向量法在中学数学中地指导应用

存档编号学士学位论文题目：向量法在中学数学中的应用教学学院：数学与计算机科学学院届 另ij: 201届专 业： 数学与应用数学学号: * *: ***指导教师: 颖芬完成日期: 2016年12月向量法在中学数学中的应用摘要在数学学习中，涉及到的相关解题方法是非常多的，如向量法、几何法、面积法、三角法等，本论文主要针对向量法在中学数学中的应用来进行研究及分析，对于向量法相关的解题方法及技巧进行了详细的研究。本论文采用归纳演绎的方法对向量法的相关概念、常用公式及定理等进行了介绍，并采用举例分析法对向量法在解题中的实际应用进行了论证，且选择了几个不同的方面来对向量法在中学数学中解题的巧用进行了研究，希望本论文的研究及分析工作能够为类似数学方面的研究带来一定的指导意义。关键词：向量法；应用；举例分析法；中学数学AbstractInLearningMathematics,relatedtoproblem-solvingapproachisverymuchinvolved,suchasVector,geometricmethod,areamethod,trigonometry,etc.,themainapplicationofVectorpaperinmiddleschoolmathematicsforresearchandanalysiscarriedoutonsolvingProblemsassociatedwiththevectormethodsandtechniqueshavebeenstudiedindetail.Thispaperusesthemethodofinductionanddeductionrelatedconceptsvectormethod,commonlyusedformulasandtheoremswereintroduced,andthen,usingtheexampleofvectoranalysismethodinsolvingproblemsofpracticalapplicationweredemonstrated.Thepaperchoseseveraldifferentaspectsofvectormethodinmiddleschoolmathematicsproblemsolvingcleverusewerestudied,hopingtoresearchandanalysisworkinthispapercanbringacertainsignificanceforthestudyofmathematicsissimilar.Keywords:Vector;applications;forexampleanalysis;MiddleSchoolMathematicsTOC\o"1-5"\h\z摘要 I\o"CurrentDocument"引言 1\o"CurrentDocument"相关理论知识介绍 2向量的概念 2向量的表示 2向量的运算 4加法运算 4减法运算 4数乘运算 4向量的数量积 4向量的平移公式 5线段定比分点公式 5向量的基本定理 5平面向量的基本定理 5空间向量的基本定理 5共线向量的基本定理 6共面向量的基本定理 6\o"CurrentDocument"向量法在中学几何中的应用 6向量法在平面几何中的应用 6向量法解决立体几何问题 7向量法在解析几何中的应用 10\o"CurrentDocument"向量法在中学代数中的应用 15求函数的最值 16求参变数围 16解方程 17解复数问题 17证明条件等式 18向量法在证明解不等式问题中的应用 18向量法解决方程组问题 18\o"CurrentDocument"向量法解三角函数的问题 19求值 19证明恒等式 21结论 22\o"CurrentDocument"参考文献 23致 241引言对于向量及向量法在中学数学中的应用等相关理论知识而言，它是我国中学数学进行改革之后新增加的容，目的在于为学生提供更好的工具来解决相关数学问题及更好的拓展学生的思维能力。