第2章空间向量与立体几何知识点清单高二下学期数学湘教版选择性

新教材湘教版2019版数学选择性必修第二册第2章知识点清单目录第2章空间向量与立体几何2.1空间直角坐标系2.2空间向量及其运算2.3空间向量基本定理及坐标表示2.4空间向量在立体几何中的应用第2章空间向量与立体几何2.1空间直角坐标系一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系：在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴，从而组成了一个空间直角坐标系Oxyz.2.相关概念：在空间直角坐标系Oxyz中，点O叫坐标原点，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面.二、空间点的坐标表示1.空间直角坐标系点的坐标的概念在空间直角坐标系Oxyz中，若点P与有序实数组(x，y，z)之间为一一对应关系，此时，有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标.2.特殊点的坐标在空间直角坐标系中，原点O的坐标为(0，0，0)，x轴上的点的坐标为(x，0，0)，y轴上的点的坐标为(0，y，0)，z轴上的点的坐标为(0，0，z)，xOy平面内的点的坐标为(x，y，0)，yOz平面内的点的坐标为(0，y，z)，xOz平面内的点的坐标为(x，0，z).记忆方法：无谁谁为0.三、空间两点间的距离公式1.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，则|AB|=(x2.特别地，原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|=x23.线段中点坐标公式已知空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点M的坐标为x14.三角形重心坐标公式已知△ABC的三个顶点分别为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心G的坐标为x15.空间中的对称问题在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有如下结论：(1)点P关于原点对称的点是P1(x，y，z)；(2)点P关于横轴(x轴)对称的点是P2(x，y，z)；(3)点P关于纵轴(y轴)对称的点是P3(x，y，z)；(4)点P关于竖轴(z轴)对称的点是P4(x，y，z)；(5)点P关于xOy平面对称的点是P5(x，y，z)；(6)点P关于yOz平面对称的点是P6(x，y，z)；(7)点P关于xOz平面对称的点是P7(x，y，z).记忆方法：关于谁对称谁不变，其余坐标变为相反数.四、空间直角坐标系点的坐标的确定1.建立空间直角坐标系应遵循的原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性；(3)充分利用图中已有的垂直关系.2.确定空间中点的坐标的方法(1)垂面法：找到点P在三条坐标轴上的射影.方法是过点P作三个平面分别垂直于x

轴、y轴、z轴于A，B，C三点(A，B，C即为点P在三条坐标轴上的投影)，点A，B，C的坐标分别为(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z)，则(x，y，z)就是点P的坐标.(2)垂线法：先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上的一点P1，由P1P的长度及其方向确定竖坐标z，再在xOy平面上用同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的

横坐标x、纵坐标y，最后得出点P的坐标(x，y，五、空间两点间的距离公式的应用1.计算空间两点间的距离(1)若两点坐标已知，则直接代入空间两点间的距离公式求解.(2)若点的坐标未知，则需利用平面图形及空间图形的性质结合空间直角坐标系求出点的坐标，再代入空间两点间的距离公式求解.2.利用空间两点间的距离公式确定点的坐标设出点的坐标，利用空间两点间的距离公式构造方程求解.此外，要注意点的坐标的巧设，如在x轴上的点的坐标可设为(x，0，0)，在xOy平面上的点的坐标可设为(x，y，0).3.根据两点间的距离公式可求出三角形的三边长，从而判断三角形的形状.2.2空间向量及其运算一、空间向量的基本概念1.空间向量的基本概念(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量.(2)向量的模：空间向量a的大小(或长度)称为a的模，记为|a|.(3)表示：从空间中任意一点A出发作有向线段AB，使AB的方向与a相同，长度与|a|相等，则有向线段AB表示向量a，记作a=AB.通常把A称为向量AB的起点，B称为向量AB的终点.2.几类特殊的空间向量名称定义零向量长度为0的向量相等向量方向相同且长度相等的向量相反向量方向相反、长度相等的向量二、空间向量的加减法1.空间向量的加减法法则平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则对空间向量也成立.(1)对于空间任意两个向量a，b，在平面α内任取一点O，作OA=a，OB=b，AC=b，则a+b=OC，ab=BA.(2)对于空间三个或更多的向量的求和，与平面内多个向量的加法类似，可将它们依次用首尾相接的折线来表示，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的向量即为这些向量的和向量.2.空间向量的加法运算律(1)加法交换律：a+b=b+a.(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).三、向量与实数相乘1.向量与实数相乘的定义：任何一个向量a都可看作某平面上的向量，它与实数λ相

