2023北京首都师大附中初一（下）期中数学试卷含答案

第1页/共1页2023北京首都师大附中初一（下）期中数学一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．“会飞的饺子皮”刷爆朋友圈，卡塔尔世界杯吉祥物“拉伊卜”刷爆网络！下面是“拉伊卜”的形象图片，在下面的四个图形中，能由左图经过平移得到的图形是（）A． B． C． D．2．81的平方根是（）A．9 B．±9 C．±3 D．33．下列命题是真命题的是（）A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．邻补角互补4．在平面直角坐标系中，下列点一定在第二象限内的点是在（）A．（﹣m，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，m） D．（2，﹣1）5．如图，PN⊥OB于点N，且PM∥OB，∠OPM＝30°，则∠OPN的度数为（）A．70° B．60° C．50° D．45°6．我国民间流传一道数学名题．其题意为：一群老者去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两个．请问君子知道否，几个老者几个梨？设有老者x人，有梨y个，则可列二元一次方程组为（）A．​ B． C． D．7．如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则点E所表示的数为（）A． B． C． D．8．若方程组的解x与y相等，则a的值等于（）A．0 B．﹣1 C．1 D．29．如图，平遥古城是我国唯一以整座古城成功申报世界文化遗产的古县城，其主要景点有县衙、市楼、日升昌、城隍庙、清虚观、文庙等，若景点A“日升昌”的坐标为（1，1），景点B“清虚观”的坐标为（4，2），则景点C“文庙”的坐标可能是（）A．（4，3） B．（﹣4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（4，﹣3）10．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现，它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线在平面直角坐标系中如图所示，则下列结论中正确的有（）​①双扭线围成的面积小于6；②双扭线内部（包含边界）包含11个整数点（横坐标、纵坐标都是整数的点）；③双扭线上任意一点到原点的距离不超过3；④假设点P为双扭线上的一个点，A，B为双扭线与x轴的交点（如图所示），则满足S△PAB＝3的P点有4个．A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）请写一个比3小的无理数（答案不唯一）．12．（2分）如图，在马路旁有一个村庄，现要在马路l上设立一个核酸检测点为方便该村村民参加核酸检测，核酸检测点最好设在点C处，理由是垂线段最短．13．（2分）已知点A坐标为（m+2，2m），且点A在y轴上，则m＝﹣2．14．（2分）若二元一次方程组的解为，则a﹣b＝．15．（2分）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1＝29°，则∠2的度数是119°．16．（2分）如果a，b是2023的两个平方根，那么a+b﹣ab＝4046．17．（2分）已知点M（a，b）在第二象限，点M到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍，且点M到两坐标轴的距离之和为9，则点M的坐标为（﹣3，6）．18．（2分）甲、乙、丙三人做游戏：有三张背面完全一样，正面分别写有正整数a、b、c的卡片，且a＜b＜c，洗匀卡片之后分发给三人，每人一张，并按每人所得卡片上的数字发相应颗数的糖果，然后收回卡片再洗匀，所得的糖果由每人自己保存，这样洗卡片、发卡片、发糖果的游戏至少进行两次，已知游戏结束时甲、乙、丙三人分别获得糖果17颗、9颗、7颗，且乙在最后一次游戏中得到c颗糖果，则：（1）a+b+c＝11；（2）丙在第一次游戏中得到的糖果的准确数量是3颗．三、解答题（本大题共9小题，共54分，第19～20题，每题6分，第21、22题，每题5分，第23~25题，每题6分，第26~27题，每题7分)19．（6分）计算：（1）﹣+|﹣3|；（2）．20．