新教材北师大版数学学案第2章66-1第4课时余弦定理与正弦定理的应用

第4课时余弦定理与正弦定理的应用学习任务核心素养1．掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用．(重点)2．了解测量的方法和意义．(难点)3．提高应用数学知识解决实际问题的能力．(难点)通过余弦定理与正弦定理的应用，培养数学运算与数学建模素养．已知A，B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：试画出符合题意的示意图．问题2：若要求山高CD，怎样求解？知识点实际问题中的有关术语率名称定义图示仰角与俯角在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30°1.方位角的范围是什么？[提示][0°，360°)2．若点B在点A的北偏东60°，那么点A在点B的哪个方向？[提示]南偏西60°.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)俯角是铅垂线与视线所成角，其范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))). ()(2)在O点测得点A在其北偏西30°，则在O点测得点A的方位角是30°. ()(3)方位角与方向角的实质一样，均是确定观察点与目标点之间的位置关系． ()[答案](1)×(2)×(3)√类型1测量距离问题【例1】某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距eq\f(\r(3),2)akm的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离(参考数据：sin75°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)).[解]∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°.∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，得BD＝CD·eq\f(sin∠BCD,sin∠DBC)＝eq\f(\r(3),2)a·eq\f(sin105°,sin45°)＝eq\f(\r(3),2)a×eq\f(sin75°,sin45°)＝eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq\f(3＋\r(3),4)a.在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝eq\f(3,4)a2＋(eq\f(3＋\r(3),4)a)2－2·eq\f(\r(3),2)a·eq\f(3＋\r(3),4)a·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,8)a2，∴AB＝eq\f(\r(6),4)km.故蓝方这两支精锐部队间的距离为eq\f(\r(6),4)akm.测量距离的基本类型及方案类型A，B两点间不可通或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达图形方法先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求ABeq\a\vs4\al([跟进训练])1．(1)海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是()A．10eq\r(3)海里 B．eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里(2)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，AB＝120m，则河的宽度是________(1)D(2)30eq\r(3)[(1)如图所示，根据题意，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，即eq\f(10,\f(\r(2),2))＝eq\f(BC,\f(\r(3),2))，∴BC＝5eq\r(6)(海里).故选D.(2)tan30°＝eq\f(CD,AD)，tan60°＝eq\f(CD,DB)，又∵AD＋DB＝120，∴AD·tan30°＝(120－AD)·tan60°，∴AD＝90，故CD＝30eq\r(3).]类型2测量高度问题【例2】如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝eq\f(h,tan30°)＝eq\r(3)h，然后在△BCD中利用余弦定理求解．[解]在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝eq\r(3)h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(eq\r(3)h)2－2·h·eq\r(3)h·eq\f(\r(3),2)，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，所以塔高AB＝200米．1.本题与立体几何有关，解决的关键是准确作出空间图形．2.准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角等，建立相应的数学模型，将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识求解．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于(参考数据：cos15°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4))()(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)mC[由题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝105°，∠C＝30°，作AD⊥BC交CB的延长线于点D，在直角△ACD中，AC＝eq\f(AD,sin∠C)＝eq\f(60,sin30°)＝120，在△ABC中，由正弦定理得BC＝eq\f(AC×sin∠BAC,sin∠ABC)＝eq\f(120sin45°,cos15°)＝eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝120(eq\r(3)－1).]类型3测量角度问题【例3】如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(eq\r(3)－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10eq\r(3)海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30结合图形将实际问题转化为解三角形问题，应用正、余弦定理求解．[解]设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10eq\r(3)t海里，BD＝10t海里．在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝eq\r(6)海里．又∵eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴sin∠ABC＝eq\f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq\f(2·sin120°,\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，∴sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10t·sin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，即10t＝eq\r(6)，∴t＝eq\f(\r(6),10)小时≈15分钟．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．1．假设在例3中，缉私船以最快的速度截获走私船(在D点)，把走私船带到海岸A处进行处理，求∠ADB的正弦值．[解]由例3解答可知CD＝3eq\r(2)，CB＝BD＝eq\r(6)，∠CBD＝120°，所以∠BCD＝∠BDC＝30°，故∠ACB＝15°，则∠ACD＝45°，在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2×AC×CD×cos45°＝4＋18－2×2×3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝10，故AD＝eq\r(10)，在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AD,sin∠ABD)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，即eq\f(\r(10),sin165°)＝eq\f(\r(3)－1,sin∠ADB)，解得sin∠ADB＝eq\f(2\r(5)－\r(15),10).2．把例3中条件“走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜”改为“走私船正以15海里/时的速度，从B处向正北方向逃窜”，则例3的结果应是什么？[解]由例3的解答可知BC＝eq\r(6)，设缉私船沿CD方向，才能最快截获(在D点)走私船(如图所示)，由题意知△CBD是直角三角形，且CD＝10eq\r(3)t，BD＝15t，所以sin∠BCD＝eq\f(BD,CD)＝eq\f(15t,10\r(3)t)＝eq\f(\r(3),2)，故∠BCD＝60°，10eq\r(3)tcos60°＝eq\r(6)，所以t＝eq\f(\r(2),5)(小时).所以缉私船应沿北偏东30°的方向行驶，才能最快截获走私船，需要eq\f(\r(2),5)小时．1.理解题意，作出正确的示意图是解决本题的关键．，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先是明确题意，根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解．eq\a\vs4\al([跟进训练])3．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(eq\r(3)＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10eq\r(2)海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且eq\r(3)＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．[解]如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在同一直线上，且AD＝20，AC＝20.由题意AB＝20(eq\r(3)＋1)，DC＝20eq\r(2)，BC＝(eq\r(3)＋1)×10eq\r(2).在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq\f(\r(3),2).所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，且60°＋30°＋90°＝180°，所以D位于A的正北方向，又因为∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为北偏西45°.1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的()A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北44°50′方向上C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南44°50′方向上C[如图所示．]2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，由此可以计算出A，BA．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D．eq\f(25\r(2),2)mA[由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，又∵B＝30°，∴AB＝eq\f(ACsin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m).]3．甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是_______m，20eq\r(3)eq\f(40\r(3),3)[甲楼的高为20tan60°＝20×eq\r(3)＝20eq\r(3)(m)；乙楼的高为：20eq\r(3)－20tan30°＝20eq\r(3)－20×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(40\r(3),3)(m).]4．一船以每小时15km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