构建函数与方程思想进行解题的策略

第13页共13页构建函数与方程思想进行解题的策略函数与方程可进行如下的相互转化：.探讨一下这一思想方法的实施策略一、从函数中构建方程解题例1（05北京,文）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点A，向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B，向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C，向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D，向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度解：把函数的图象上所有的点，向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，将变形有，两式对比得，即，于是,选A。评析：本题中，我们将一个动态的问题，通过构建方程（组），把它静态的解决掉了.对于函数图象的变换问题，我们常运用如下手法构建方程（组），进行通式求解：(1).（时，表示向右平移，时，表示向左平移；时，表示向上平移，时，表示向下平移.）（2）.(时，表示伸长，时，表示缩短；时，表示伸长，时，表示缩短.)例2(06湛江一模)已知函数，问是否存实数使在40+—+-1240+—+-12图1解：显然，令，得，（舍去），由图1知，当时，当时，，于是（1）当时，若，则，为增函数；若，则，为减函数.这时，有；而，，得=，得.(2)当时，若，则，为减函数；若，则，为增函数.这时，；而，，得，得。综上所述：，此时的单调递增区间是，单调递区间是；或，此时的单调递增区间是，单调递区间是.评析：我们构建了方程，求得了函数的极值点，为我们后面的求最值工作打下了坚实的基础.二、从方程中构建函数解题例3（1）关于的方程在上有解，则实数的取值范围是。（2）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是。（3）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是。解：（1）由得，令有，又，得，于是，得实数的取值范围是.(2)由（1）知在上有解，得，得实数的取值范围是.(3)由（1）知在上恒成立，得，得实数的取值范围是.三、同时构建函数与方程解题例4(2005华南师大附中测试题)已知函数,.(Ⅰ)若,求证:;(Ⅱ)是否存在实数,使方程有四个不同的实根?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.解:(Ⅰ)令.则=由,得,知在上为增函数.又在处连续,得在上为增函数,而,得=0,即.(Ⅱ)由原方程得①,令,并变形得②要使方程①有四个不同实根,则要方程②有两个不同正根.tyo图2令,tyo图2当直线与曲线在点=处相切时,由,得,于是,得切点为,这时切线方程为,即,与轴的交点为,要使直线与曲线在轴右边有两个不同交点,则,即.所以当时,原方程有四个不同的实根.函数与方程的思想方法一、知识整合1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.3．(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点。(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。(4)函数f(x)＝（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。Ⅰ．运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。例1已知，（a、b、c∈R），则有（）(A)(B)(C)(D)解析法一：依题设有a·5－b·＋c＝0∴是实系数一元二次方程的一个实根；∴△＝≥0∴故选(B)法二：去分母，移项，两边平方得：≥10ac＋2·5a·c＝20ac∴故选(B)点评解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。练习1已知关于的方程－（2m－8）x+－16=0的两个实根、满足＜＜，则实数m的取值范围_____。答案：；x21y02已知函数x21y0（A）(B)(C)(D)答案：A.3求使不等式≤·对大于1的任意x、y恒成立的a的取值范围。Ⅱ：构造函数或方程解决有关问题：例2已知，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式恒成立，求x的取值范围。解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]原题转化为：>0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）当x＝2时，不等式不成立。∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3]问题转化为g(m)在m∈[，3]上恒对于0，则：；解得：x>2或x<－1练习4．已知关于的方程－2=0有实数解，求实数的取值范围。（答案：0≤≤4－）Ⅲ：运用函数与方程的思想解决数列问题例4设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，>0，<0，（1）求公差d的取值范围；（2）指出、、…，中哪一个最大，并说明理由。解析（1）由得：，∵＝>0＝<0∴<d<－3（2）∵d<0，是关于n的二次函数，对称轴方程为：x＝∵<d<－3∴6<<∴当n＝6时，最大。三、强化练习1．展开式中的系数为____________.2．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列,则()A1BCD3.设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率（）A5BCD4．已知锐角三角形ABC中，。Ⅰ.求证；Ⅱ.设，求AB边上的高。5．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为。Ⅰ.分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；Ⅱ.从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验,求至少有一个是一等品的概率。6．设，，曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点Ｐ到曲线对称轴距离的取值范围是（）7.设双曲线C：与直线相交于两个不同的点A、B。Ⅰ.求双曲线C的离心率的取值范围；Ⅱ.设直线与轴的交点为P，且，求的值。函数与方程（精讲篇）三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。