（6分）解下列方程组：（1）；（2）．21．（5分）自由下落物体的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是h＝4.9t2，如图，有一个物体从49m高的建筑物上自由落下，到达地面需要多长时间（结果四舍五入取整数）？22．（5分）如图，已知线段AB与线段AC，点O为AB上一点，∠A＝60°．（1）按要求完成下列画图：在AB下方画射线BE，使∠OBE＝60°连接CO并延长交射线BE于点D．（2）求证：∠C＝∠CDB．证明：∵∠A＝60°，∠OBD＝60°，∴∠A＝∠OBD∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行）∴∠C＝∠CDB（两直线平行，内错角相等）．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知三角形ABC，将三角形ABC向上平移m个单位，向右平移n个单位后，得到三角形OB′C′，其中点A的对应点为原点O．​（1）画出平移后得到的三角形OB′C′；（2）m+n＝7；（3）在x轴上存在一点D，使O，B′，C′，D所围成的四边形的面积为6，直接写出点D的坐标．24．（6分）如图，已知四边形ABCD中，点E为AB上一点，AC与DE交于点F，ED∥BC．（1）若∠ACB＝84°，求∠AFD的度数；（2）若∠BCD+∠AED＝180°，AC平分∠BAD，∠ADC＝4∠ACD，求∠ACD．25．规定：关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p有无数组解，每组解记为P（x，y），称P（x，y）为“成德点”，将这些“成德点”连接得到一条直线，称这条直线是“成德点”的“达才线”，回答下列问题：（1）已知P1（﹣1，3），P2（4，﹣1），P3（1，2），则是“达才线”x+y＝2的“成德点”的是P1（﹣1，3）．（2）若A（1，1），B（4，﹣1）是“达才线”（a2+1）x+by＝5的“成德点”，求a，b的值．（3）已知h，t是实数，且，若是“达才线”6x﹣2y＝s的一个“成德点”，用等式表示s与h之间的关系，并求出s的最小值．26．（7分）已知，AB∥CD，直线l分别交AB、CD于点E，F，∠EFC＝60°，点P在直线AB的左侧，射线EK平分∠PEF．​（1）如图1，若∠AEP＝20°，直接写出∠AEF与∠KEF的度数；（2）点M在直线CD的左侧，∠AEP＝2∠CFM，∠MFH＝90°，直线PE与直线FH相交于点H．①如图2，当点P在直线l上方时，设∠CFM＝α，用含α的式子分别表示∠EHF与∠BEK；②若2∠EHF＝∠BEK+80°，请直接写出此时∠CFM的度数．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（a，b），k＞0，对点P进行如下操作：第一步：若a≥0，则向右平移k|a|个单位，若a＜0，则向左平移k|a|个单位；第二步：若b≥0，则向上平移k|b|个单位，若b＜0，则向下平移k|b|个单位；得到点P′，则称点P′为点P的“k倍距点”，例：点Q（2，﹣1）的“1倍距点”为Q′（4，﹣2）．若图形W上存在一点R，且点R的“k倍距点”R′恰好也在图形W上，则称图形W为“k倍距图形”．（1）点M（1，2）的“1倍距点”为（2，4）；若点N的“3倍距点”为（﹣8，12），则点N的坐标为（﹣2，3）；（2）已知点A（0，3），点B（3，0），若点与线段AB组成的图形是“2倍距图形”，求点C的坐标．（3）已知n＞0，点D（0，1），E（0，1+n），F（n，1+n），G（n，1）组成一个正方形DEFG，它是一个“n倍距图形”，将该正方形水平方向移动t个单位后，仍然是“n倍距图形”．①t的最大值为1；②t的最小值为﹣n2（用含n的式子表示）．

