北师大数学总复习第2章第11课时变化率与导数、导数的计算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精【A级】基础训练1．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克）与时间t(单位:年)满足函数关系:M（t)＝M02－eq\f（t,30),其中M0为t＝0时铯137的含量,已知t＝30时，铯137的含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝（)A．5太贝克 B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克 D．150太贝克解析:因为M′（t）＝－eq\f（1,30）ln2×M02－eq\f(t，30)，则M′(30)＝－eq\f(1，30）×ln2×M02－eq\f(30，30)＝－10ln2，解得M0＝600，所以M（t）＝600×2－eq\f(t，30)，那么M(60)＝600×2－eq\f（60，30）＝600×eq\f（1，4)＝150(太贝克)，所以选D.答案：D2．下列函数求导运算正确的个数为()①（3x）′＝3xlog3e；②（log2x)′＝eq\f(1,x·ln2)；③（ex)′＝ex；④eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,lnx））)′＝x;⑤（x·ex）′＝ex＋1。A．1 B．2C．3 D．4解析：求导运算正确的有②③2个，故选B。答案:B3．(2014·咸宁模拟）函数f(x）＝mx3＋(m＋1）x2＋x＋2，若f′(1)＝18，则m＝（)A．4 B．3C．5 D．6解析：∵f′(x)＝3mx2＋2(m＋1）x＋1，∴f′（1)＝3m＋2∴m＝3。答案：B4．(2014·宜昌模拟)已知函数f(x)＝eq\f(1,3）x3＋3xf′(0）,则f′(1）等于________．解析：∵f′（x）＝x2＋3f∴f′(0)＝0＋3f′（0)，即f∴f′（x）＝x2,则有f′（1）＝1.答案:15．(2014·随州模拟）已知函数f（x）＝2xsinx，则当x＝eq\f(π，2）时，其导函数的值为________．解析：f′（x)＝2sinx＋2xcosx，∴f′eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，2）))＝2sineq\f(π,2）＋2·eq\f（π，2)·coseq\f(π，2）＝2。答案：26．曲线C：f（x）＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．解析:f′(x)＝cosx＋ex，∴在x＝0处的切线斜率k＝f′（0）＝e0＋cos0＝2。又切点坐标为（0,3），∴切线方程为y＝2x＋3。答案：y＝2x＋37．求下列函数的导数：（1）y＝eq\f（\r（x)＋x5＋sinx，x2）;(2)y＝（x＋1）（x＋2）(x＋3);(3)y＝－sineq\f（x,2)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－2cos2\f(x，4））)；(4）y＝eq\f(1,1－\r(x)）＋eq\f（1，1＋\r(x))；（5)y＝eq\f（cos2x,sinx＋cosx).解:（1)∵y＝eq\f（x\f（1,2)＋x5＋sinx,x2)＝x－eq\f(3，2）＋x3＋eq\f（sinx，x2)，∴y′＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（3，2)））′＋（x3)′＋（x－2sinx）′＝－eq\f（3，2）x－eq\f（5,2）＋3x2－2x－3sinx＋x－2cosx。(2)∵y＝（x2＋3x＋2）(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11。(3)∵y＝－sineq\f(x,2）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(x，2)）)＝eq\f(1,2)sinx,∴y′＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）sinx））′＝eq\f(1,2)（sinx)′＝eq\f（1,2)cosx.(4）∵y＝eq\f（1，1－\r（x））＋eq\f（1,1＋\r（x）)＝eq\f(1＋\r(x)＋1－\r（x)，1－\r（x)1＋\r(x)）＝eq\f(2，1－x）,∴y′＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2,1－x)))′＝eq\f(－21－x′,1－x2）＝eq\f(2,1－x2）.(5）y＝eq\f（cos2x,sinx＋cosx)＝cosx－sinx，∴y′＝－sinx－cosx。8．(2014·渭南质检）已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1）点P0的坐标;（2）若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．解：（1）由y＝x3＋x－2,得y′＝3x2＋1,由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.当x＝1时，y＝0;当x＝－1时,y＝－4.又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为（－1，－4)．（2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－eq\f(1，4）.∵l过切点P0，点P0的坐标为（－1，－4)．∴直线l的方程为y＋4＝－eq\f（1,4)(x＋1),即x＋4y＋17＝0。