中考数学复习高频考点精讲精练（全国通用）：专题19 三角形（解析版）

专题19三角形一、三角形的角平分线、中线和高【高频考点精讲】1、从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高。2、三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线。3、三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线。4、三角形有3条中线，3条高线，3条角平分线，它们都是线段。【热点题型精练】1．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm解：过点A作AD⊥BC于D，用刻度尺测量AD的长度，更接近2cm，答案：D．2．（2022•杭州中考）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；答案：B．3．（2022•江门模拟）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（）A．B．C．D．解：在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B，答案：B．4．（2022•西安模拟）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（）A．16 B．18 C．20 D．22解：∵点D是BC边上的中点，∴BD＝CD，∵△ACD的周长为20，∴AC+AD+CD＝20，∵AC＝8，∴AD+CD＝AD+BD＝12，∵AB＝10，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝22，答案：D．5．（2022•菏泽模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分别为AB边上的高和中线，若∠DCE＝20°，则∠BAC的度数为35°或55°．解：如图：∵∠ACB＝90°，CD、CE分别为AB边上的高和中线，∠DCE＝20°，∴∠CEA＝70°，CE＝EB，∴∠CBA＝35°，∴∠BAC＝55°，如图：∵∠ACB＝90°，CD、CE分别为AB边上的高和中线，∠DCE＝20°，∴∠CEA＝70°，CE＝EB，∴∠BAC＝35°，答案：35°或55°．6．（2022•上海模拟）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝10，则它的周长等于10+102或65+10解：分两种情况：①如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，CD=12AB设BC＝a，AC＝b，则a2解得a+b＝102或a+b＝﹣102（舍去），∴△ABC的周长为102+②如图所示，Rt△ABC中，AC=12设BC＝a，AC＝b，则a2解得：a=45∴△ABC的周长为65+综上所述，该三角形的周长为10+102或65+答案：10+102或65+二、三角形的面积【高频考点精讲】1、三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高。2、三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分。【热点题型精练】7．（2022•桂林中考）如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是（）A．3+22 B．1+2 C．22解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，∵∠C＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD=2AC＝22∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，∴∠DAB＝22.5°，∴∠B＝∠DAB，∴AD＝BD＝2，∵AD＝AC，AE⊥CD，∴DE＝CE，∴AE=12CD∴△ABC的面积=12•BC•AE=12×答案：D．8．（2022•遂宁中考）如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（）A．6 B．8 C．10 D．12解：如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设AN＝a，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC∴DE8∴DE=43∴△DEF面积S=12×=12×4=−23a2=−23（a﹣3）∴当a＝3时，S有最大值，最大值为6．答案：A．9．（2022•常州中考）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是2．解：∵E是AD的中点，∴CE是△ACD的中线，∴S△ACD＝2S△AEC，∵△AEC的面积是1，∴S△ACD＝2S△AEC＝2，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝2．答案：2．10．（2022•锦州中考）如图，A1为射线ON上一点，B1为射线OM上一点，∠B1A1O＝60°，OA1＝3，B1A1＝1．以B1A1为边在其右侧作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1＝60°，C1D1与射线OM交于点B2，得△C1B1B2；延长B2D1交射线ON于点A2，以B2A2为边在其右侧作菱形A2B2C2D2，且∠B2A2D2＝60°，C2D2与射线OM交于点B3，得△C2B2B3；延长B3D2交射线ON于点A3，以B3A3为边在其右侧作菱形A3B3C3D3，且∠B3A3D3＝60°，C3D3与射线OM交于点B4，得△C3B3B4；…，按此规律进行下去，则△C2022B2022B2023的面积为36×(解：过点B1作B1D⊥OA1于点D，连接B1D1，B2D2，B3D3，分别作B2H⊥B1D1，B3G⊥B2D2，B4E⊥B3D3，如图所示：∴∠B1DO＝∠B1DA1＝∠B2HD1＝∠B3GD2＝∠B4ED3＝90°，∵∠B1A1O＝60°，∴∠DB1A1＝30°，∵B1A1＝1，OA1＝3，∴DA1=∴B1∴tan∠O=B∵菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1＝60°，∴△A1B1D1是等边三角形，∴∠A1B1D1＝60°，B1D1＝A1B1＝1，∵∠A1B1D1＝∠OA1B1＝60°，∴OA1∥B1D1，∴∠O＝∠B2B1D1，∴tan∠B设B2D1＝x，∵∠B2D1H＝60°，∴HD∴B1∴52x+1∴B2∴A2同理可得：B3D2∴A3由上可得：AnBn∴S△答案：3611．（2022•宜宾中考）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=14[c2a2−(c2解：根据a：b：c＝4：3：2，设a＝4k，b＝3k，c＝2k，则4k+3k+2k＝18，解得：k＝2，∴a＝4k＝4×2＝8，b＝3k＝3×2＝6，c＝2k＝2×2＝4，∴S=14[答案：315．三、三角形三边关系【高频考点精讲】1、三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边。2、只要两条较短的边长之和大于第三边的长度就可以判定这三条线段能构成一个三角形。【热点题型精练】12．（2022•西藏中考）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（）A．﹣5 B．4 C．7 D．8解：由题意知，该三角形的两边长分别为3、4．不妨设第三边长为a，则4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7．观察选项，只有选项B符合题意．答案：B．13．（2022•淮安中考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9解：A、∵3+3＝6，∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B、∵3+5＜10，∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C、∵4+6＞9，∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；D、∵4+5＝9，∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；答案：C．