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文档简介

一、形如

的积分

二、形如

的积分三、形如

的积分第三节

留数在定积分计算上的应用四、小结与思考2一、形如的积分思想方法

:封闭路线的积分

.两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条3形如当历经变程时,的正方向绕行一周.z沿单位圆周4z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点.5例1

计算积分解则67例2解故积分有意义.8910因此11若有理函数R(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立零点.一般设分析可先讨论最后令即可.二、形如的积分122.

积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间一起构成一条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有限孤立奇点外处处解析.(此法常称为“围道积分法”)1.

被积函数的转化:(当z在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x))可取

f(z)=R(z).13xy..这里可补线(以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周)与一起构成封闭曲线C,R(z)在C及其内部(除去有限孤立奇点）处处解析.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点都包在这积分路线内.14根据留数定理得:当充分大时,总可使1516例4计算积分解

在上半平面有二级极点一级极点1718xy..积分存在要求:R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,并且R(z)在实轴上无孤立奇点.与曲线C,使R(z)所有的在上半平面内的极点包在这积分路线内.同前一型:

补线一起构成封闭都三、形如的积分19对于充分大的,且时,有20从而21由留数定理:22例5计算积分解

在上半平面只有二级极点又23注意以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴上无孤立奇点.24例6计算积分分析

因在实轴上有一级极点应使封闭路线不经过奇点,所以可取图示路线:25解封闭曲线C:由柯西-古萨定理得:由2627当充分小时,总有28即29四、小

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