甘肃省兰州市2022-2023学年高三数学上学期期中理试题

Page112022­2023高三数学上学期学期期中考试试题（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合，，，则()A． B． C． D．2．已知，，(i为虚数单位)，则()A． B．1 C． D．33．已知是上的偶函数，是上的奇函数，它们的部分图像如图，则的图像大致是()A．B．C． D．4．已知等差数列的前项和为，且，，则()A． B． C． D．5．已知x、y都是实数，那么“”的充分必要条件是()．A． B． C． D．6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为()A． B． C． D．7．设x，y满足约束条件，则的最小值为()A． B． C． D．8．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则，，的大小关系为()A． B． C．D．9．设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是()A．B．为奇函数C．在上为减函数 D．的一个周期为810．已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为()A． B． C． D．11．已知双曲线（）的左､右焦点分别为，，过点作一条渐近线的垂线，垂足为P若的面积为，则该双曲线的离心率为()A． B． C．3 D．12．已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（

）A．B．C． D．第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用数字作答）14．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．15．已知是上的奇函数，是在上无零点的偶函数，，当时，，则使得的解集是________16．已知，，且，则最小值为________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)（一）必考题：共五小题，每题12分，共60分。17．已知函数.（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间上的值域.18．在中，，，分别为角，，的对边，且.（1）求角；（2）若的面积为，边上的高，求，.19．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，(万元)；当年产量不小于万件时，（万元）.已知每件产品售价为元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？(取).20．已知函数.（1）求曲线在点(1，)处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）已如函数，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围.21．已知函数.（1）若函数的图象在处的切线为，求的极值；（2）若恒成立，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多选，则按所做的第一题计分。22．在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）已知点，直线交曲线于，两点，求的值.23．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集为R，求的取值范围.2022­2023-1学期期中考试试题答案高三数学（理）参考答案：BCCABCCDCABB1．B解：因为，，，所以所以故选：B2．C，利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.3．C【详解】又是上的偶函数，是上的奇函数，∴，，∴∴函数为奇函数，其图象关于原点对称，A,B错，由图可得当时，，，∴，D错，故选：C.4．A【详解】因为，所以；又因为，所以.所以，解得.故选：A5．B【详解】对于A，，故“”是“”的充分不必要条件，不符合题意；对于B，，即“”是“”的充要条件，符合题意；对于C，由得，或，，不能推出，由也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，不符合题意；对于D，由，不能推出，由也不能推出，故“”是“”的既不充分也不必要条件，不符合题意；故选：B.6．C【详解】圆锥底面周长为，所以圆锥的底面半径，圆锥的高，所以圆锥的体积为，由祖暅原理，该几何体的体积也为.故选：C7．C【详解】作出可行域，如图所示，目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，转化为，令，则，作出直线并平移使它经过可行域的点，经过时，所以，解得，所以.此时取得最小值，即．故选：C.8．D【详解】依题意得，，当时，，因为，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，，即，故选：D9．C【详解】由题设，，则关于对称，所以，即，则，即，由，则关于对称，所以，即，综上，，则，故，即易知的周期为8，D正确；，A正确；由，而为奇函数，故为奇函数，B正确；由时递增，则时递增，显然C错误.故选：C10．A【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，即当时，函数的最小值为；当时，，要使得函数的最小值为，则满足解得．故选：A．11．B【详解】解：设过右焦点且与渐近线垂直的直线为l，则直线l的方程为.由，得，，即.则的面积为，∴，∴，∴.故选：B12．B【详解】解：函数的定义域为，且，所以为奇函数，又与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，若不等式对任意实数恒成立，则，即对任意实数恒成立，所以对于任意实数恒成立，即任意实数恒成立，因为函数在上单调递增，所以，则有最小值，若对任意实数恒成立，所以．即的取值范围为．故选：B．13．10【详解】①丙选择一名男生和一名女生：.②丙选择两名男子：.所以不同的安排方法种数是：10种.故答案为：10.14．【详解】解：因为，，所以，因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，所以且，解得且，所以的取值范围为，故答案为：15．【详解】令，则，当时，，故在上单调递减，又是奇函数，是偶函数，故是奇函数，在上单调递减，又，可得，故在上小于0，由，得或，解得或.故答案为：.16．【详解】解：因为，，且，即，所以，当且仅当，即，、时取等号；故答案为：17．（Ⅰ）最小正周期，[]（k∈Z）．（Ⅱ）[0，3]．【详解】（Ⅰ）函数1﹣cos（2x）．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），整理得（k∈Z），所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）＝2cos（2x）+1的图象，由于x∈，所以，故，所以0≤g（x）≤3，故函数的值域为[0，3]．18．（1）；（2），.【详解】解：（1）因为，所以，所以，即.由余弦定理可得，因为，所以.（2）由正弦定理可得.因为的面积为，所以，解得.由余弦定理可得，则.19．（1）；（2）当年产量万件时，年利润最大，最大年利润为万元.【详解】（1）因为每件产品售价为元，则万件商品销售收入为万元，由题意可得，当时，；当时，；所以；（2）由（1）可得，当，，当且仅当时，等号成立；当时，，则，所以，当时，，即函数单调递增；当时，，即函数单调递减；所以当时，取得最大值；综上，当时，取得最大值万元；即当年产量为时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是万元.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）在（0，）递增，在递减；（Ⅲ）.【详解】（Ⅰ）∵，定义域是，∴，，，故切线方程为，即；（Ⅱ）由（Ⅰ），令，解得，令，解得，故在（0，）递增，在递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）得的极大值是，即的最大值是，∵，∴，令，解得或，若，，不等式恒成立，则时，恒成立，①当即时，在上单调递增，此时，令，得；②当时，即时，在递减，在递增，此时，令，解得，不符合题意；③当即时，在递减，故，令，解得，不符合题意综上，实数的取值范围是．21．（1）的极大值为，不存在极小值；（2）.【详解】（1），由题意可得：，解得：此时函数，函数的图象在处的切线为成立所以，，由可得，由可得，所以在上单调递增，在上单调递减.所以的极大值为，不存在极小值.由可得分离可得：令令所以在上单调递增存在唯一的，使得当时，，即，当时，，即，故在上单调递减，在上单调递增.，由于，得，再对两边取对数可得：所以，所以即实数的取值范围【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法22．（1）曲线的普通方程，的直角坐标方程（2）【详解】(1)已知曲线:(为参数),则曲线的普通方程,直线的极坐标方程为,则的直角坐标方程;(2)直线的参数方程为(为参数)代入曲线:,化简得,设,对应的参数分别为,,则,