反函数f(x)1ax(x)____________1f2【答案】log(x1)2【解析】，故，a2f(x)12xa193∴xlog(y1)2∴1(x)log(x1)f26.如图，在正四棱柱ABCDABCD中，底面的边长为，ABCD31111BD与底面所成角的大小为，2arctan31则该正四棱柱的高等于____________________【答案】22【解析】BD32,2DDBD22137.方程3sinx1cos2x在区间上的解为________________[0,2π]【答案】π5πx,66【解析】，即2sin2x3sinx203sinx22sin2x∴(2sinx1)(sinx2)0∴sinx12∴xπ,5π6634若对任意，，则的最大S{2,3}nN*kn值为___________【答案】412.在平面直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),是曲线P上一个动点，则的取值范围y1x2BPBA是____________【答案】[0,12]【解析】设,，,P(cos,sin)[0,π]BP(cos,sin1)BA(1,1)π4BPBAcossin12sin()1[0,12]13.设a,b,R,π)，若对任意实数x都有则满足条件的有序实数组，πc[0,22sin(3x)asin(bxc)3(a,b,c)的组数为______________【答案】4【解析】(i)若a2若，则5π；若，则34πb3b3cc3(ii)若，若，则；若，则π2πc3a2b3b3c3共组414.如图，在平面直角坐标系xOy中，为正八边形AAA的O128中心，，任取不同的两点A,A，点满足，A(1,0)POPOAOA01ijij则点落在第一象限的概率是_______________P【答案】5285【解析】55C2828二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.设，则“a1”是“”的()aRa21A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是()A.B.C.65cosD.65cos65sin65sin【答案】D【解析】π时，达到最大2617.已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且qanSnn，下列条件中，使得恒成立的是limSS2SS(nN)*nnn()A.a0,B.,0.6q0.70.7q0.80.7q0.60.8q0.7a011C.,D.,a0a011【答案】B【解析】,,a(1q)an1q1SS111q1qn，即2SSa(2q1)0nn1若，则，不可能成立12a01qn若，则，B成立12a01qn18.设是定义域为的三个函数，对于命题:①若f(x),g(x),h(x)R，，均为增函数，则f(x),g(x),h(x)中至f(x)g(x)f(x)h(x)g(x)h(x)少有一个为增函数；②若，，均是f(x)g(x)f(x)h(x)g(x)h(x)以为周期的函数，则均是以为周期的函f(x),g(x),h(x)TT数，下列判断正确的是()A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】①不成立，可举反例72x3,x0,,h(x)2x,x1x,x0g(x)x3,0x1f(x)x3,x12x,x02x,x1②f(x)g(x)f(xT)g(xT)f(x)h(x)f(xT)h(xT)g(x)h(x)g(xT)h(xT)前两式作差，可得g(x)h(x)g(xT)h(xT)结合第三式，可得g(x)g(xT),h(x)h(xT)也有f(x)f(xT)∴②正确故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）将边长为的正方形AAOO（及其内111部）绕OO旋转一周形成圆柱，如图，长为，长23ACAB111为，其中B与在平面AAOO的同侧C(1)求三棱锥的体积3111COAB111(2)求异面直线与AA所成角的大小BC11【解析】(1)连，则ABAOB3OB1111111∴OAB为正三角形111∴∴3S4OAB1113V1OOS下COAB31OAB12底面圆周的射影为，连BB，则(2)1设11点在111BB118BB∥AA1∴为直线与所成角（或补角）1BBCBC1AA11BBAA1连11BC,BO,OC,ABABAC23311∴BC3∴BOC3∴为正三角形BOC∴BCBO1∴tanBBCBC1BB1∴BBC4511∴直线与所成角大小为45BCAA1120．（本题满分14分）有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，EFGHEH收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜F地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较SSS121近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和SFSS212的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建CF立平面直角坐标系，其中原点为的中点，OEF点的坐标为，如图(1,0)F(1)求菜地内的分界线的方程C(2)菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，SS12由此得到面积的“经验值”为。设是上83SMC1纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点1EHM的矩形的面积，及五边形的面积，并EOMGH9判断哪一个更接近于面积的经验值S1【解析】(1)设分界线上任一点为，依题意(x,y)x1(x1)y22可得y2x(0x1)(2)设，则M(x,y)y1000∴y12044x0∴设所表述的矩形面积为，则5S2(11)S4233设五边形面积为，则EMOGHS411SSSS511113122424MGQ,443OMPSS851SS11811326431261341∴五边形的面积更接近的面积EOMGHS121．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分双曲线的左、右焦点分别为F、F，直线过y2x1(b0)l2b122且与双曲线交于A,B两点F2(1)若的倾斜角为，FAB是等边三角形，求双曲线l21的渐近线方程(2)设，若的斜率存在，且，求的斜b3(FAFB)AB0ll11率【解析】(1)由已知,F(b1,0)F(b21,0)212取，得ybxb122FF3FA∵,122FF2b1FAb22212∴2b213b210即3b4b4(3b22)(b22)042∴b2∴渐近线方程为y2x(2)若b3，则双曲线为x2y213∴F(2,0),F(2,0)21设,，则A(x,y)B(x,y)1122,,FA(x2,y)FB(x2,y)AB(xx,yy)1111222121∴FAFB(xx4,yy)111212(*)(FAFB)ABx2x24(xx)y2y2011212121∵x2y2x2y22113312∴y2y23(x2x2)2121∴代入(*)式，可得4(x2x2)4(xx)02121直线的斜率存在，故xxl12∴xx112设直线为yk(x2)，代入l3x2y32得(3k2)x24k2x(4k23)0∴，且3k016k44(3k2)(4k23)36(k21)02xx4k13k2212∴3k25∴k155∴直线的斜率为l15522．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分11已知，函数1aRf(x)log(a)x2(1)当时，解不等式a5f(x)0(2)若关于的方程的解集中恰有f(x)log[(a4)x2a5]0x2一个元素，求的取值范围a(3)设，若对任意，函数在区间上的21t[,1]a0[t,t1]f(x)最大值和最小值的差不超过，求a1的取值范围【解析】(1)14x10x(4x1)0log(5)0151xxx2∴不等式的解为{x|x0或x1}4(2)依题意，log(a)log[(a4)x2a5]1x22∴1①a(a4)x2a50x可得(a4)x2(a5)x10即(x1)[(a4)x1]0②当时，方程②的解为x1，代入①式，成立a4当时，方程②的解为x1，代入①式，成立a3当a3且a4时，方程②的解为1a4x1,若x1为方程①的解，则1，即aa10a1x若为方程①的解，则1，即1a4xa2a40xa2要使得方程①有且仅有一个解，则1a2综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a的取值范围为1a2或a3或a4(3)f(x)在上单调递减[t,t1]依题意，f(t)f(t1)1即11t12log(a)log(2a)1t∴1，即1tt1t(t1)21t1t1a2(a)at12设，则21r[0,]1tr1tt(t1)(1r)(2r)r3r2当时，rr2rr23r2r00当时，2rr3r210r122r3r∵函数在递减2yx(0,2)x∴r4921r22∴112329r33r2∴的取值范围为2aa323．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分若无穷数列满足：只要，必有，则称aaa(p,qN)aap1q1*npq具有性质.Pan(1)若具有性质.且,a2,a3,a2,a1aPn1245，求；aaa21a6783(2)若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正bcnn数的等比数列，，，bc1bc811551，判断是否具有性质，并说明理由；aabcPnnnn(3)设是无穷数列，已知，求证：“对任an1bsina(nNb)*nnn意a，都具有性质”的充要条aP1n件为“是常数列