旧教材适用2023高考数学一轮总复习第五章平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算

第1讲平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有eq\o(□,\s\up3(01))大小又有eq\o(□,\s\up3(02))方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为eq\o(□,\s\up3(03))0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于eq\o(□,\s\up3(04))1个单位的向量与非零向量a平行的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或eq\o(□,\s\up3(05))相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向eq\o(□,\s\up3(06))相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向eq\o(□,\s\up3(07))相反的向量0的相反向量为02．向量的线性运算3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up14(→))＋eq\o(A2A3,\s\up14(→))＋eq\o(A3A4,\s\up14(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up14(→)).特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq\o(OP,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→)))．3.eq\o(OA,\s\up14(→))＝λeq\o(OB,\s\up14(→))＋μeq\o(OC,\s\up14(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.1．给出下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))，则四边形ABCD为平行四边形；④在▱ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))；⑤若m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是()A．2B．3C．4D．5答案B解析两个向量的起点相同，终点相同，则这两个向量相等，但两个相等向量不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确；eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以③不正确，正确的是④⑤.故选B.2．在△ABC中，已知M是BC的中点，设eq\o(CB,\s\up14(→))＝a，eq\o(CA,\s\up14(→))＝b，则eq\o(AM,\s\up14(→))＝()A.eq\f(1,2)a－b B.eq\f(1,2)a＋bC．a－eq\f(1,2)b D．a＋eq\f(1,2)b答案A解析因为eq\o(AM,\s\up14(→))＝eq\o(CM,\s\up14(→))－eq\o(CA,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up14(→))－eq\o(CA,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)a－b.故选A.3．(2021·安徽亳州模拟)已知向量eq\o(AB,\s\up14(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up14(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up14(→))＝－3a＋3b，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线答案B解析∵eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＝2a＋6b＝2eq\o(AB,\s\up14(→))，∴eq\o(BD,\s\up14(→))与eq\o(AB,\s\up14(→))共线，∵eq\o(BD,\s\up14(→))与eq\o(AB,\s\up14(→))有公共点B，∴A，B，D三点共线．故选B.4．设平行四边形ABCD的对角线交于点P，则下列命题中正确的个数是()①eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))；②eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→)))；③eq\o(DB,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))；④eq\o(PD,\s\up14(→))＝eq\o(PB,\s\up14(→)).A．1B．2C．3D．4答案C解析由向量加法的平行四边形法则，知①eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))，②eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→)))是正确的；由向量减法的三角形法则，知③eq\o(DB,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))是正确的；因为eq\o(PD,\s\up14(→))，eq\o(PB,\s\up14(→))的大小相同，方向相反，所以④eq\o(PD,\s\up14(→))＝eq\o(PB,\s\up14(→))是错误的．故选C.5．(2021·江西省名校联考)在△ABC中，eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))，eq\o(AP,\s\up14(→))＝2eq\o(PD,\s\up14(→))，eq\o(BP,\s\up14(→))＝λeq\o(AB,\s\up14(→))＋μeq\o(AC,\s\up14(→))，则λ＋μ等于()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)答案A解析因为eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))，eq\o(AP,\s\up14(→))＝2eq\o(PD,\s\up14(→))，所以eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AP,\s\up14(→))，所以eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up14(→))，所以eq\o(BP,\s\up14(→))＝eq\o(AP,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up14(→))，因为eq\o(BP,\s\up14(→))＝λeq\o(AB,\s\up14(→))＋μeq\o(AC,\s\up14(→))，所以λ＝－eq\f(2,3)，μ＝eq\f(1,3)，所以λ＋μ＝－eq\f(1,3).故选A.6．已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，则eq\o(DC,\s\up14(→))＝，eq\o(BC,\s\up14(→))＝(用a，b表示)．答案b－a－a－b解析如图，eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→))＝－eq\o(OA,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→))＝－a－b.考向一平面向量的概念例1给出下列命题：①若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；②若A，B，C，D是不共线的四点，且eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))，则四边形ABCD为平行四边形；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是．答案②解析对于①，若b＝0，则a与c不一定共线，①是假命题．对于②，因为eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))，所以|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝|eq\o(DC,\s\up14(→))|且eq\o(AB,\s\up14(→))∥eq\o(DC,\s\up14(→))；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形，②是真命题．对于③，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件，③是假命题．对于④，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线，④是假命题．