14．（2022•南通中考）用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm解：设第三根木棒长为xcm，由三角形三边关系定理得6﹣3＜x＜6+3，所以x的取值范围是3＜x＜9，观察选项，只有选项D符合题意．答案：D．15．（2022•益阳中考）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：长为6的线段围成等腰三角形的腰长为a．则底边长为6﹣2a．由题意得，2a＞6−2a6−2a＞0解得32＜所给选项中分别为：1，2，3，4．∴只有2符合上面不等式组的解集．∴a只能取2．答案：B．16．（2022•河北中考）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（）A．1 B．2 C．7 D．8解：∵平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形，∴1+d+1+1＞5且1+5+1+1＞d，∴d的取值范围为：2＜d＜8，∴则d可能是7．答案：C．17．（2022•德阳中考）八一中学九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km和3km．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km解：当杨冲，李锐两家在一条直线上时，杨冲，李锐两家的直线距离为2km或8km，当杨冲，李锐两家不在一条直线上时，设杨冲，李锐两家的直线距离为xkm，根据三角形的三边关系得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，杨冲，李锐两家的直线距离可能为2km，8km，3km，答案：A．18．（2022•哈尔滨中考）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是80或40度．解：当△ABC为锐角三角形时，如图，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；当△ABC为钝角三角形时，如图，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．综上所述，∠BAC＝80°或40°．答案：80或40．19．（2022•东营中考）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝40°，则∠AOC的度数为100°．解：∵AC∥半径OB，∴∠OCA＝∠BOC＝40°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠OCA＝180°﹣40°﹣40°＝100°．答案：100°．四、三角形内角和定理与外角性质【高频考点精讲】1、三角形的内角和等于180°。2、三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等。3、三角形外角的性质（1）三角形的外角和为360°。（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。（3）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角。【热点题型精练】20．（2022•北京模拟）如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的大小为（）A．27° B．42° C．45° D．70°解：∵AB∥CD，∠C＝27°，∴∠ABE＝∠C＝27°，∵∠A＝15°，∴∠AEC＝∠A+∠ABE＝42°，答案：B．21．（2022•西安模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的外角∠BAD的平分线，BF平分∠ABC与AE的反向延长线相交于点F，则∠BFE为（）A．35° B．40° C．45° D．50°解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=12∠∵AE平分∠DAB，∴∠EAB=12∠∵∠DAB﹣∠ABC＝∠C＝90°，∴∠EAB﹣∠ABF＝45°，∴∠BFE＝∠EAB﹣∠ABF＝45°，答案：C．22．（2022•漳州模拟）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则α﹣β＝45度．解：如图，∵∠C＝30°，∠DBF＝45°，∴β＝∠C+∠DBF＝75°，∵∠DFC＝90°，∴α＝∠DFC+∠C＝120°，∴α﹣β＝120°﹣75°＝45°，答案：45．23．（2022•北京中考）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．方法一证明：如图，过点A作DE∥BC．方法二证明：如图，过点C作CD∥AB．证明：方法一：∵DE∥BC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°；方法二：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD，∠B+∠BCD＝180°，∴∠B+∠ACB+∠A＝180°．五、全等三角形的判定与性质【高频考点精讲】1、三角形全等的判定（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。（4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。2、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。（2）全等三角形的周长、面积相等。（3）全等三角形的对应边上的高对应相等。（4）全等三角形的对应角的角平分线相等。（5）全等三角形的对应边上的中线相等。【热点题型精练】24．（2022•成都中考）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D解：∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，∵AC＝DF，∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．答案：B．25．（2022•淄博中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9解：如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T．∵I是△ABD的内心，∴∠BAI＝∠CAI，∵AB＝AC，AI＝AI，∴△BAI≌△CAI（SAS），∴IB＝IC，∵∠ITD＝∠IED＝90°，∠IDT＝∠IDE，DI＝DI，∴△IDT≌△IDE（AAS），∴DE＝DT，IT＝IE，∵∠BEI＝∠CTI＝90°，∴Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），∴BE＝CT，设BE＝CT＝x，∵DE＝DT，∴10﹣x＝x﹣4，∴x＝7，∴BE＝7．答案：B．26．（2022•湘西州中考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，∠B=∠MCGBM=CM∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8，∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，答案：B．27．（2022•湖北中考）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个条件∠A＝∠D，使△ABC≌△DEF．解：添加条件：∠A＝∠D．∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEF中，∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌△DEF（ASA），答案：∠A＝∠D．（答案不唯一）28．（2022•日照中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是2．