乘可类比平面向量数乘的法则进行，因而有|λa|=|λ||a|.当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反.空间向量的加法、减法、数乘三种运算统称为空间向量的线性运算.2.单位向量：长度为1的向量称为单位向量.对于每个非零向量a，可得到与它方向相同的唯一单位向量e=1|a|a3.共线向量：对于空间任意两个向量a，b(a≠0)，若b=λa，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作b∥a.4.零向量与任意向量共线.5.空间向量与实数的乘法的运算律(1)对向量加法的分配律：λ(a+b)=λa+λb.(2)对实数加法的分配律：(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a.四、向量的数量积1.向量的夹角：作OA=a，OB=b，则∠AOB称为向量a，b的夹角，记作<a，b>，其取值范围为[0，π].两向量同向时，夹角为0；两向量反向时，夹角为π.2.向量的数量积：定义a·b=|a||b|·cos<a，b>为a与b的数量积.3.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a=0.4.向量数量积的性质(1)向量垂直的关系式：a⊥b⇔a·b=0.注：零向量与任意向量垂直.(2)模长公式：a·a=|a|2=a2，|a|=a2(3)夹角公式：若a，b均为非零向量，则cos<a，b>=a⋅b|a||b|5.向量数量积的运算律(1)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).(2)交换律：a·b=b·a.(3)分配律：a·(b+c)=a·b+a·c.6.向量数量积的几何意义(1)投影向量与投影长：如图，将空间任意两个向量a，b平移到同一个平面内，可得OA=a，OB=b，<a，b>=α，过点B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则OB1为OB在OA方向上的投影向量，投影向量的模|OB1|=|OB||cosα|称为投影长，称|OB|cosα为OB在(2)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|·cosα的乘积，也等于b的模|b|与a在b方向上的投影|a|cosα的乘积.五、空间向量的三角不等式1.如果a，b都是空间向量，那么||a||b||≤|a±b|≤|a|+|b|.六、空间向量的线性表示1.空间向量的线性表示的步骤(1)在空间中选三条不在同一个平面内的向量；(2)利用向量的线性运算表示空间中的其他向量.七、利用数量积求距离问题1.求解两点间距离问题时，转化为求以两点为端点的有向线段表示的向量的模的问题，然后将此向量表示为已知的几个向量和或差的形式，求出已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|=a⋅a(推广公式：|a±b|=(a±b八、利用数量积求解夹角问题1.求空间两个向量的夹角的方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；(2)先求a·b，再利用公式cos<a，b>=a⋅b|a||b|求cos<a，b>，最后确定<a，b>2.求两条异面直线所成的角的步骤(1)根据题设条件在两条异面直线上分别取一个有向线段表示的向量；(2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求向量夹角的余弦值；(4)由于异面直线所成的角为锐角或直角，因此向量夹角的余弦值的绝对值等于异面直线所成的角的余弦值，进而求出异面直线所成的角的大小.九、利用数量积证明两直线垂直1.由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的非零向量，然后证明这两个向量的数量积为0即可.2.用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题.2.3空间向量基本定理及坐标表示一、共面向量1.共面向量的概念：一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.2.平面向量基本定理：如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p=xe1+ye2.3.相关结论：在三个向量a，b，c中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面.二、空间向量的基本定理1.设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三

