广东省2021年春季高考数学模拟试卷9含解析

Page192021年广东春季高考数学模拟试卷(9)注：本卷共22小题，满分150分。一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）1．已知集合，，若，则实数的值为（）A． B．0 C．1 D．【答案】A【解析】【分析】根据，得，根据元素的互异性可知【详解】因为，所以，又，所以且，所以，所以已舍，此时满足.故选：A【点睛】本题考查了集合的交集的概念，考查了集合中元素的互异性，属于基础题.2．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】比较抛物线的对称轴和区间的关系得，即可求得答案.【详解】函数是开口向上的抛物线，对称轴为保证在区间上是减函数，则即.故选:B.【点睛】本题考查了根据二次函数单调区间判断参数范围，掌握二次函数图像特征是解题关键，属于基础题.3．函数的零点一定位于区间（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】函数在其定义域上连续，同时可判断f（2）＜0，f（3）＞0；从而可得解．【详解】函数f（x）＝在其定义域上连续，f（2）＝2+2•2﹣6＝ln2﹣2＜0，f（3）＝ln3+2•3﹣6＝ln3＞0；故函数的零点在区间（2，3）上，故选B．【点睛】本题考查了函数的零点存在定理，对数函数的性质与计算，熟记定理，准确计算是关键，属于基础题．4．已知向量,若,则()A．1 B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用的坐标运算列方程求出，再将变形，用表示出来，代入的值即可.【详解】由，得，整理得，所以，故选：A.【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查正余弦齐次式的求解，是基础题.5．在中，角的对边分别为，若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可得，化简后求出，然后求出即可．【详解】，，，，，．故选．【点睛】本题考查了正弦定理和同角三角函数的基本关系，属于基础题．6．下面结论正确的是（）A．若四边形内一点满足，则是平行四边形B．若，是单位向量，C．，则和可以作为一组基底.D．若，则【答案】A【解析】【分析】对A化简向量式可得，可确定是平行四边形；对B由单位向量的定义进行判断；对C按基底的性质判断；对D根据数量积的定义判断；【详解】由，得，故四边形是平行四边形，A正确；单位向量未规定方向，故不一定相等，B错误；，则，和共线，不能作为一组基底，C错误；若，则，即在方向的投影与在方向的投影相等，不一定有，D错误.故选：A.【点睛】本题考查了向量的概念，向量的共线，数量积的定义，属于基础题.7．如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，，依次类推，根据图案中点的排列规律，第10个图形由多少个点组成（）A．89 B．91 C．95 D．98【答案】B【解析】【分析】利用累加法求出数列的通项公式即可求解.【详解】记此图案的点数为，则，，，，，将上式相加可得，所以，所以.故选：B【点睛】本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了基本运算能力，属于基础题.8．已知实数，满足，其中，则的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【解析】实数，满足，其中,当且仅当即时取等号.的最小值是4.所以A选项是正确的.点睛:本题主要考查基本不等式求最值，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.解决本题的关键是巧妙地将已知条件化为1，即.9．下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B．同一平面的两条垂线一定共面；C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.【答案】D【解析】一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了10．已知点是直线上的动点，点为圆的动点，则的最小值为（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由题意可知，的最小值为圆心到直线的距离减去半径的差即为所求【详解】解：圆的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离为，所以的最小值为．故选：B．【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题11．用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，按照等间隔抽取的方法，则第5段中被抽中的学生编号为（）A．48 B．62 C．76 D．90【答案】B【解析】【分析】根据系统抽样等距性，结合等差数列求解编号.【详解】根据系统抽样等距性，所以各段中被抽中的学生编号依次构成公差为的等差数列，因此第5段中被抽中的学生编号为，故选：B【点睛】本题考查系统抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.12．把一个正四面体的骰子（它的4个面上分别写有1，2，3，4）随机抛两次，记第一次的底面上的点数大于第二次的底面上的点数为事件A，则事件A的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据枚举法列出所以的基本事件，再分析概率即可.