参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．【答案】D【分析】根据平移的定义“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”．【解答】解：根据平移的性质可知，平移只改变图形的位置，而图形的形状及大小不变，所以图形平移后得到的是D选项，故选：D．2．【答案】B【分析】依据平方根的定义求解即可．【解答】解：∵（±9）2＝81，∴81的平方根是±9．故选：B．3．【答案】D【分析】根据同位角，内错角，同旁内角，邻补角的定义进行判断即可．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项错误；B、两直线平行，内错角相等，故本选项错误；C、两直线平行，同旁内角互补，故本选项错误；D、邻补角互补，故本选项正确．故选：D．4．【答案】B【分析】根据各个象限点的坐标特征判断．【解答】解：A．当m≤0时，点（﹣m，1）不在第二象限，故本选项不符合题意；B．点（﹣2，1），故本选项符合题意；C．当m≤0时，点（﹣2，m）不在第二象限，故本选项不符合题意；D．（2，﹣1）在第四象限，故本选项不符合题意；故选：B．5．【答案】B【分析】根据平行线的性质得到∠BOC＝∠OPM＝30°，根据直角三角形的性质求解即可．【解答】解：∵PM∥OB，∠OPM＝30°，∴∠BOC＝∠OPM＝30°，∵PN⊥OB于点N，∴∠ONP＝90°，∴∠OPN+∠BOC＝90°，∴∠OPN＝60°．故选：B．6．【答案】B【分析】题意中涉及两个未知数：几个老头几个梨．两组条件：一人一个多一梨，一人两个少二梨，可列出二元一次方程组．【解答】解：依题意得．故选：B．7．【答案】A【分析】根据正方形面积公式求出边长，表示点E即可．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为7，∴AB2＝7，∴AB＝，∴AE＝AB＝，∵点A表示的数为1，∴点E表示的数为1+．故选：A．8．【答案】D【分析】把x＝y代入4x+3y＝7中，求出x，y的值，再将x，y的值代入ax+（a﹣1）y＝3，求出a的值即可．【解答】解：由题意，得：x＝y，把x＝y代入4x+3y＝7，得：4y+3y＝7，解得：y＝1，∴x＝y＝1，把x＝y＝1代入ax+（a﹣1）y＝3，得：a+（a﹣1）＝3，解得：a＝2．故选：D．9．【答案】D【分析】根据“日升昌”“清虚观”的坐标建立平面直角坐标系，以此即可得到“文庙”的坐标．【解答】解：∵“日升昌”的坐标为（1，1），“清虚观”的坐标为（4，2），∴可以建立如图所示的平面直角坐标系，∴“文庙”的坐标可能是（4，﹣3）．故选：D．10．【答案】C【分析】由题得，点ABPQMN都在双扭线上，计算△OPB的面积，观察图形，即可判断各个结论．【解答】解：如图，连接OP，BP，得S△OPB＝，4×＝6，∴双扭线围成的面积大于6，故①不正确；由图得，双扭线内部包含4个整数点，边界上有7个整数点，共11个，故②正确；由图得，点A、B与原点距离最大为3，故③正确；设△PAB的高为h，∵S△PAB＝3，且AB＝6，∴h＝1，由图得，点P、Q、M、N均满足题意，故④正确，故选：C．二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）11．【答案】（答案不唯一）．【分析】根据无理数的定义写出一个比3小的无理数即可．【解答】解：写出一个比3小的无理数是（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．12．【答案】垂线段最短．【分析】由垂线段最短即可进行判断．【解答】解：∵垂线段最短，∴核酸检测点最好设在点C处，理由是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．13．【答案】﹣2．【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出m+2＝0，进而得出答案．【解答】解：∵点A（m+2，2m）在y轴上，∴m+2＝0，解得：m＝﹣2．故答案为：﹣2．14．【答案】见试题解答内容【分析】将代入原方程组，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可得出a，b的值，再将其代入a﹣b中，即可求出结论．【解答】解：将代入原方程组得：，解得：，∴a﹣b＝﹣＝．故答案为：．15．【答案】119°．【分析】依据AB∥CD，即可得出∠2＝∠ABC＝∠1+∠CBE．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠2＝∠ABC＝∠1+∠CBE＝29°+90°＝119°，故答案为：119°．16．【答案】4046．【分析】根据平方根的性质可知a、b互为相反数，再根据相反数的性质即可求出结果．【解答】解：∵a，b是2023的两个平方根，∴a+b＝0，ab＝﹣2023，∴a+b﹣2ab＝0﹣2×（﹣2023）＝4046．