个向量的实数倍之和：p=xe1+ye2+ze3，此表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p=xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3，则x=x'，y=y'，z=z'.2.我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量，(x，y，z)称为向量p=xe1+ye2+ze3在基{e1，e2，e3}下的坐标.三、空间向量的直角坐标表示1.标准正交基：空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基.2.向量的坐标：空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和：p=xi+yj+zk，系数x，y，z按顺序排成的实数组(x，y，z)，称为向量p的坐标，记为p=(x，y，z).3.与向量坐标有关的结论：一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这

个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标.四、空间向量运算的坐标表示1.空间向量的坐标运算法则设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2).运算坐标表示加法a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)减法ab=(x1x2，y1y2，z1z2)数乘λa=(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)数量积a·b=x1x2+y1y2+z1z22.空间向量常用结论的坐标表示设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2).结论坐标表示共线a∥b(a≠0)⇔x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1，λ∈R向量模长公式|a|=x向量夹角公式cos<a，b>=a⋅b|a||b|=垂直a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0四、拓展

1.四点共面的充要条件空间中任一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP=xMA+yMB，或对空间中任一点O，有OP=OM+xMA+yMB(或OP=(1xy)·OM+xOA+yOB).2.定比分点坐标公式已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，点M在直线AB上，AM=λMB(λ∈R且λ≠1)则称点M为有向线段AB的定比分点，其坐标为x1五、利用基向量解决几何问题1.用基向量表示向量的步骤(1)定基向量：若未给定基向量，则应根据已知条件，确定三个不共面的向量作为空间的基向量.(2)找目标：用已给定或确定好的基向量表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量及向量的相关运算进行变形、化简.(3)下结论：将变形、化简后的目标向量进行整理，得到最终结果.注意此结果中只能含有基向量，不能含有其他形式的向量.六、空间向量平行与垂直的坐标表示的应用1.利用空间向量的坐标运算判断向量平行、垂直借助向量的坐标，可将向量的平行与垂直问题代数化，即借助代数运算达到判断向量平行或垂直的目的.求解此类问题要抓住两个核心关系式：(1)a∥b(a≠0)⇔x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1，λ∈R；(2)a⊥b⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.其中，a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2).2.由平行、垂直求参数的值利用平行、垂直关系和上述的两个核心关系式列出方程，即可求出参数的值.3.利用空间向量的坐标运算证明线线平行或垂直(1)在两直线上分别取一个有向线段表示的向量；(2)利用向量的坐标运算判断两向量的平行或垂直关系；(3)若两向量平行，且两直线不重合，则两直线平行；若两向量垂直，则两直线垂直.七、利用空间向量的坐标运算求夹角和线段的长1.利用空间向量的坐标运算求夹角和线段长的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用题设条件写出相关点的坐标，进而得相关向量的坐标；(3)利用空间向量的模长公式与夹角公式求解.2.4空间向量在立体几何中的应用2.4.1空间直线的方向向量和平面的法向量2.4.2空间线面位置关系的判定一、空间直线的方向向量和平面的法向量1.位置向量：在空间中，取一定点O作为原点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示，OP称为点P的位置向量.2.直线的方向向量：一般地，如果非零向量v与直线l平行，就称v为l的方向向量.