四川省成都市2023年中考数学试卷

四川省成都市2023年中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．在3，−7，0，19A．3 B．−7 C．0 D．12．2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为（）A．3×108 B．3×109 C．3．下列计算正确的是（）A．(−3x)2=−9xC．(x−3)2=x4．近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局.如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景.下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是（）A．26 B．27 C．33 D．345．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（） A．AC=BD B．OA=OC C．AC⊥BD D．∠ADC=∠BCD6．为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课.某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目.把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（）A．12 B．13 C．147．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（）A．12(x+4.5)=x−1 B．12(x+48．如图，二次函数y=ax2+x−6A．抛物线的对称轴为直线x=1 B．抛物线的顶点坐标为(−C．A，B两点之间的距离为5 D．当x<−1时，y的值随x值的增大而增大二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．因式分解：m2−3m=10．若点A(−3，y1)，B(−1，y211．如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若BC=8，CE=5，则CF的长为. 第11题图 第12题图12．在平面直角坐标系xOy中，点P(5，−1)关于y轴对称的点的坐标为13．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线DN'交BC于点E.若△BDE三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（1）计算：4+2sin45°−(π−3)015．文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴.成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项.为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.根据统计图信息，解答下列问题：（1）本次调查的师生共有▲人，请补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；（3）该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数.16．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos17．如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B=∠ADE.（1）求证：AC=BC；（2）若tanB=2，CD=318．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+5与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图象的一个交点为（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m.若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值.四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．若3ab−3b2−2=0，则代数式(1−20．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有个. 21．为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出.该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳名观众同时观看演出.（π取3.14，3取1.73） 第21题图 第22题图22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若AGGE=7323．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n>1，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，16=52−32，16就是一个智慧优数，可以利用m五、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行.“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃.已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元.（1）求A，B两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用.25．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P(4，−3)（1）求抛物线的函数表达式；（2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；（3）过点M(0，m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E.试探究：是否存在常数m，使得26．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，且ADBD（1）【初步感知】如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=2（2）【深入探究】①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）.（3）【拓展运用】如图3，连接EF，设EF的中点为M.若AB=22

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵-7<0<19<3，

∴在3，−7，0，19四个数中，最大的数是3，2．【答案】D【解析】【解答】解：3000亿=3×1011，

故答案为：D.

【分析】科学记数法是指把一个数表示成a×10的n次幂的形式(1≤a<10，n为整数。)根据科学记数法的定义计算求解即可。3．【答案】C【解析】【解答】解：A：(−3x)2=9x2≠−9x2，计算错误；

B：7x+5x=12x≠12x2，计算错误；

C：(x−3)4．【答案】C【解析】【解答】解：∵将数据从小到大排列为：26，27，33，34，40，

∴这组数据的中位数是33，

故答案为：C.

【分析】先将数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可。5．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，AD//BC，

∴∠ADC+∠BCD=180°，

∴结论一定正确的是选项B，选项A，C和D结论不一定正确，

故答案为：B.

【分析】利用平行四边形的性质，结合图形，对每个选项一一判断即可。6．【答案】B【解析】【解答】解：∵其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，

∴他恰好抽中水果类卡片的概率是24+2=13，7．【答案】A【解析】【解答】解：设木长x尺，则绳子长为（x+4.5）尺，

∴由题意可得：12(x+4.5)=x−1，8．【答案】C【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A(−3，0)，

∴9a-3-6=0，

解得：a=1，

∴二次函数y=x2+x−6，

A.抛物线的对称轴为直线x=-12，该说法错误；

B.∵二次函数y=x2+x−6=x+122-14-6=x+122-254，

∴二次函数的顶点坐标为-12，-254，该说法错误；

C.∵二次函数y=x2+x−6，

9．【答案】m(m−3)【解析】【解答】m2-3m=m(m-3).故答案是：m（m-3）

【分析】由题意提公因式m即可求解。10．【答案】＞【解析】【解答】解：∵反比例函数y=6x，k=6＞0，

∴反比例函数y=6x在一、三象限，且在每个象限，y随x的增大而减小，

∵-3＜-1，

∴y1＞y2，

故答案为：＞.11．【答案】3【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，

∴BC=EF=8，

∵CE=5，

∴CF=EF-EC=8-5=3，

故答案为：3.