故答案为：4046．17．【答案】（﹣3，6）．【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．【解答】解：因为点M（a，b）在第二象限，所以a＜0，b＞0，又因为点M（a，b）在第二象限，点M到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍，且点M到两坐标轴的距离之和为9，所以，解得，所以点M的坐标为（﹣3，6）．故答案为：（﹣3，6）．18．【答案】（1）11；（2）3．【分析】分游戏进行两次，三次，四次三种情况讨论，由题意列出不等式，先求出a和c的取值，分类讨论求出b的值，即可求解（1）和（2）．【解答】解：∵正整数a、b、c，且a＜b＜c，∴a≥1，b≥2，c≥3，若游戏只进行了两次，∵甲、乙、丙三人分别获得糖果17颗、9颗、7颗，∴2c＞17，c＜9，∴＜c＜9，∵c为正整数，∴不存在c，若游戏只进行了三次，∵甲、乙、丙三人分别获得糖果17颗、9颗、7颗，∴3c＞17，2c＜17，3a≤7，∴＜c＜，1≤a≤，∵a，c为正整数，∴c＝6或7或8，a＝1或2，当c＝8时，8+1+1＞9，不合题意舍去，当c＝7，a＝1时，7+1+1＝9，即乙第一，第二，第三次游戏分别得到糖果的数量为1颗，1颗，7颗；∵丙三次只获得7颗糖果，∴丙不能得到c卡片，∴2×7+b＝14，∴b＝3，∴甲第一，第二，第三次游戏分别得到糖果的数量为7颗，7颗，3颗；∴丙第一，第二，第三次游戏分别得到糖果的数量为3颗，3颗，1颗；当c＝7，a＝2时，7+2+2＞9，不合题意舍去，当c＝6，a＝1时，则6+b+1＝9，∴b＝2，∵2c+b＝14＜17，∴不合题意舍去；当c＝6，a＝2时，则6+b+2＝9，∴b＝1＜a，∴不合题意舍去；当游戏只进行了四次时，∵甲、乙、丙三人分别获得糖果17颗、9颗、7颗，∴4c＞17，c＜9，4a≤7，∴＜c＜9，1≤a≤，∵a，c为正整数，∴c＝5或6或7或8，a＝1，∵乙、丙两人分别获得糖果9颗、7颗，∴乙只获得c卡片1次，丙不能获得c卡片，∴甲获得c卡片3次，∴3c＜17，∴c＜，∴c＝5，∴b＝2，∴甲四次分别获得糖果数量分别为5，5，5，2；乙四次分别获得糖果数量分别为1，1，2，5；丙四次分别获得糖果数量分别为2，2，1，2；∵四次游戏只能产生4张b卡，∴不合题意舍去．综上所述：甲第一，第二，第三次游戏分别得到糖果的数量为7颗，7颗，3颗；乙第一，第二，第三次游戏分别得到糖果的数量为1颗，1颗，7颗；丙第一，第二，第三次游戏分别得到糖果的数量为3颗，3颗，1颗．∴（1）a+b+c＝1+3+7＝11．故答案为：11；（2）丙在第一次游戏中得到的糖果的准确数量是3颗．故答案为：3．三、解答题（本大题共9小题，共54分，第19～20题，每题6分，第21、22题，每题5分，第23~25题，每题6分，第26~27题，每题7分)19．【答案】（1）2﹣；（2）5﹣3．【分析】（1）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；（2）首先计算乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：（1）﹣+|﹣3|＝3﹣4+（3﹣）＝3﹣4+3﹣＝2﹣．（2）＝2﹣3+3＝5﹣3．20．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；（2）利用加减消元法进行求解即可．【解答】解：（1），①×2得：2x﹣8y＝18③，②﹣③得：5y＝﹣11，解得：y＝﹣，把y＝﹣代入①得：x+＝9，解得：x＝，故原方程组的解是：；（2），①×4得：2x﹣6y＝﹣4③，②﹣③得：7y＝7，解得：y＝1，把y＝1代入②得：2x+1＝3，解得：x＝1，故原方程组的解是：．21．【答案】3s．【分析】根据题意列出方程，根据算术平方根的概念解方程即可．【解答】解：当h＝49m时，49＝4.9t2，解得t1≈3，t2≈﹣3（舍去）．答：物体从49m高的建筑物上自由落下，到达地面需要3s．22．【答案】（1）作图见解答；（2）内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先根据内错角相等，两直线平行证明AC∥BD，然后根据平行线的性质得到∠C＝∠CDB．