解：如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF，过点B作BP′⊥x轴于点P′，∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝PA，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，∠PAF＝60°，∵△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝OB＝4，∠BAO＝60°，∴∠BAP＝60°+∠OAP＝∠OAF，在△BAP和△OAF中，AB=AO∠BAP=∠OAF∴△BAP≌△OAF（SAS），∴BP＝OF，∵P是x轴上一动点，∴当BP⊥x轴时，BP最小，即点P与点P′重合时BP＝BP′最小，∵∠BOP′＝30°，∠BP′O＝90°，∴BP′=12OB∴OF的最小值为2，答案：2．29．（2022•深圳中考）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝25，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD＝45°，则AF长为354解：将线段BD绕点D顺时针旋转90°，得到线段HD，连接BH，延长HE交BC于G，∴△BDH是等腰直角三角形，∴∠HBD＝45°，∵∠FBD＝45°，∴点B、F、H共线，又∵△EDC是等腰直角三角形，∴HD＝BD，∠EDH＝∠CDB，ED＝CD，∴△EDH≌△CDB（SAS），∴EH＝CB＝5，∠DHE＝∠CBD，∴∠BGH＝∠BDH＝90°，∴HE∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴ABEH∵AE＝25，∴35∴AF=3答案：3430．（2022•温州中考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．31．（2022•怀化中考）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，∠QPM=∠CPN∠QMP=∠N∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP=12∵AB＝a，AB＝AC，∴PH=1232．（2022•北京中考）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．（1）证明：在△BCD和△FCE中，BC=CF∠BCD=∠FCE∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由题意补全图形如下：CD＝CH．证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．33．（2022•资阳中考）如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝25，求△BCD的面积．（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，AB=EC∠ABC=∠ECD∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，设BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝25，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（25）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE=B∴S△BCD=12BC•DE∴△BCD的面积为10．六、等腰（等边）三角形的判定与性质【高频考点精讲】1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。2、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）3、等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。4、等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；②等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴；③等边三角形的内角平分线垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴。【热点题型精练】34．（2022•淮安中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是（）A．8 B．6 C．5 D．4解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E为AC的中点，∴DE=12答案：C．35．（2022•淄博中考）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23° B．25° C．27° D．30°解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C=12∠DFE答案：B．36．（2022•宜宾中考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（）A．5 B．10 C．15 D．20解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，∴BF＝FD，DE＝EC，∴▱AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．答案：B．37．（2022•镇江中考）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于（）A．2 B．73 C．625解：如图：连接AE，由题意得：AE∥BC，AD=32+∴AD＝DE＝5，∴∠DAE＝∠DEA，∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠DOC，∠DEA＝∠DCO，∴∠DOC＝∠DCO，∴DO＝DC＝3，∴AO＝AD﹣DO＝5﹣3＝2，答案：A．38．（2022•宁波中考）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（）A．22 B．3 C．23 D．4解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，∴BD=12AC＝答案：D．39．（2022•张家界中考）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC=3，则△AOB与△BOCA．34 B．32 C．33解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1，∵OD2+OC2＝12+（3）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°，∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC+S△BCD＝S△BOD+S△COD=34×1答案：C．40．（2022•苏州中考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，答案：6．41．（2022•岳阳中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝3．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵BC＝6，∴CD＝3，答案：3．42．（2022•鄂州中考）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为42+1877解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，AB=BC∠ABD=∠C∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴APBP设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH=x2，BH∴AH＝AP+PH＝2x+x2在Rt△ABH中