【分析】根据全等三角形的性质求出BC=EF=8，再根据CE=5计算求解即可。12．【答案】(−5【解析】【解答】解：由题意可得：点P(5，−1)关于y轴对称的点的坐标为(-5，−1)，

故答案为：13．【答案】2【解析】【解答】解：由作法可得：∠MAN=∠M'DN'，

∴DE//AC，

∵△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，

∴△BDE与△BAC的面积比为4：25，

∴BEBC=25，

∴BEBE+CE=25，

∴BECE14．【答案】（1）3（2）−4<x≤1【解析】【解答】解：（1）4+2sin45°−(π−3)0+|2−2|

=2+2×22-1+2-2

=2+2+1-2

=3；

（2）解不等式组：2(x+2)−x≤5，15．【答案】（1）300，图略；（2）144°；（3）360【解析】【解答】解：（1）本次调查的师生共有：60÷20%=300（人），

∴文明宣传的人数为：300-60-120-30=90（人），

补全条形统计图如下：

（2）“敬老服务”对应的圆心角度数为：360°×120300=144°；

（3）由题意可得：1500×80%×90300=360（人），

即参加“文明宣传”项目的师生人数为360人.

【分析】（1）根据题意先求出本次调查的师生共有300人，再求出文明宣传的人数为90人，最后补全条形统计图即可；

（2）根据题意求出360°×16．【答案】阴影CD的长约为2.2米【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AF⊥BC，过点C作DG⊥AF交AF于点G，

∴∠GFC=∠FGC=90°，

∵∠C=90°，

∴四边形CDGF是矩形，

∴CF=GD，FG=CD，

∵AB=5米，∠BAF=16°，

∴BF=sin16°·AB≈0.28×5=1.4（米），AF=cos16°·AB≈0.96×5=4.8（米），

∴GD=CF=BC-BF=4-1.4=2.6（米），

∵∠ADE=45°，

∴∠GAD=45°，

∴AG=GD=2.6米，

∴CD=FG=AF-AG=4.8-2.6=2.2（米），

即阴影CD的长为2.2米.

【分析】利用矩形的判定方法求出四边形CDGF是矩形，再利用锐角三角函数求出BF和AF的值，最后计算求解即可。17．【答案】（1）略；（2）AB=25，DE=2【解析】【解答】（1）证明：∵CE//AB，

∴∠ACE=∠BAC，

∵弧AE=弧AE，

∴∠ADE=∠ACE，

∴∠BAC=∠ADE，

∵∠B=∠ADE，

∴∠B=∠BAC，

∴AC=BC；

（2）解：如图所示：连接AE，过点E作EF⊥AD交AD于点F，

∴∠DAE+∠DCE=180°，DF=12AD，

∵CE//AB，

∴∠B+∠DCE=180°，

∴∠DAE=∠B，

∵∠B=∠ADE，

∴∠ADE=∠DAE，

∴弧AE=弧DE，

∵AC为圆O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADB=90°，

∴tanB=ADBD=2，

令BD=x，则AD=2x，

∵CD=3，

∴BC=x+3，

∴AC=x+3，

∵AD2+CD2=AC2，

∴2x2+32=x+32，

解得：x=2或x=0（舍去），

∴BD=2，AD=4，DF=2，

∴AB=BD18．【答案】（1）点A的坐标为(0，5)，反比例函数的表达式为y=4（2）点C的坐标为(6，9)或(−4，（3）点P的坐标为(−1【解析】【解答】解：（1）∵直线y=−x+5与y轴交于点A，

∴当x=0时，y=5，

∴点A的坐标为（0，5），

又∵点B（a，4）在直线y=−x+5上，

∴-a+5=4，

解得：a=1，

∴点B的坐标为（1，4），

∴k=1×4=4，

∴反比例函数的表达式为y=4x；

（2）解：∵过点B作AB的垂线l，

∴设直线l的解析式为：y=x+b，

∵点B在直线l上，

∴1+b=4，

∴b=3，

∴直线l的解析式为：y=x+3，

设C（m，m+3），

∵点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（1，4），

∴AB=0-12+4-52=2，BC=m-12+m-12=2m-12，

∵△ABC的面积为5，

∴12×2×2m-12=5，

解得：m=6或m=-4，

∴点C的坐标为(6，9)或(−4，−1)；

（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，

∴点B的对应点也在直线l上，设为E点，

则点A的对应点为D，

由题意可得：y=4xy=x+3，

解得：x=1y=4或x=-4y=-1，

∴E(-4，-1)，

如图所示：

∵△PAB~△PDE，

∴∠PAB=∠PDE，

∴AB//DE，

∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，

设直线DE的解析式为y=-x+b2，

∴-1=-(-4)+b2，

∴b2=-5，

∴直线DE的解析式为y=-x-5，

∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，

∴由题意可得：y=4xy=-x-5，

解得：x=-1y=-4或x=-419．【答案】2【解析】【解答】解：∵3ab−3b2−2=0，

∴3ab−3b2=2，

∴b(a-b)=23，

∴(1−2ab−b2a2)÷a−ba220．【答案】6【解析】【解答】解：根据所给的主视图和俯视图，可知这个几何体共有2层2列，且左边一列最少有3个小立方块，最多有4个小立方块，右边一列有2个小立方块，所以搭成这个几何体的小立方块最多有6个，

故答案为：6.

