点电荷与导体球壳间电场的电势及静电力的讨论

点电荷与导体球壳间电场的电势及静电力的讨论

在静电场的研究中，点电荷和轴体球壳之间的场分布模式是一个基本问题。它在许多教材中均有讨论,大多使用镜像法讨论,但都不够全面和系统。本文就点电荷与导体球壳在不同带电状态和相对位置时电场中的电势、球壳表面电荷分布及静电场的相互作用力加以讨论。为方便讨论起见,设点电荷的电量为q大于零,分三种情况进行讨论。1.2raf2-afr3-2raf2-a2-a如图1所示,导体球壳半径为a,点电荷q离球心的距离为f,球壳内外充满介电常数为ε1和ε2的均匀电介质。为了等效导体球边界的影响,令点电荷q′位于球心与点电荷的连线上,那么,球面上任一点P的电势为φ=q4πε1r+q′4πε1r′,为了保证球面上任一点电位为零,选择镜像电荷q′为:q′=-r′rq.为了使得镜像电荷具有一个确定值,必须使比值r′r对于球面上任一点均有相同的值,若△OPq′与△OqP相似,则r′r=af=常数,有q′=-afq(1)镜像电荷离球心的距离d为d=a2f(2)于是球外任意点P的电势为φ=q4πε1(1r-afr′)=q4πε1(1√R2+f2-2Rfcosθ-a√R2f2+a4-2Ra2fcosθ)(3)球壳外表面上的面电荷密度为σ=-ε1∂φ∂RR=a=-f2-a24πar3(4)从(4)式中可以看出,壳外表面上分布着负的感应电荷,在离q最近的球壳表面上的电荷密度最大,最远处电荷密度最小,不存在σ=0的位置。空间中的电场相当于电荷q和镜像电荷q′所激发的电场,所以点电荷q所受的力为F=qq′4πε1(f-d)2=-afq24πε1(f2-a2)2(5)式中负号表明点电荷与球壳之间总是吸引力。2.点电荷与球壳的静电力及排斥力为便于后面的讨论,设球壳上所带的净电荷为Q.由球壳上的边界条件(等势、电荷为Q)可知,除镜像电荷q′外,在球心处增加一个点电荷q″,大小为q″=Q-q′=Q+aqf(6)故球外任意的电势由q、q′和q″共同产生,如图2所示,且为φ=14πε1(q′r′+qr+q″R)=14πε1(fQ+aqfR+q√R2+f2-2Rfcosθ-qa√f2R2+a4-2Rfa2cosθ)(7)球壳外表面上电荷的面密度为σ=-ε1∂φ∂R|R=a=14πa[(a2-f2)qr3+aq+fQfa](8)因为空间中的电场相当于点电荷q、q′和q″所激发的电场,因此,点电荷q受到的静电力F等于q′和球心处电荷q″对它的作用力,即F=qq″4πε1f2+qq′4πε1(f-d)2=14πε1[qQf2-q2a3(2f2-a2)f3(f2-a2)2](9)分类讨论:(1)当Q=0,即球壳上不带净电荷时由(8)式可知:σ=q4πa(a2-f2r3+1f).设球壳外表面电荷面密度σ=0时,P点到球面的距离为r0,则r0=3√f(f2-a2).在r<r0的球壳位置上,感应电荷为负值;在r>r0的球壳位置上,感应电荷为正值。由(9)式可得:F=-q2a3(2f2-a2)4πε1f3(f2-a2)2<0,说明点电荷与球壳之间始终是相互吸引力。(2)当Q>0,即球壳上带有正净电荷时根据(8)式可得:σ>0,有Q>qa(f2-a2r3-1f),即球壳外表面电荷面密度为正的条件,只有满足此条件,球壳上才能带正净电荷。由(9)式,点电荷所受静电力可正可负,也就是说,静电力可以是吸力,也可以是斥力,主要由q,Q,f和a的大小而定。如当b≈R或q值很大时,即使点电荷与球壳带有同性电荷也可能相互吸引。因为离点电荷较近的球壳表面上有异性电荷,q的吸引力超过了其它部分同性电荷的排斥力,总体表现为互相吸引力。要使静电力为零,由(9)式有Q=qa3(2f2-a2)f(f2-a2)2,即q所受静电力为零的条件。(3)当Q<0,即球壳上带有负净电荷时由(8)式σ<0,有|Q|>qa(1f-f2-a2r3),即为球壳外表面电荷面密度为负的条件。由(9)式,F恒小于零,表明点电荷与球壳间总是相互吸引力。根据以上讨论可知:球壳上所带的净电荷可正可负,也可为零。所带静电荷为正(或为负)时,Q必须满足一定的条件,在很多习题中,出题者容易忽略这点。q所受静电力情况是:Q>0时,F可以是吸引力,也可以是排斥力;Q≤0时,F恒为吸引力。3.球壳内表面静电力由于静电感应,球壳内表面所带电荷为-q,球壳外表面上所带电荷,因为球壳接地而为零。点电荷q在壳外的镜像电荷为q′,利用镜像法,如图3所示,可得f=a2d(10)q′=-adq(11)那么,球壳内任一点P的电势为φ=q4πε2r+q′4πε2r′=q4πε2(1√R2+d2-2Rdcosθ-a√d2R2+a4-2Ra2dcosθ)(12)球壳内表面上电荷的面密度为σ=ε2∂φ∂R|R=a=-a2-d24πar3q(13)从(13)式可知:σ<0,说明球壳内表面感应电荷恒为负,离q最近的位置上,面电荷密度最大。点电荷所受的静电力为F=qq′4πε2(f-d)2=-adq24πε2(a2-d2)2(14)式中负号表明静电力是吸引力。当球壳不接地时,壳内任一点的电势为φ′=φ+Q+q4πε2a=φ+常量,故由σ′=ε2∂φ′∂R=σ.所以球壳内表面电荷分布、点电荷与球壳间的静电力同球壳接地时完全相同。综