它具有代数形式以及几何形式等的双重身份，即它把数、形融为一体，从而更好的帮助解决相关几何及代数问题。在中学数学的诸多知识点里面，向量法及其计算应用等是一个非常重要的交汇点，它经常与复数、平面解析几何、函数、导数、空间解析几何等方面的容进行交叉渗透，从而使得相关的数学问题更加具有综合性、更加具有新颖性，这样才能够更好的反应学生对所学知识的融会贯通的能力。向量法作为中学数学一项有力的解题工具，通过对其熟练掌握和灵活应用，能够帮助我们提高解题的效率、拓展我们解题的思维能力、以及对知识进行融会贯通的能力等。向量作为中学数学的一个基本概念，只有对其进行良好的掌握及理解，才能够更好的把向量法应用到相关数学问题中去求解。对于向量而言，它除了具有方向之外，还具有大小的一个量。因此，其对我国中学数学的发展起着非常重要的作用，向量是代数课程、函数分析、几何分析等相关课程研究的基本容。向量及向量法在相关数学问题中的应用等理论知识是作为我国新课改之后引入的新的容，对我国数学的发展起到很重要的作用。它不但具有代数形式的身份，而且还具有几何形式的身份，可见，它是中学数学的一个交汇点。通过把向量引入到我国中学数学课程里面，它能够促进高中数学的整个体系架构更加完善，通过对向量法进行灵活应用，能够把许多传统的代数问题、几何问题等变得简单化，从而进一步的拓展了学生解决数学问题的思维能力及方法，也为学生进行创新等方面奠定了良好的基础。对于平面向量而言，它主要是将代数知识以及几何知识等进行有机的结合到一起，从而更好的帮助解决相关数学问题，它主要渗透到函数、平面几何、数列、三角函数、解析几何、立体几何等相关的知识体系中，并且，在研究这些数学问题的时候得到了非常广泛的应用。2、相关理论知识介绍向量的概念在中学数学的学习中，向量是一个非常重要的知识点，只要把向量的相关理论知识及应用掌握透彻了，便可以灵活的应用向量法在中学几何中进行解题或者在代数中进行应用。在进行向量法的基本应用之前，我们需要先了解向量的基本理论知识，那么，什么是向量？我们把既有大小又有方向的量称之为向量。我们把具有方向的线段称之为有向的线段，比如，以A作为起点，8作为终点的有向线段，可以把它记为。另外，对于有向线段AB的长度，则把它称为向量的模，故把其记为||。通过上述介绍可以很明确的知道向量的三要素为：起点、方向以及长度。我们把两个方向相反或者方向相同的非零向量称之为平行向量，如向潼b平行，可以把它记为方//E。把长度相等并且方向也相同的向量称之为相等向量。对于任何一组平行向量来讲，都可以把它移动到同一条直线上面，因此，也可以把平行向量叫做共线向量。对于长度为0的向量，把它称之为零向量，记为0。零向量具有很多特点，如它与任何向量都是垂直的，它的方向也是任意的，与任意向量也都是平行的。把长度等于1个单位长度的向量称之为单位向量。向量的表示(1)向量的代数表示：通常情况之下，它是采用黑体小写字母a、b、c…等来进行表示，而对于手写，则在a、b、c、d…等字母上加一箭头来进行表示。(2)向量的几何表示：向量的几何表示图法，对于向量来讲，它可以采用有向线段来进行表示。而有向线段的长度，它则表示向量的大小，对于箭头所指的方向，则表示为向量的方向。假如规定线段AB的大小，对于箭头所指的方向，则表示为向量的方向。假如规定线段AB的端点A为起点，B为终点，那么，该线段就具有了从起点A到终点B的方向、长度。因此，我们把这种具有长度、方向的线段称之为有向线段。(3)坐标表示：1)在平面直角坐标系XY中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量了，;作为一组基底。对于才来讲，它是为平面直角坐标系xy的任意一个向量，以坐标原点o为起点作向量OF=才。由平面向量基本定理可以知道，有且只有一对实数（x,y）,使得才二向量OF=x7+y;，因此，我们就可以把实数对（x,y）叫做向量F的坐标，记作F=（x，y）。这就是向量F的坐标表示。其中，（x，y）就是点「的坐标。向量OF称之为点P的位置向量。