【B级】能力提升1．（2014·深圳模拟）已知f(x)＝lnx(x>0)，f(x）的导数是f′(x)，若a＝f(7），b＝f′eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2))),c＝f′eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，3）)），则a、b、c的大小关系是(）A．c<b〈a B．a〈b〈cC．b〈c<a D．b<a<c解析：a＝f(7）＝ln7,又f′(x）＝eq\f(1，x)，故b＝f′eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2））)＝eq\f(1，\f(1，2））＝2,c＝f′eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,3）））＝eq\f(1,\f（1,3)）＝3，故c〉b〉a。答案:B2．(2014·河南郑州模拟)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A（1，2），则ab＝(）A．－8 B．－6C．－1 D．5解析：由题意得y＝kx＋1过点A（1，2)，∴2＝k＋1，即k＝1。∵曲线y′＝3x2＋a，又∵直线y＝kx＋1与曲线相切于点（1,2），∴y′＝k，且y′｜x＝1＝3＋a，即1＝3＋a，∴a＝－2，点A(1,2）代入曲线方程y＝x3＋ax＋b，可解得b＝3。∴ab＝（－2）3＝－8.故选A.答案：A3．已知点P在曲线y＝eq\f（4，ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A。eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（π,4））） B．eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,4),\f（π,2)））C。eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（π，2），\f(3π，4))) D．eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3π,4），π))解析：∵y＝eq\f(4，ex＋1)，∴y′＝eq\f（－4ex，ex＋12)＝eq\f（－4ex,ex2＋2ex＋1)＝eq\f(－4，ex＋\f(1,ex)＋2)≥eq\f（－4,2\r（ex·\f(1，ex）)＋2）＝－1.当且仅当ex＝eq\f(1,ex）,即x＝0时，“＝”成立．又y′〈0，∴－1≤y′<0。∵倾斜角为α，则－1≤tanα<0，又a∈[0，π),∴eq\f（3π，4）≤α<π，故选D。答案：D4．（2014·哈尔滨模拟)等比数列｛an｝中，a1＝1，a2012＝4,函数f（x)＝x(x－a1)(x－a2）…（x－a2012），则函数f(x)在点（0,0）处的切线方程为________．解析：f′（x）＝（x－a1)（x－a2）…（x－a2012)＋x·(x－a2)（x－a3)…（x－a2012）＋x(x－a1）（x－a3）…(x－a2012）＋…＋x（x－a1)(x－a2)…（x－a2011），∴f′(0）＝(－a1）·（－a2)…（－a2012）＝(a1a2012)1006＝22012∴切线方程为y＝22012x。答案:y＝22012x5．函数y＝x2（x>0)的图像在点(ak，aeq\o\al(2,k）)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．解析:由y＝x2（x>0）,得y′＝2x，所以函数y＝x2（x>0）在点（ak，aeq\o\al（2,k)）处的切线方程为：y－aeq\o\al(2,k)＝2ak（x－ak），当y＝0时,解得x＝eq\f（ak，2)，所以ak＋1＝eq\f(ak，2），a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.答案：216．函数y＝f（x）g（x)在求导数时，可以运用对数法:在函数解析式两边求对数得lny＝g（x）lnf（x），两边求导数得eq\f（y′,y)＝g′(x)lnf(x）＋g(x）eq\f(f′x,fx），于是y′＝f（x)g(x)[g′(x）·lnf（x）＋g（x)eq\f(f′x，fx)]．运用此方法可以求得y＝xeq\f（1,x)（x〉0）的导数为________．解析：对y＝xeq\f(1，x）(x>0)两边取对数得lny＝eq\f（1，x)lnx，两边求导得eq\f（y′,y）＝eq\f(1－lnx，x2)，∴y′＝xeq\f（1，x）。eq\f（1－lnx,x2)＝xeq\f(1，x)－2（1－lnx)．答案：y′＝xeq\f(1,x）－2(1－lnx）7．（创新题）已知曲线Cn:y＝nx2，点Pn(xn，yn）(xn〉0，yn〉0)是曲线Cn上的点（n＝1,2，…)．（1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；（2）若原点O（0，0）到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标(xn,yn）．解：（1)∵y′＝2nx，∴y′｜x＝xn＝2nxn，切线ln的方程为：y－n·xeq\o\al(2，n)＝2nxn（x－xn）．即：2nxn·x－y－n·xeq\o\al(2,n）＝0，令x＝0，得y＝－nxeq\o\al(2，n），∴Qn(0，－nxeq\o\al（2，n)）．(2）设原点到ln的距离为d，则d＝eq\f(|－nx\o\al(2，n）｜,\r(2nxn2＋1))＝eq\f（nx\o\al（2，n）,\r（1＋4n2x\o\al(2,n）)）,|PnQn|＝eq\r（x\o\al（2