【详解】设第一次的底面上的点数为横坐标，第二次的底面上的点数为纵坐标，列出如下的表格，共16个点，事件A对应的点有6个，所以事件A的概率为．12341234故选：C【点睛】本题主要考查了利用枚举法求解古典概型的问题，属于基础题.13．已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为，根据侧面积相等，可得圆柱的底面半径为，再根据体积公式可得答案.【详解】设正方体的棱长为，则圆柱的高为，设圆柱的底面半径为，则正方体的侧面积为，圆柱的侧面积为，所以，所以，所以正方体和圆柱的体积之比为.故选：B.【点睛】本题考查了正方体和圆柱的侧面积与体积公式，属于基础题.14．已知是公差为2的等差数列，为的前项和．若，，成等比数列，则（）A． B．42 C．49 D．7【答案】B【解析】【分析】由，，成等比数列，可得，再利用等差数列的通项公式化简可得，再利用等差数列前项和公式即可得.【详解】因为，，成等比数列，所以，又是公差为2的等差数列，所以即，即，可得：，所以，故选：B【点睛】本题主要考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题.15．函数y=sin2x的图象可能是A． B．C． D．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．二、填空题16．若sinα＜0且tanα＞0，则α是第_________象限角．【答案】第三象限角【解析】试题分析：当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0且tanα＞0，则α是第三象限角．考点：三角函数值的象限符号.17．已知向量、，满足，且，则______.【答案】【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】由平面向量数量积的运算性质可得.故答案为：.【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算性质计算平面向量的数量积，考查计算能力，属于基础题.18．不等式组表示的平面区域的面积等于____________.【答案】16【解析】【分析】画出可行域并计算出三条直线的交点坐标，根据三角形面积公式计算出平面区域的面积.【详解】画出可行域如下图所示，经计算得,围成的区域为三角形，故面积为.故填：.【点睛】本小题主要考查线性约束条件表示区域面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.19．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为．若“牟合方盖”的体积为，则正方体的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】【分析】根据已知求出正方体的内切球的体积，得到内切球的半径，根据正方体内切球的直径为其棱长，外接球的直径为其对角线，即可求解.【详解】因为“牟合方盖”的体积为，又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，所以正方体的内切球的体积球，所以内切球的半径，所以正方体的棱长为2，所以正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线即，所以，所以正方体的外接球的表面积为．故答案为：.【点睛】本题以数学文化为背景，考查正方体与球的“内切”“外接”问题，掌握它们之间的关系是解题的关键，属于基础题.三、解答题20．已知函数.（1）写出函数的最小正周期以及单调递增区间；（2）在中，角所对的边分别为，若，且，求的值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的最小正周期公式和单调性直接求解即可；（2）由可以求出，再由平面向量的数量积的定义可由求出的值，结合、余弦定理可以求出的值.【详解】解：（1），所以的最小正周期，，所以的单调递增区间是；（2），故，所以或，因为是三角形内角，所以；而，所以，，又，所以，所以，，所以.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数的最小正周期和单调性，考查了余弦定理、平面向量数量积的定义，考查了特殊角的三角函数值,考查了数学运算能力.21．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，分别是AB、PD的中点．(1)求证：平面PCD．(2)求三棱锥的体积．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先根据平面可得，结合可得平面，从而，再根据为等腰直角三角形及为的中点得到，从而可证平面.（2）取的中点为，连接，可证平面，从而可计算.【详解】∵，为中点，∴.∵平面,又平面.∴.∵,,∴平面.∵平面.∴.∵，∴平面.（2）取的中点,连接、，则∥，.又∥，，∴∥，.∴四边形为平行四边形.∴∥，由（1）平面，∴平面，为三棱锥的高.又，..得三棱锥的体积.【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角.又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算22．某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】（1）（2）100千件【解析】【分析】（1）根据题意，分，两种情况，分别