2）在立体三维坐标系xyz里面，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的3个单位向量了，j飞作为一组基底。假设F为xyz坐标系里面的任意一个向量，那么，采用坐标原点O为起点来作向量OF=F。因此，通过空间基本定理便可以知道，有且只有一组实数（x，y，z），使得F=向量Oj=xF+yj+zk，因此，我们把实数对（x，y，k）称之为向量F的坐标，记作F=（x，y，z）。这也是向量F的坐标表示。其中（x，y，k），也就是点p的坐标。向量OF称为点P的位置向量。图1向量的坐标表示图3）另外,对于空间多维向量来讲,它也是可以通过类似的方法来得到的，本论文对于空间多维向量就不在进行介绍。向量的运算加法运算已知，向量a、3，在空间平面之任意取一个点A,做二石,二a，故向量被称之为向量a与向量a的和，把它记为a+a，即+=，故把这种求和的方法叫做向量加法的三角形法则。向量加法的运算规律为：a+a=a+a；(3+a)+c=a+(Z?+c)。减法运算假设向量a、a，并且在平面任意取一点。，作二a，二a，那么，=a-a，即a-a可以表示为向量a的终点指向向量a的终点的向量。对于这种求差的方法，我们把它称之为向量减法的三角形法则。对向量减法来讲，它的实质就是加法的一种逆运算。2.3.3数乘运算对于实数与向量5来讲，它们的积是一个向量，因此，我们把这种运算叫做向量的数乘，把它记为，对于||二|||a|而言，如果＜0,则的方向与a的方向是相反的；如果＞0,则的方向与a的方向是相同的；如果=0,则=0.设定、口为实数，那么，实数与向量的积有：1)入(a+Z?)=X2+XZ?2)(k+^)a=^'a+^a3)入(^a)=(入口)a2.3.4向量的数量积已知，两个非零向蜀、b,它们之间的夹角为o,那么，它的数量积定义表与a互相垂直，记作a±a.Zcos(a,Z〉，当(a,Z}=与a互相垂直，记作a±a.向量的平移公式如果点P(羽y)按照向量a=(h,k)平移至P'(x;y'),称(x,y),(x',y')为旧、新坐标，a为平移法则.线段定比分点公式如下图2所示，设尸P=入PP，则定比分点向量式:1 2oa=op+-^-op；i+入11+入2定比分点坐标式：设P(x,y),P(x,y),P(x,y),1 1 1 2 2 2x+入xy+入yx=——z,y=——1+入1+入图2线段定比分点图形2.4向量的基本定理.4.1平面向量的基本定理彳假设a、a是同一个平面之的两个不共线的向量，那么，对于该平面之的任何一个向量a，则有且只有一对实数九、自，从而使得a=xa+^a。.4.2空间向量的基本定理对于空间向量来讲，它的基本定理为：假设三个向量a,a,a不共面，那么，对于空间里面的任一向量p,它是存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使aaaap=xa+yb+zc..4.3共线向量的基本定理关于共线向量的定理：对空间任意两个向量a,伙匹wO),a〃bO存在实数九使a=XO..4.4共面向量的基本定理对于共面向量来讲，我们把平行于同一平面的向量称之为共面向量。关于共面向量的定理：假设两个向量不共线，那么，向量p与向量a,O共面o存在两个实数x,j使p=xp+yp。3、向量法在中学几何中的应用3.1向量在平面几何中的应用通过对向量加减法、数乘以及积的相关几何意义进行灵活的应用，可以把复杂的问题进行简单化，能够很巧妙并且也非常简洁的对相关几何证明问题进行求解，也能够很简单的对几何问题中涉及到的相关夹角问题进行求解。例1：试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形。对例1进行分析：如下图3所示，AD,BE,CF分别为AABC三条边上的中线，假如要证明AD,BE,CF能作成一个三角形，那么，只须证明jip+Bp+CF=P即可。图3三角形ABC证明：设AB=P,BC=a,(JA=P,则a+p+p=a，而ad=ab+bd=~c+1a，BE=1JC+C£=a+1a,2 2