平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量．1.设a0为单位向量，有下列命题：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若非零向量a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.其中假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若非零向量a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.2．下列五个命题：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；②向量a≠b，则a与b的方向必不相同；③|a|＞|b|，则a＞b；④向量eq\o(AB,\s\up14(→))与eq\o(CD,\s\up14(→))是共线向量，则A，B，C，D四点共线；⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南40°的向量一定是平行向量．其中正确的是()A．①⑤B．④C．⑤D．②④答案C解析温度虽有大小却无方向，故不是向量，①错误；a≠b，a与b的方向可以相同，②错误；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，③错误；正方形ABCD中eq\o(AB,\s\up14(→))与eq\o(CD,\s\up14(→))共线，但A，B，C，D四点不共线，④错误；作图易得⑤正确．故选C.精准设计考向，多角度探究突破考向二平面向量的线性运算角度向量加减法的几何意义例2(1)(2022·江西南昌模拟)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是()A．a∥b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b答案B解析由已知a，b不共线，在▱ABCD中，设eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|，知|eq\o(AC,\s\up14(→))|＝|eq\o(DB,\s\up14(→))|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选B.(2)(2022·广西柳州模拟)若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OC,\s\up14(→))|＝|eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))－2eq\o(OA,\s\up14(→))|，则△ABC的形状为．答案直角三角形解析因为eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))－2eq\o(OA,\s\up14(→))＝eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OC,\s\up14(→))＝eq\o(CB,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→))，所以|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))|＝|eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→))|，即eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))＝0，故eq\o(AB,\s\up14(→))⊥eq\o(AC,\s\up14(→))，△ABC为直角三角形．角度平面向量线性运算例3(1)(2021·安徽芜湖质量检测)如图所示，下列结论正确的是()①eq\o(PQ,\s\up14(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b；②eq\o(PT,\s\up14(→))＝－eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)b；③eq\o(PS,\s\up14(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b；④eq\o(PR,\s\up14(→))＝eq\f(3,2)a＋b.A．①②B．③④C．①③D．②④答案C解析由a＋b＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up14(→))，知eq\o(PQ,\s\up14(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b，①正确；由a－b＝eq\f(2,3)eq\o(PT,\s\up14(→))，知eq\o(PT,\s\up14(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)b，②错误；eq\o(PS,\s\up14(→))＝eq\o(PT,\s\up14(→))＋b，故eq\o(PS,\s\up14(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b，③正确；eq\o(PR,\s\up14(→))＝eq\o(PT,\s\up14(→))＋2b＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b，④错误．故选C.(2)在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up14(→))＝－2eq\o(CD,\s\up14(→))，M为BC的中点，则eq\o(AM,\s\up14(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→))B.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up14(→))D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up14(→))答案B解析因为eq\o(AB,\s\up14(→))＝－2eq\o(CD,\s\up14(→))，所以eq\o(AB,\s\up14(→))＝2eq\o(DC,\s\up14(→)).又因为M是BC的中点，所以eq\o(AM,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up14(→))＋\o(AD,\s\up14(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up14(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→)).故选B.角度利用线性运算求参数例4(1)设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(AD,\s\up14(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up14(→))，若eq\o(BC,\s\up14(→))＝λeq\o(DC,\s\up14(→))(λ∈R)，则λ＝()A．2B．3C．－2D．－3答案D解析由eq\o(BC,\s\up14(→))＝λeq\o(DC,\s\up14(→))可知eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))＝λ(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→)))，∴eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,λ)))eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up14(→))，又eq\o(AD,\s\up14(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up14(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,λ)＝－\f(1,3)，,1－\f(1,λ)＝\f(4,3)，))解得λ＝－3.故选D.(2)(2022·四川南充诊断考试)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq\o(DE,\s\up14(→))＝λeq\o(AB,\s\up14(→))＋μeq\o(AD,\s\up14(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A.eq\f(5,8)B.eq\f(1,4)C．1D.eq\f(5,16)答案A解析eq\o(DE,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DO,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up14(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，故λ2＋μ2＝eq\f(5,8).故选A.向量线性运算的解题策略(1)向量加减的常用法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．