19.2.2特殊平行四边形-菱形

菱形两组对边分别平行平行四边形矩形情景创设

前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形?有一个角是直角菱形有一组邻边相等(矩形,由角变化得到)

如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等,这个特殊的四边形叫什么呢?(菱形)四边形有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．

平行四边形邻边相等菱形在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？活动一如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？相信你能解释!菱形就在我们身边生活感受让我们一同走进生活中的菱形一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形平行四边形菱形的定义菱形有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，翻开即可.你知道其中的道理吗？

如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？〔1〕菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？1234BDAC菱形是轴对称图形探究菱形的性质(2)从图中你能得到哪些结论?并说明理由.提示:从对称性、边、角、对角线、面积等方面来探讨由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：菱形的性质1：菱形的四条边都相等。ABDC菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.菱形的性质：菱形是轴对称图形,对称轴有两条,对角线所在的直线.菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。ADCBO∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=DA∴AC⊥BD∴∠DAC=∠BAC∠DCA=∠BCA

又∵AC=AC∴△ADC≌△ABC∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD,OD=OB又∵AO=AO∴△AOD≌△AOB∴∠DOA=∠BOA又∵

∠DOA+∠BOA=180°∴∠DOA=∠BOA=90°:四边形ABCD是菱形求证:∠DAC=∠BAC∠DCA=∠BCAAC⊥BD证明：性质2：学一学ADCBO∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB∥CD，

AB=BC=CD=DA，

OA=OC，OB=OD，

AC⊥BD，

∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA=∠DAB=∠DCB∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD=∠ADC=∠ABC几何语言第十九章四边形第十九章四边形菱形的

两条对角线互相平分菱形的两组对边平行且相等边对角线角数学语言菱形的性质菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平，每一条对角线平分一组对角。∵四边形ABCD是菱形∥=∴

ADBCABCD∥=∴AB=BC=CD=DAADCBO∴∠DAC=∠BAC∠DCA=∠BCA∠ADB=∠CDB∠ABD=∠CBDAC⊥BD∴OA=OC;OB=OD∴∠DAB=∠DCB∠ADC=∠ABC∴∠DAB+∠ABC=180°【菱形的面积公式】OES菱形=BC.AE

ABCD=S△ABD+S△BCD=AC×BDS菱形积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半为什么?相等的线段：相等的角：等腰三角形有：直角三角形有：全等三角形有：四边形ABCD是菱形AB=CD=AD=BCOA=OCOB=OD∠DAB=∠BCD∠ABC=∠CDA∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC=90°

∠1=∠2=∠3=∠4∠5=∠6=∠7=∠8△ABC△DBC△ACD△ABDRt△AOBRt△BOCRt△CODRt△DOARt△AOB≌Rt△BOC≌Rt△COD≌Rt△DOA△ABD≌△BCD△ABC≌△ACDABCDO12345678学以致用1.菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，那么∠BAC＝_______.3cm60度3.菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，那么菱形的边长是〔〕CA.10cmB.7cmC.5cmD.4cmABCDO344.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是〔〕A.75°B.60°C.45°D.30°B5.四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AB=5cm，AO=4cm，求对角线BD的长。ABCDO解：∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD∴∴OB=3∴BD=2OB=6cm543有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决ABCD例1如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m2

）O解:∵花坛ABCD是菱形

∴AC⊥BD,∠ABO=

∠ABC=300在Rt△OAB中

,AO=AB=×20=10(m),BO==≈17.32(m).∴花坛的两条小路长AC=2AO=20(m),BD=2BO≈34.64(m).花坛的面积S菱形ABCD=4×S△OAB=AC×BD≈346.40(m2).ABDCO∵四边形ABCD是菱形解：思考：假设对角线AC的长度为m,BD的长度为n，那么菱形ABCD的面积是多少？∴菱形ABCD的面积=4×6=24=×4×3=6∴AC⊥BD∴AO=AC=×8=4cm，BO=BD=×6=3cm，∴△AOB的面积=×AO×BO例2在菱形ABCD中，对角