所以cF=(JA+aF=5+1c.2于是j[D+BE+CF=a+5+c：1(5+5+c)=0,即以AD,BE,CF为边可以2构成一个三角形。3.2向量法解决立体几何问题由于立体几何是一项比较复杂的求解问题，因此，采用传统的方法来进行求解，是比较复杂的，也需要很繁琐的分析工作等。所以，通过引入向量法来对立体几何进行求解，能够使复杂问题变得简单化，使解题思路更加清晰等。通过采用向量法来把复杂问题由繁化为简，由难化为易等，这样能够起到很好的解题效果。例2：已知，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，它的底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4，过点B作B1c的垂线交侧棱CC1于点E，交B1c于点F.(1)求证：AC,平面BED;1⑵求AB与平面BDE所成的角的正弦值.A1D1BA1D1B1C1EC图4正四棱柱ABCD—ABCD1111对于该题来讲，它是由两种解题方法的，下面分别对这两种方法进行介

绍。解法(一)：(1)证明：连AC交BD于点绍。解法(一)：(1)证明：连AC交BD于点O,由正四棱柱性质，便可以知道AA1L底面ABCD,AC±BD,AAC±BD1又・・・A1B，侧面BC1且B1CLBE,Z.A1C±BE,VBDABE=B,・・.AC，平面BDE1(2)解：设A1c交平面BDE于点K,连BK,则NA1BK为A1B与平面BDE所成的角，•・•在侧面BC1中BE±B1C,A△BCE^^B1BC,EE=BC-,又BC=2,BB=4,「.CE=1BCBB i1连结OE,则OE为平面ACC1Al与平面DBE的交线，・•.OEAC=K,i在R心CC中,CO=-AC=豆AB=J2,2 2・•.OE=\CO2+EC2=*3,又OE-CK=ECCO, :.CK=i^X2-=正33 3AC=^ABI22+BC2+AA2=2X61 1 1・•.AK=2V6—g=5^6- 3 3在RtAABK中sin/ABK=AK—1—AB15<6

3<22+42<30

~6~即为AB与平面BDE所成的角的正弦值.1解法(二)：z轴建立空间直角坐(1)以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、yz轴建立空间直角坐标系0—xyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,4),D1(0,0,4),C1(0,2,4),B1(2,2,4),设E(0,2,t),则:BE1BC,BE=(-2,0,t),BC=(-2,0,-4),1 1...BE・BC=4+0-4t=0,・..t=1,i.・.E(0,2,1),BE=(-2,0,1),又AC=(-2,2,-4),DB=(2,2,0),1， I...AC-BE=4+0-4=01且AC・DB=-4+4+0=0,1「.AC1DB且AC1BE,11・•・AC1DB且AC1BE,;.AC1平面BDE1 1 1(2)设A1cn平面BDE=K,设A1cA平面BDE=K,设DK=m•DB+n•DE=m(2,2,0)+n(0,2,1)=(2m,2m+2n,n),;K(2m,2m+2n,n), ;AK=(2m-2,2m+2n,n-4),TOC\o"1-5"\h\z1 k _AK1DBnAK•DB=2(2m-2)+2(2m+2n)=0n2m+n-1=0…①1 , 1 p同理有AK1DEnAK-DE=2(2m+2n)+n-4=0n4m+5n-4=0…②11由①，②联立解得m=Ln=2, ;AK=(-5,5,-W),6 3 1 33 3；」AKi=516,又易知IABi=2<5?1 3 15彳IAKI3"6 v30加si、力以一、发曰,30;sin/ABK=_1 =3_= ,即所求角的正弦值是 1 1AlBI 2<5 6 6图5正四棱柱ABCD—ABCD1111通过上面的两种分析方法，很明显的可以看出采用向量法来进行求解是非常方便的，其比传统方法更加具有优越性，比如：解题的思路是很清晰的，也比较容易被理解。