【分析】观察所给的左视图和俯视图，求解即可。21．【答案】184【解析】【解答】解：如图所示：过点O作OD⊥AB，D为垂足，

∵圆心O到栏杆AB的距离是5米，OD⊥AB，

∴AD=BD，OD=5m，

∴cos∠AOD=ODOA=510=12，AD=102-52=53m，

∴∠AOD=60°，

∴∠AOB=2∠AOD=120°，

∴S阴影部分=S扇形OAB22．【答案】3【解析】【解答】解：如图所示：过点G作GM⊥DE于M，

∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE//BC，

∴∠1=∠2，∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴ED=EC，

∵将△DEC沿DE折叠得到△DEF，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠4，

又∵∠DGE=∠CGD，

∴△DGE~△CGD，

∴DGCG=GEDG，

∴DG2=GE·GC，

∵∠ABC=90°，DE//BC，

∴AD⊥DE，

∴AD//GM，

∴AGGE=DMME，∠MGE=∠A，

∵AGGE=DMME=73，

设GE=3，AG=7，EM=3n，则DM=7n，则EC=DE=10n，

∵DG2=GE·GC，

∴DG2=3x(3+10n)=9+30n，

∵在Rt△DGM中，GM2=DG2-DM2，

在Rt△GME中，GM2=GE2-EM2，

∴DG2-DM2=GE2-EM2，

∴9+30n-(7n)2=32-(3n)2，

解得：n=34，

∴23．【答案】15；57【解析】【解答】解：由题意可得：

当m=3，n=1时，第1个智慧优数为：32-12=8，

当m=4，n=2时，第2个智慧优数为：42-22=12，

当m=4，n=1时，第3个智慧优数为：42-12=15，

当m=5，n=3时，第3个智慧优数为：52-32=16，

当m=5，n=2时，第3个智慧优数为：52-22=21，

当m=5，n=1时，第3个智慧优数为：52-12=24，

……

当m=6时，有4个智慧优数，

当m=7时，有5个智慧优数，

当m=8时，有6个智慧优数，

1+2+3+4+5+6=21.

又∵两数之间的差越小，平方越小，

∴后面也有智慧优数比较小的，

∴第22个智慧优数，当m=9，n=5时，第22个智慧优数为：92-52=81-25=56，

第23个智慧优数，当m=11，n=8时，第23个智慧优数为：112-82=121-64=57，

故答案为：15，57.

【分析】根据题意找出规律，结合智慧优数的定义求解即可。24．【答案】（1）A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；（2）A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元.【解析】【解答】解：（1）A种食材的单价是每千克x元，B种食材的单价是每千克y元，

由题意可得：x+y=685x+3y=280，

解得：x=38y=30，

即A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；

（2）设A种食材购买x千克，总费用为w元，则B种食材购买（36-x）千克，

由题意可得：w=38x+30（36-x）=8x+1080，

∵x=8＞0，

∴w随x的增大而增大，

∵购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，

∴x≥2（36-x）

解得：x≥24，

∴当x=24时，w取最小值，w=8×24+1080=1272（元），

∴36-x=36-24=12（千克），

即A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元.

【分析】（1）根据题意找出等量关系求出x+y=685x+3y=28025．【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=−1（2）点B的坐标为(−4，−3)或(−2−25（3）当m的值为2或23时，OD⊥OE【解析】【解答】解：（1）∵知抛物线y=ax2+c经过点P(4，−3)，与y轴交于点A(0，1)，

∴由题意可得：16a+c=-3c=1，

解得：a=-14c=1，

∴抛物线的函数表达式为y=−14x2+1；

（2）设Bt，-14t2+1，

分类讨论：①当AB=AP时，点B和点P关于y轴对称，

如图所示：

∵P（4，-3），

∴B（-4，-3），

②当AB=BP时，AB2=BP2，

∴t-02+-14t2+1-12=t-42+-14t2+1+32，

∴t2+4t-16=0，

解得：t1=-2-25，t2=-2+25，

∴当t=-2-25时，-14t2+1=-14×-2-252+1=-5-25，

当t=-2+25时，-14t2+1=-14×-2+252+1=-5+25，

∴点B的坐标为(−2−25， −5−25)或(−2+25， −5+25)，

综上所示：点B的坐标为(−4，−3)或(−2−25， −5−25)或(−2+25， −5+25)；

（3）存在常数m，使得OD⊥OE始终成立，

由题意作图如下：，

26．【答案】（1）证明：如图所示，连接CD，

当n=1时，ADBD=1，

∴AD=BD，

∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，CD⊥AB，∠FCD=12∠ACB=45°，

∴CD=AD，AB=2BC，

∴BC=22AB'，

∵DE⊥FD，

∴∠ADE+∠EDC=∠FDC+∠EDC=90°，

∴∠ADE=∠CDF，

∴△AD