3.已知四边形ABCD是平行四边形，O为平面上任意一点，设eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，eq\o(OC,\s\up14(→))＝c，eq\o(OD,\s\up14(→))＝d，则()A．a＋b＋c＋d＝0B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a－b－c＋d＝0答案B解析如图所示，a－b＝eq\o(BA,\s\up14(→))，c－d＝eq\o(DC,\s\up14(→))，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊DC，且eq\o(BA,\s\up14(→))与eq\o(DC,\s\up14(→))反向，即eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝0，也就是a－b＋c－d＝0.故选B.4．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则eq\o(AF,\s\up14(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up14(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up14(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))D.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→))答案D解析根据题意得eq\o(AF,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(AE,\s\up14(→)))，又因为eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))，eq\o(AE,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))，所以eq\o(AF,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up14(→))＋\o(AD,\s\up14(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up14(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→)).故选D.5．(2021·河南洛阳模拟)在△ABC中，点G满足eq\o(GA,\s\up14(→))＋eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝0.若存在点O，使得eq\o(OG,\s\up14(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up14(→))，且eq\o(OA,\s\up14(→))＝meq\o(OB,\s\up14(→))＋neq\o(OC,\s\up14(→))，则m－n等于()A．2B．－2C．1D．－1答案D解析∵eq\o(GA,\s\up14(→))＋eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up14(→))－eq\o(OG,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OG,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OG,\s\up14(→))＝0，∴eq\o(OG,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up14(→))－\o(OB,\s\up14(→))))，可得eq\o(OA,\s\up14(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up14(→))，∴m＝－eq\f(3,2)，n＝－eq\f(1,2)，m－n＝－1.故选D.考向三共线向量定理的应用例5(1)设e1与e2是两个不共线向量，eq\o(AB,\s\up14(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up14(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up14(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为()A．－eq\f(9,4)B．－eq\f(4,9)C．－eq\f(3,8)D．不存在答案A解析由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得eq\o(AB,\s\up14(→))＝λeq\o(BD,\s\up14(→)).又因为eq\o(AB,\s\up14(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up14(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up14(→))＝3e1－2ke2，所以eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(CD,\s\up14(→))－eq\o(CB,\s\up14(→))＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ3－k，,2＝－λ2k＋1，))解得k＝－eq\f(9,4).故选A.(2)已知平面内的三点A，B，O不共线，且eq\o(AP,\s\up14(→))＝λeq\o(OA,\s\up14(→))＋μeq\o(OB,\s\up14(→))，则A，P，B三点共线的一个必要不充分条件是()A．λ＝μ B．|λ|＝|μ|C．λ＝－μ D．λ＝1－μ答案B解析A，P，B三点共线，即存在一个实数m，使得eq\o(AP,\s\up14(→))＝meq\o(AB,\s\up14(→))，∵eq\o(AP,\s\up14(→))＝λeq\o(OA,\s\up14(→))＋μeq\o(OB,\s\up14(→))，∴meq\o(AB,\s\up14(→))＝λeq\o(OA,\s\up14(→))＋μeq\o(OB,\s\up14(→))，即m(eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→)))＝λeq\o(OA,\s\up14(→))＋μeq\o(OB,\s\up14(→))，∴(m－μ)eq\o(OB,\s\up14(→))＝(m＋λ)eq\o(OA,\s\up14(→))，∵A，B，O三点不共线，∴m－μ＝0，m＋λ＝0，即λ＝－μ＝－m，∴A，B，P三点共线的充要条件为λ＝－μ，结合各选项知A，B，P三点共线的一个必要不充分条件为|λ|＝|μ|.故选B.(1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．根据A，B，C三点共线求参数问题，只需将问题转化为eq\o(AC,\s\up14(→))＝λeq\o(AB,\s\up14(→))，再利用对应系数相等列出方程组，进而解出系数．(2)三点共线的一个常用结论：A，B，C三点共线⇔存在实数λ，μ对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足eq\o(OA,\s\up14(→))＝λeq\o(OB,\s\up14(→))＋μeq\o(OC,\s\up14(→))(λ＋μ＝1)．6.(2021·山西师大附中模拟)在△ABC中，eq\o(AN,\s\up14(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up14(→))，P是直线BN上一点，若eq\o(AP,\s\up14(→))＝meq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up14(→))，则实数m的值为()A．－4B．－1C．1D．4答案B解析∵eq\o(AN,\s\up14(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up14(→))，∴eq\o(AC,\s\up14(→))＝5eq\o(AN,\s\up14(→)).又eq\o(AP,\s\up14(→))＝meq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up14(→))，∴eq\o(AP,\s\up14(→))＝meq\o(AB,\s\up14(→))＋2eq\o(AN,\s\up14(→))，由B，P，N三点共线可知，m＋2＝1，∴m＝－1.故选B.7．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为()A．1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．－2答案B解析由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,1＝2λk－k，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－eq\f(1,2).故选B.1．