唯一的不足之处在于其运算量是非常大的。3.3向量在解析几何中的应用对于平面向量来讲，它作为一种有向线段，其本身就是线段当中的一段，因此，它的坐标用起点和终点坐标来进行表示，可见，向量与平面解析几何之间存在着非常密切的联系．把向量方法应用到解析几何中，可以把以前非常多的形式逻辑证明转变成为数值的一种计算，从而使得复杂的问题简单化，可见，向量法成为解析几何当中的一种解决问题的重要手段及重要方法。例3:已知，我们把一个圆的直径的两端点设为A(x,y),B(x,y)，求此圆11 22的方程.解:设P(x,y)为圆上不同于A,B的点，通过圆周角定理，可以得到AP±BP,假设P(x,y)是与点A或B重合的点，那么，则有AP=0或者BP=0，故有AP-BP=0成立，从而使得(x一x)(y一y)+(x一x)(y一y)=0，即为所求圆11 22的方程。例4：求过圆(x一5)2+(y-6)2:10上的点M(6,9)的切线方程.解：如图，设N(羽y)是所求切线上的任意一点，则MN=(x-6,y-9),。血=(1,3)，因为mN±0rM，所以mN•0rM=0，即(x—6)+3(y—9)=0，此即为所求切线的方程(即使是N,M重合时，仍有MN•0rM=0，因为此时MN=0).例5:已知，椭圆上+”=1,直线1:—+2=1。「是直线l上一点，射2416 128线OP交椭圆于点R,又知，点Q在射线OP上，并且它是满足|OQ|-|OP|=|OR|2。当点P在直线1上进行移动的时候，此时，来求点Q的轨迹方程，并且，也要说明该轨迹是属于什么曲线。图7椭圆 > >解：如图7所示，不妨设OQ=(x,y),=(xp,yp),OR=(XR,y?。因为、oq是同方向，并且|op|-|oq|=|or|2,故OP —>|OR|2—>= •OQ= •OQ。TOC\o"1-5"\h\z|OQ| |OQ|2ORl2 OR2 …、， 一所以，有x=xy= ・丫，并把它代入直线l方程，得p|OQ|2•PO）Q\2|OR|2xxy、（一+-）=1, ①|OQ|2 128 > >同理，由于OR、OQ是同方向的，所以：OROQ•x,OROQ•x,yR=OROQ•y,并且把它代入到椭圆方程，可以得到:OR|并且把它代入到椭圆方程，可以得到:OR|2

OQ^,x2 y2一(——+—)=1。2416由①、②得24+16*+8由①、②得24+16*+8。（…不全为0）所以，得到点Q的轨迹方程使为椭圆:（原点是除外的）例6:如图8所示，过点A（-1,0）,并且斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于P，Q两点。图8抛物线C假如曲线C的焦点F与P，Q，R三点按如图6所示的顺序构成平行四边形PRQF，求点R的轨迹方程。设P，Q两点只在第一象限进行运动，点E（0,8）在与线段PQ中点的连线交于x轴的点N，当点N在点A右侧时，求直线PQ的斜率k的取值围。TOC\o"1-5"\h\z解：（1）设「（二，y），Q（型，y），R（x,y）则AP=（型+1，y）41 42 4 1AQ=（y2—+1，y）EP=（y^-1，y）QR=（x-y―，y-y）42 41 42由A,P,Q三点共线知AP平行AQ，（屋+1）y=y（丫+1）4 2i4

即号（『2"『2又y即号（『2"『2又y丰y所以yy=41212TOC\o"1-5"\h\z故(y^-1,y)=(x-y-,y-y)41 42y2+y2 .即x=t——-2-1y=y+y4 12故y2=4x+12因为x=y；+y2-1>2yiy2-1=14 4点R的轨迹方程为y2=4x+12 (x>1)⑵设N(a,0)(a>-1)P,Q中点为G(22122,yily2)8 2即6(y2-1,y)EG=(竺-1,y-8)EN=(a,-8)8 2 8 2由E,G,N三点共线知EG平行EN故-8(y2-1)=a(y-8)8 2得a=16—2y2 (a>-1)yT6所以！