由此可知，在直线l上任取两点A，B，则AB(或BA)就是直线l的方向向量.3.平面的法向量：如果非零向量n所在直线与平面α垂直，则称n为平面α的法向量.二、空间线面位置关系的判定1.设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为v1=(x1，y1，z1)，v2=(x2，y2，z2)，两个平面α1，α2的法向量分别为n1=(a1，b1，c1)，n2=(a2，b2，c2)，则位置关系向量表示向量运算坐标运算l1⊥l2v1⊥v2v1·v2=0x1x2+y1y2+z1z2=0l1⊥α1v1∥n1n1=kv1a1=kx1，b1=ky1，c1=kz1，k为非零常数α1⊥α2n1⊥n2n1·n2=0a1a2+b1b2+c1c2=0l1∥l2v1∥v2v2=kv1x2=kx1，y2=ky1，z2=kz1，k为非零常数l1∥α1v1⊥n1v1·n1=0x1a1+y1b1+z1c1=0α1∥α2n1∥n2n2=kn1a2=ka1，b2=kb1，c2=kc1，k为非零常数三、三垂线定理及其逆定理1.点在平面内的射影：过点P作平面α的垂线，则称垂足P0为点P在平面α内的射影.2.三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线也垂直.可简记为：垂直于射影，则垂直于斜线.3.三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的射影也垂直.可简记为：垂直于斜线，则垂直于射影.四、利用空间向量证明垂直关系1.利用向量法证明线线垂直的两种思路(1)坐标法：建立空间直角坐标系，将两直线的方向向量用坐标表示出来，再证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的线性运算，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，再利用数量积运算证明两方向向量的数量积为0.2.利用向量法证明线面垂直的两种思路(1)求平面的法向量，然后证明直线的方向向量与平面的法向量平行.(2)证明直线与平面内不共线的两直线分别垂直，线线垂直则利用向量法证得.3.利用向量法证明面面垂直的两种思路(1)证明一个平面过另一个平面的垂线，其实质是转化为利用向量法证明线线垂直.(2)证明两个平面的法向量互相垂直.五、利用空间向量证明平行关系1.利用向量法证明线线平行的两种思路(1)建立空间直角坐标系，利用向量平行的坐标表示证明两直线的方向向量平行.(2)用空间的一组基表示两直线的方向向量，通过向量的线性运算，结合向量共线的充要条件证明两直线的方向向量平行.2.利用向量法证明线面平行的三种思路(1)设平面α外的直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，要证明l∥α，只需证明v⊥n，即v·n=0即可.(2)根据线面平行的判定定理，将线面平行转化为线线平行，证明线线平行则可转化为证明两直线的方向向量平行.(3)根据平面向量基本定理，要证线面平行，则只需证明这条直线的方向向量能够用平面内的两个不共线的向量线性表示即可.3.利用向量法证明面面平行的两种思路(1)先分别求出两平面的法向量，再证明两法向量平行.(2)证明一个平面内有两个不共线的向量平行于另一个平面，转化为线面平行问题.六、利用空间向量解决立体几何中的探索性问题1.解决探索性问题的基本方法(1)对于存在型问题，应先假设存在，把要成立的结论当作已知条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“是否有解”或“是否有规定范围内的解”的问题.(2)对于位置探究型问题，通常是借助向量，引入参数，综合已知条件和结论列方程或方程组，解出参数，从而确定位置.2.4.3向量与夹角2.4.4向量与距离一、向量与夹角空间角向量求法范围异面直线所成的角设两条异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为v1，v2，则cosθ=|cos<v1，v2>|=|v1⋅v2||v10，直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为v，平面α的法向量为n，则sinθ=|cos<v，n>|=vθ=<v 

0，两个平面所成的角设平面α，β所成的角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ=|cos<n1，n2>|=|n1⋅n2||n1 

0，(1)当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成的角为0；(2)两个平面相交会形成四个二面角，二面角的取值范围为[0，π]，一般规定较小的二面角为两个平面所成的角.两个平面平行时，它们所成的角为0.二、向量与距离空间距离向量求法点到直线的距离设直线l的方向向量为v，点P为l外一点，点A为l上任一点，则点P到l的距离d=|点到平面的距离设n为平面α的法向量，点A为平面α内任一点，则平面α外任一点P到平面α的距离d=|两平行线间的距离在平行直线m，n上分别任取一点A，P，设直线m的方向向量为v，则两平行线m，n间的距离d=|AP|两平行平面间的距离在平行平面α，β上各取一点A，B，设平面