如图，O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则下列等式正确的是()A.eq\o(DA,\s\up14(→))－eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))B.eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(DO,\s\up14(→))C.eq\o(OA,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(DB,\s\up14(→))D.eq\o(AO,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))答案D解析对于A，eq\o(DA,\s\up14(→))－eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(CA,\s\up14(→))，错误；对于B，eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝2eq\o(DO,\s\up14(→))，错误；对于C，eq\o(OA,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(BD,\s\up14(→))，错误；对于D，eq\o(AO,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))，正确．故选D.2．已知向量i与j不共线，且eq\o(AB,\s\up14(→))＝i＋mj，eq\o(AD,\s\up14(→))＝ni＋j，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是()A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1C．mn＝1 D．mn＝－1答案C解析由A，B，D三点共线，可设eq\o(AB,\s\up14(→))＝λeq\o(AD,\s\up14(→))，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共线，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λn＝1，,λ＝m，))即有mn＝1.故选C.3．(2021·河南焦作高三月考)△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若eq\o(CB,\s\up14(→))＝a，eq\o(CA,\s\up14(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，则eq\o(CD,\s\up14(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bB.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)bD.eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b答案B解析∵CD为∠ACB的角平分线，∴由角平分线定理，得eq\f(BD,AD)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(1,2)，∵eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(CB,\s\up14(→))－eq\o(CA,\s\up14(→))＝a－b，∴eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)b，∴eq\o(CD,\s\up14(→))＝eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝b＋eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)b＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.故选B.4．设a，b都是非零向量，下列四个选项中，一定能使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的是()A．a＝2b B．a∥bC．a＝－eq\f(1,3)b D．a⊥b答案C解析“eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”．故选C.5．(2022·云南昆明摸底)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq\o(EB,\s\up14(→))＋eq\o(FC,\s\up14(→))＝()A.eq\o(AD,\s\up14(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→))C.eq\o(BC,\s\up14(→))D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up14(→))答案A解析设eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AC,\s\up14(→))＝b，则eq\o(EB,\s\up14(→))＝－eq\f(1,2)b＋a，eq\o(FC,\s\up14(→))＝－eq\f(1,2)a＋b，从而eq\o(EB,\s\up14(→))＋eq\o(FC,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b＋a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋b))＝eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\o(AD,\s\up14(→)).故选A.6.(2021·皖南八校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，eq\o(BC,\s\up14(→))＝3eq\o(EC,\s\up14(→))，F为AE的中点，则eq\o(BF,\s\up14(→))＝()A.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up14(→)) B．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up14(→))C．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up14(→)) D.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up14(→))答案B解析如图，连接AC，根据平面向量的运算法则，得eq\o(BF,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up14(→))，eq\o(BE,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)).因为eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))，eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))，所以eq\o(BF,\s\up14(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up14(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up14(→))－\o(AB,\s\up14(→))))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up14(→)).故选B.7.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AC,\s\up14(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up14(→))＝()A．a－eq\f(1,2)bB.eq\f(1,2)a－bC．a＋eq\f(1,2)bD.eq\f(1,2)a＋b答案D解析如图，连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB，且eq\o(CD,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＝b＋eq\f(1,2)a.故选D.8．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))＋eq\o(OD,\s\up14(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up14(→)) B．2eq\o(OM,\s\up14(→))C．3eq\o(OM,\s\up14(→)) D．4eq\o(OM,\s\up14(→))答案D解析eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))＋eq\o(OD,\s\up14(→))＝(eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))＋(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OD,\s\up14(→)))＝2eq\o(OM,\s\up14(→))＋2eq\o(OM,\s\up14(→))＝4eq\o(OM,\s\up14(→)).