<y<16或y<02又有P,Q两点在第一象限所以4<y=y+y<16,y一y4 4 ,1八k== 二一e(-,1)X2一5yi+y2y44、向量法在中学代数中的应用在中学数学的很多解题里面都可以应用向量法来进行求解,如采用向量法对相关代数问题进行求解,通过灵活的应用向量法来进行求解,不但使复杂问题简单化,而且还极易拓展学生解题的思路等。这主要是在于向量法不但融合了代数形式,而且还融合了几何形式,这使得它具有双重身份,是融形、数为一体的平面向量。因此，把向量法引入到中学数学代数问题求解的过程中，不但使复杂的代数求解问题简单化，而且极易拓展学生的思维能力及解题方法，在一定程度上面还能够更好的帮助学生进行创新，所以向量法被应用到许多数学问题当中去进行研究。通过合理、有效的利用平面向量这一解题工具，能够处理很多相关的代数问题，下面将对向量法在中学代数中的应用进行简单介绍。4.1求函数的最值通过合理的利用向量模的不等式a—下<a+苏<a+乃,a7<a石,可以对一些比较复杂，但是采用常规方法又非常麻烦的最值(值域)问题进行求解。例7：求函数f(x)=3x+2+4V4=X2的最大值。对上述函数进行分析：通过对其结构特征进行观察，由3x+4,4二£很容易就会联想到向量的数量积的坐标表示．^令a=(34)a=(xJ4—x2)则f(x)=a«a+2且a—5a—2故^P(j,i),q(x,\r1x))，入Jf(x)q1，，-1lp,,q4♦f(x)<~pq+2—12，当且仅当％与q同向，即？— >0时取等号，xJ4-x2很显然，采用向量法使问题非常容易的就得到解决．4.2求参变数围对于求参变数围的代数问题，它在中学数学中是一个难点，要对其进行求解是很难的，经常需要进行讨论。假如采用向量法来进行求解，就会把复杂问题简单化，解题方法也变得非常多，因此，采用向量法来对参变数围进行求解，通常会收到意想不到的效果。k2例8：设a,b,c,deR，且a+b+c+d—k(k>0),a2+b2+c2+d2——，试讨论a,b,c,d的围.分析：由a2+b2+c2+d2很容易就会联想到向量的模，令

节=(a,b,c),q=(1,1,1)，则TT.1, q1qJ_,7_ , _ q后qqq，qq/qp-q=a+b+c= k一d ,p -7a2+b2 +c2,q =35.由p-q<pq得k—d<<3•；—-d2,解得0<d<—,由a,b,c,d对称性便可以得a,b,c,d的围.33 2解方程在中学数学代数中，涉及到的方程或者方程组也是非常多的，如果采用常规的方法对其进行求解，则是很难取得效果的，面临这种情况，假如采用向量法去进行求解，就会使思路变得很巧妙，并且求解的过程也非常的简洁。例9：数x,j,z，并且，要使得它们能够同时满足方程：2x+3j+z-13和4x2+9j2+z2—2x+15j+3z=82.分析:通过对两方程进行相加，并且配方得(2x)2+(3j+3)2+(z+2)2=108,由此，很容易的就会联想到向量模，令T=(2x,3j+3,z+2),T=(1,1,1),则q=6&,b=73,q.q=(2x>1+(3j+3)-1+(z+2)-1=18,又因为q.q<aq=18,其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当2x3j+3z+2了=上］=-^―>0时等式成立，这样就会使问题得到解决.解复数问题在中学数学中，对于复数来讲，它是可以用向量来进行表示的，因此，对于相关的复数问题都是可以采用向量法来进行解决的。例10:已知，在复平面正方形ABCD的两对角顶点A和C所对应的复数分别为2+3i和4—4i,对另外两顶点B和D所对应的复数进行求解.分析：先求D，为此得求OD.因OD=(—A+A—D,而一—D是AC依逆时针方向旋转三向旋转三，同时将AC的模缩为4倍，因此先求一—C.而——C=OC———A,故一—C于是——D对应的复数是对应的复数是4—4i—(2+3i)=2于是——D对应的复数是1( 兀 兀、 9 5 _. _. __. ...___, _ (2—7i)•—cos-+sin-=——-；;又Ut)=(jA+AlD,所以OD可求.