二次函数与一元二次方程

第二十二章二次函数222二次函数与一元二次方程2y=ax2+bx+c的图象和x轴交点方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac函数的图象2有两个交点方程有两个不相等的实数根b2-4ac>0只有一个交点方程有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点方程没有实数根b2-4ac<0xyo..xyoxyo结论1：抛物线y=a2bc与轴的交点个数可由一元二次方程a2bc=0的根的情况说明：回顾：与轴交点的横坐标是当y=0时自变量的值

即方程a2bc=0的根结论2：二次函数y=a2bc的图象和轴交点坐标与一元二次方程a2bc=0的根的关系

回顾：

结论3：一元二次方a2bc=的根是函数y=a2bc的图象和的交点横坐标y0．直线y=．直线y=12回顾：简单运用5要点小结6一般地，关于的一元二次方程a2bc=0a≠0的根就是二次函数y=a2bca≠0的值为0时自变量的值，也就是函数y=a2bc的图象与轴交点的横坐标。可由一元二次方程的根的判别式来判定二次函数图象与轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题。在函数问题中，往往需要解方程；反过来也可以利用函数图象解方程。例1：求一元二次方程的根的近似值（精确到01）分析：一元二次方程²-2-1=0的根就是抛物线y=²-2-1与轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法利用二次函数求一元二次方程的近似解一应用：解：画出函数y=²-2-1的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-04或-05，利用计算器进行探索，见下表：x…-0.4-0.5…y…-0.040.25…观察上表可以发现，当分别取-04和-05时，对应的y由负变正，=0，即有y=2-2-1的一个根，题目只要求精确到01，这时取===1≈-04同理可得另一近似值为2≈24例1:已知二次函数y＝a2＋b＋c的图象如图所示，则一元二次方程a2＋b＋c＝0的近似根为A．1≈－21，2≈01B．1≈－25，2≈05C．1≈－29，2≈09D．1≈－3，2≈1解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则

＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.B解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．方法总结判断方程a2bc=0a≠0,a,b,c为常数一个解的范围是（）A3<<323B323<<324C324<<325D325<<326

x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C1根据下列表格的对应值:当堂练习一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程22-15=0的近似根1用描点法作二次函数y=22-15的图象；2观察估计二次函数y=22-15的图象与轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和25可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值;3确定方程22-15=0的解;由此可知,方程22-15=0的近似根为:1≈-3,2≈25方法归纳二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)二问题函数y=a2bc的图象如图，那么方程a2bc=0的根是__________;不等式a2bc>0的解集是___________;不等式a2bc<0的解集是_________

3-1Oxy1=-1，2=3<-1或>3-1<<3合作探究例题精讲已知二次函数y=-234的图象如图；1方程-234=0的解是_____2不等式-234>0的解集是____3不等式-234<0的解集是___yo12345-1-21234-1-2-3-4-5=-1,=4<-1或>4-1<<415小结：如何求当为何值时，y>0,y=0,y<00x1x2xy当=1或=2时,y=0当<1或>2时,y<0当1<<2时,y>0xy12Oxyx1x2当=1或=2时,y=0当<1或>2时,y>0当1<<2时,y<016试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:1①-22=0;②-22>0;③-22<02①2-44=0;②2-44>0;③2-44<03①-2-2=0;②-2-2>0;③-2-2<0xy020xy-12xy0y=-x2+x+21=-1,2=21＜＜21＜-1,或2＞22-44=0=2≠2的一切实数无解-2-2=0无解无解为全体实数拓广：18函数y=a2bc的图像如图，那么1）方程a2bc=2的根是__________;2）不等式a2bc>2的解集是_________;3）不等式a2bc<2的解集是_________;

3-1Oy24,2-2,21=-