故选D.9．(2022·山西太原模拟)已知O为△ABC内一点，且eq\o(AO,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))，eq\o(AD,\s\up14(→))＝teq\o(AC,\s\up14(→))，若B，O，D三点共线，则t＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案B解析设E是BC边的中点，则eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))＝eq\o(OE,\s\up14(→))，由题意得eq\o(AO,\s\up14(→))＝eq\o(OE,\s\up14(→))，所以eq\o(AO,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up14(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,4t)eq\o(AD,\s\up14(→))，又因为B，O，D三点共线，所以eq\f(1,4)＋eq\f(1,4t)＝1，解得t＝eq\f(1,3).故选B.10．△ABC所在的平面内有一点P，满足eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))，则△PBC与△ABC的面积之比是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)答案C解析因为eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))，所以eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＝eq\o(PB,\s\up14(→))－eq\o(PA,\s\up14(→))，所以eq\o(PC,\s\up14(→))＝－2eq\o(PA,\s\up14(→))＝2eq\o(AP,\s\up14(→))，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝eq\f(2,3)AC，由三角形的面积公式可知，eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(PC,AC)＝eq\f(2,3).故选C.11.(2021·安徽滁州模拟)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(5)－1,2)，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点，在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，设eq\o(AP,\s\up14(→))＝x1eq\o(AB,\s\up14(→))＋y1eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(AQ,\s\up14(→))＝x2eq\o(AB,\s\up14(→))＋y2eq\o(AC,\s\up14(→))，则eq\f(x1,x2)＋eq\f(y1,y2)＝()A.eq\f(\r(5)＋1,2) B．2C.eq\r(5) D.eq\r(5)＋1答案C解析由题意，得eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BP,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(5)－1,2)))eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(3－\r(5),2)(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3－\r(5),2)))eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(3－\r(5),2)eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(3－\r(5),2)eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(AQ,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BQ,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(\r(5)－1,2)(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)))＝eq\f(3－\r(5),2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(AC,\s\up14(→)).∴x1＝y2＝eq\f(\r(5)－1,2)，x2＝y1＝eq\f(3－\r(5),2).∴eq\f(x1,x2)＋eq\f(y1,y2)＝eq\f(\r(5)－1,3－\r(5))＋eq\f(3－\r(5),\r(5)－1)＝eq\r(5).故选C.12.如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①eq\o(OA,\s\up14(→))＋2eq\o(OB,\s\up14(→))；②eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up14(→))；③eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up14(→))；④eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up14(→))；⑤eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up14(→))－eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up14(→)).若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的是()A．①②B．②④C．①③D．③⑤答案B解析如图1，在ON上取点C，使得OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则eq\o(OD,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋2eq\o(OB,\s\up14(→))，其终点不在阴影区域内，排除A，C；如图2，取线段OA上一点E，使AE＝eq\f(1,4)OA，作EF∥OB，交AB于点F，则EF＝eq\f(1,4)OB，由于EF<eq\f(1,3)OB，所以eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up14(→))的终点不在阴影区域内，排除D.故选B.13．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝.答案eq\f(1,2)解析∵λa＋b与a＋2b平行，∴存在实数k，使λa＋b＝k(a＋2b)，∴(λ－k)a＋(1－2k)b＝0.∵a与b不平行，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－k＝0，,1－2k＝0，))解得λ＝eq\f(1,2).14.(2022·甘肃嘉峪关市模拟)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq\o(AB,\s\up14(→))＝meq\o(AM,\s\up14(→))，eq\o(AC,\s\up14(→))＝neq\o(AN,\s\up14(→))，则m＋n的值为．答案2解析解法一：∵点O是BC的中点，∴eq\o(AO,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up14(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up14(→)).∵M，O，N三点共线，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1.∴m＋n＝2.解法二：MN绕O旋转，当N与C重合时，M与B重合，此时m＝n＝1，∴m＋n＝2.15．在平行四边形ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))|＝|eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))|，则四边形ABCD的形状是．答案矩形解析由向量加法的平行四边形法则可知，eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))＝eq\o(BD,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))，∵|eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))|＝|eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))|，∴|eq\o(B