同理可721 4 4) 2 2求Ot，最终使得问题得到解决.证明条件等式对于条件等式的证明，通常情况之下是要采取方式进行变形，要对其进行证明是比较麻烦的。假如采用向量来对条件等式进行证明，这样就会使问题变得简单化，也比较容易证明，思路也比较开阔。ab例11：设(a2+b2)(m2+n2)=(am+bn)2，其中mn丰0.求证：—=—.mn分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令节=(a,b),q=(m,n)，则易知下与q的夹角为0或n,所以下〃q,an—bm=0,问题得证.向量法在证明解不等式问题中的应用例12:求证(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2证明：通过构造向量。=(a，b),P=(c，d)则aP=ac+bd|a|=-aa2+b2|P|=cc2+d2由ap=a||p|cos®知aP|2<a|2|P|2即(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)24.7向量法解决方程组问题_9TOC\o"1-5"\h\z例13：解方程组％2+y2+z2—4 (1)-8x+6y-24z=39…… (2) 1 1解：构造向量a={x,y,z},b={-8,6,-24)——a aa•b=-8x+6y-24z=39——a ——a aa•b二——abcos0=<x2+y2+z2x26cos03=—x26cos0=39cos02cos0=10=0 a a由 a a由a,b平行得，⑶代入（2）可得（乂,x=-8ty,z)二y=6t(」13z=-24t9 18、,一)26 135、向量法解三角函数的问题对于向量的数量积的定义来讲，它通过将向量与三角函数两者融为一体，这样很好的体现了向量的模与三角函数之间的关系，更进一步的来讲，其为通过采用向量法来对三角函数问题进行求解创造了一个非常优良的条件。5.1求值3例14：已知cosa+cos0-cos(a+0)=^,求锐角a,0的值.3分析：由已知可以得（1-cos0）cosa+sin0sina=--cos0,通过对上式2观察其结构特征，从而很容易就会联想到向量的数量积，令a a aa3E=,2-2cos0.由a-b<、一3b得—-cos2a=（1-c0s0，sin0）,bE=,2-2cos0.由a-b<、一3b得—-cos20<J2-2cos0,所以cos0=—,^2一打即0=?，代入已知等式便可求得a的值.兀例15:函数y=2sin（兀x+①）,xeR（其中0＜分＜一）的图像与y轴交于点（0,21）。（I）求中的值;

（11）设人是图像上的最高点，C、D是图像与X轴的交点，求<CAD大小。图9函数y与y轴的平面图解：（I）因为函数图像过点（0.1），所以2sinw=1,即$近中=-.因为20<^<—，所以①=—.2 6—（II）由函数y=2sin（—x+一）6—（II）由函数y=2sin（—x+一）及其图像，6得M（—1，0）,P（1，-2）,N（5,0）,6 3 6所以--C=，AD=，从而cos<AC,AD>=A-C,AD/=15,故<AC,7\D>=arccos万.即<CAD=arccos17.5.2证明恒等式例16:求证：cos(a-B)=cosacosP+sinasinP;分析：由等式右边联想到向量的数量积，令a=(cosa,sina),b=(cosP,sinP)，则a=i,a=1，且易知a与a的夹角为p-a，则a-a=aacos(P-a)=cos(P-a)，又2-a=cosacosP+sinasinP，则问题得证.首先，本论文对向量法的相关概念及公理、定理等进行了概述，采用举例的方式介绍了向量法的相关应用问题，如采用向量法求解三角函数问题、采用向量法求解相关代数问题、采用向量法求解平面几何和空间几何等的相关问题，这样往往会使复杂的问题变得简单化，也提供了更多的解题思路，有利于学生创新思维的培养。通过对本论文的相关研究及分析工作，对数学的相关知识进行了系统巩固，也加