【解答】（1）解：如图，（2）证明：∵∠BAC＝60°，∠OBD＝60°，∴∠A＝∠OBD，∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行），∴∠C＝∠CDB（两直线平行，内错角相等）．故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．23．【答案】（1）见解析；（2）7；（3）D（3，0）或（﹣3，0）．【分析】（1）如图所示，△OB′C′即为所求；（2）根据图形得出平移路径即可得出m、n的值，即可求解；（3）设D（a，0），根据题意得出，求出a的值即可求解．【解答】解：（1）如图所示，△OB′C′即为所求；（2）由图形可知，将三角形ABC向上平移3个单位，向右平4个单位后，得到三角形OB′C′，∴m+n＝3+4＝7，故答案为：7；（3）设D（a，0），则，∴a＝3或﹣3，∴D（3，0）或（﹣3，0）．24．【答案】（1）96°；（2）30°．【分析】（1）根据平行线的性质以及平角的定义进行计算即可；（2）利用角平分线的定义，平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．【解答】解：（1）∵ED∥BC．∴∠AFE＝∠ACB＝84°，∴∠AFD＝180°﹣84°＝96°，答：∠AFD＝96°；（2）∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC，∵∠BCD+∠AED＝180°，∴∠BCD+∠ABC＝180°，∴CD∥BE，∴∠BAC＝∠ACD，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ACD，∵∠ADC＝4∠ACD，∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∴6∠ACD＝180°，即∠ACD＝30°．25．【答案】（1）P1（﹣1，3）；（2）a＝±1，b＝3；（3）s与h之间的关系为＝s﹣1，s的最小值是1．【分析】（1）判断P1（﹣1，3），P2（4，﹣1），P3（1，2）的坐标是否满足x+y＝2即可；（2）根据“成德点”和“达才线”的定义，得出二元一次方程组求解即可；（3）根据“成德点”和“达才线”的定义，得出关于h、t、s的两个二元一次方程，再消掉t即可，再根据算术平方根的定义得出s的取值范围即可．【解答】解：（1）由于点P1（﹣1，3）是二元一次方程x+y＝2的解，而P2（4，﹣1），P3（1，2）不是二元一次方程x+y＝2的解，所以“达才线”x+y＝2的“成德点”的是点P1（﹣1，3），故答案为：P1（﹣1，3）；（2）因为A（1，1），B（4，﹣1）是“达才线”（a2+1）x+by＝5的“成德点”，所以，解得或，答：a＝±1，b＝3；（3）∵是“达才线”6x﹣2y＝s的一个“成德点”，∴6﹣2t＝s，∵，∴＝s﹣1，∵≥0，即s﹣1≥0，∴s≥1，因此s的最小值为1，答：s与h之间的关系为＝s﹣1，s的最小值是1．26．【答案】（1）∠AEF＝120°，∠KEF＝70°．（2）①∠EHF＝90°+α，∠BEK＝120°+α．②∠CFM＝20°．【分析】（1）根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，求出∠PEF的度数，再根据角平分线的定义求出∠KEF度数即可；（2）①根据题意表示出∠EFM和∠EFH，再根据三角形内角和定理求解即可．②将∠EHF与∠BEK代入2∠EHF＝∠BEK+80°中即可求解．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠AEF+∠EFC＝180°，又∵∠EFC＝60°，∴∠AEF＝120°，∵∠AEP＝20°，∴∠PEF＝∠AEP+∠AEF＝140°，∵射线EK平分∠PEF，∴∠KEF＝＝70°．答：∠AEF＝120°，∠KEF＝70°．（2）①已知∠CFM＝α，且∠AEP＝2∠CFM，∴∠AEP＝2α，又∵∠EFC＝60°，∴∠EFM＝∠EFC﹣∠CFM＝60°﹣α，∵∠MFH＝90°，∴∠EFH＝∠MFH﹣∠EFM＝30°+α，∵∠PEA+∠AEF+∠FEH＝180°，∴∠FEH＝180°﹣2α﹣120°＝60°﹣2α，根据三角形内角和定理，∴∠EHF＝180°﹣（60°﹣2α）﹣（30°+α）＝90°+α，故∠EHF＝90°+α；由（1）知，∠AEF＝120°，∠KEF＝，∵∠PEF＝∠AEP+∠AE