二次函数的零点：零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，，验证·，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：①若=，则就是函数的零点；②若·<，则令=（此时零点）；③若·<，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤2～4。注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是使的实数；从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。3．二次函数的基本性质【课前预习】1.关于的方程有正根，则实数的取值范围是。2.【07山东文11】．设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（B）A．B． C．D．解：令，可求得：。易知函数的零点所在区间为。3.已知定义域为的函数是偶函数，并且在上为增函数。若，则的解集是；4.函数的对称轴方程为，则常数=。-4题型1：方程的根与函数零点例1．判断下列函数在给定区间上是否存在零点。（1）（2）（3）分析：利用函数零点的存在性定理或图象进行判断。解析：（1）方法一：∴故。方法二：令解得，所以函数。（2）∵，∴。（3）∵，，∴，故在存在零点。评析：函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是定理；二是用方程；三是用图象例2．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（C）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，+∞)（2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数。解析：（1）方法一令则根据选择支可以求得＜0；＜0；＞0.因为＜0可得零点在(2，3)内选C方法二：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C（2）原方程等价于即构造函数和，作出它们的图象，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：①当或时，原方程有一解；②当时，原方程有两解；③当或时，原方程无解。题型2：零点存在性定理例3．（2004广东21）设函数，其中常数为整数。（1）当为何值时，；（2）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根。例3．解析：（1）函数f(x)=x－ln(x+m),x∈(－m,+∞)连续，且当x∈(－m,1－m)时,f’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1－m)当x∈(1－m,+∞)时,f’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1－m)根据函数极值判别方法，f(1－m)=1－m为极小值，而且对x∈(－m,+∞)都有f(x)≥f(1－m)=1－m故当整数m≤1时，f(x)≥1－m≥0(2)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1－m)=1-m<0,函数f(x)=x－ln(x+m),在上为连续减函数.由所给定理知，存在唯一的而当整数m>1时，类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在上为连续增函数且f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根。点评：本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。例4．若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是A．若，不存在实数使得；B．若，存在且只存在一个实数使得；C．若，有可能存在实数使得；D．若，有可能不存在实数使得；解析：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“在区间上满足，但其存在三个解”推翻；同时选项A可通过反例“在区间上满足，但其存在两个解”；选项D正确，见实例“在区间上满足，但其不存在实数解”。题型3：二分法的概念例5．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A．“二分法”求方程的近似解一定可将在[a,b]内的所有零点得到；B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]内的零点；C．应用“二分法”求方程的近似解，在[a,b]内有可能无零点；D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]内的精确解；解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。点评：该题深入解析了二分法的思想方法。例6．方程在[0，1]内的近似解，用“二分法”计算到达到精确度要求。那么所取误差限是（）A．0.05B．0.005C．0.0005解析：由四舍五入的原则知道，当时，精度达到。此时差限是0.0005，选项为C。题型4：应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解例7．借助计算器，用二分法求出在区间（1，2）内的近似解（精确到0.1）。解析：原方程即。令，用计算器做出如下对应值表x－2－1012f(x)2.58203.0530279181.0794－4.6974观察上表，可知零点在（1，2）内取区间中点=1.5，且，从而，可知零点在（1，1.5）内；再取区间中点=1.25，且，从而，可知零点在（1.25，1.5）内；同理取区间中点=1.375，且，从而，可知零点在（1.25，1.375）内；由于区间（1.25，1.375）内任一值精确到0.1后都是1.3。故结果是1.3。例8．借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）。分析：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？略解：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点。点评：①第一步确定零点所在的大致区间，，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；②建议列表样式如下：零点所在区间中点函数值区间长度[1，2]>01[1，1.5]<00.5[1.25，1.5]<00.25如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步。题型5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点例9．（1）已知是方程的两个根，且，求的取值