二项分布为背景的概率模型（解析版）

二项分布为背景的概率模型思路引导思路引导求二项分布为背景的概率模型的解题思路：第一步：根据题意设出随机变量.第二步：分析随机变量服从二项分布.第三步：找到参数n，p.第四步：写出二项分布的概率表达式.第五步：求解相关概率.【易错提醒】二项分布与超几何分布的关系在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．区别①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例(3)母题呈现母题呈现【典例】（2022·陕西高三模拟）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及．【解题指导】(Ⅰ)先计算人都认为不很幸福的概率→再有对立事件就概率；(Ⅱ)确定二项分步→的可能的取值→列出分布列→求出期望．【解析】(Ⅰ)设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，则表示人都认为不很幸福(Ⅱ)根据题意，随机变量，的可能的取值为；；；所以随机变量的分布列为：所以的期望方法总结方法总结二项分布的均值与方差.(1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).模拟训练模拟训练1．【与五育并举融合】2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为A、B两档，当预定A档未成功时，系统自动进入B档预定，已知获得A档门票的概率是，若未成功，仍有的概率获得B档门票的机会；而成功获得其他赛事门票的概率均为，且获得每张门票之间互不影响．甲预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票．(1)求甲乙两人都没有获得任何门票的概率；(2)求乙获得的门票数比甲多的概率．【答案】(1)；(2)【分析】（1）设甲、乙获得的门票数分别为、，分别求、的分布列，进而可得结果；（2）“乙获得的门票数比甲多”有3种可能、和，结合（1）中的数据运算求解.【详解】（1）由题意可得：预定一张开幕式门票不成功的概率，成功的概率为，设甲获得的门票数为，则的可能取值为，故，故的分布列为：012设乙获得的门票数为，则，故，故的分布列为：012故甲乙两人都没有获得任何门票的概率.（2）由（1）可得：乙获得的门票数比甲多的概率.2．【与频率分布直方图融合】为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.(1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数(2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列与数学期望.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根据频率分布直方图求出数学成绩落在区间内的频率，再根据数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1可求出数学成绩落在区间[110，120）的频率；根据中位数公式可求出中位数；（2）先求出数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，再根据二项分布可求出分布列和数学期望.【详解】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为,所以数学成绩落在区间内的频率为，因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为，数学成绩落在区间[70，100）的频率为，所以中位数落在区间内，设中位数为，则，解得，所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为.（2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，由题意可知，，的所有可能取值为，，，，，所以的分布列为：0123所以数学期望.3．【决策问题】某学校在50年校庆到来之际，举行了一次趣味运动项目比赛，比赛由传统运动项目和新增运动项目组成，每位参赛运动员共需要完成3个运动项目．对于每一个传统运动项目，若没有完成，得0分，若完成了，得30分．对于新增运动项目，若没有完成，得0分，若只完成了1个，得40分，若完成了2个，得90分．最后得分越多者，获得的资金越多．现有两种参赛的方案供运动员选择．方案一：只参加3个传统运动项目．方案二：先参加1个传统运动项目，再参加2个新增运动项目．已知甲、乙两位运动员能完成每个传统项目的概率为，能完成每个新增运动项目的概率均为，且甲、乙参加的每个运动项目是否能完成相互独立．(1)若运动员甲选择方案一，求甲得分不低于60分的概率．(2)若以最后得分的数学期望为依据，请问运动员乙应该选择方案一还是方案二？说明你的理由．【答案】(1)；(2)运动员乙应该选择方案一；理由见解析【分析】（1）甲得分不低于60分等价甲至少要完成2项传统运动项目；（2）方案一服从二项分布从而可求数学期望，再由方案二得分的分布列求得数学期望，比较两个期望的大小.【详解】（1）运动员甲选择方案一，若甲得分不低于60分，则甲至少要完成2项传统运动项目，故甲得分不低于60分的概率．（2）若乙选择方案一，则乙完成的运动项目的个数，所以乙最后得分的数学期望为．若乙选择方案二，则乙得分Y的可能为取值为0，30，40，70，90，120，，，，，，．所以Y的数学期，因为，所以运动员乙应该选择方案一．4．【与数列融合】近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．请回答如下两个问题：(1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为分的概率，表示累计得分为的概率），求：①的通项公式；②的通项公式．【答案】(1)；(2)①；②.【分析】（1）根据二项分布的期望求解，求得三次监测中完成签到次数的数学期望，再求结果即可；（2）求得的递推关系，结合等比数列的通项公式，即可求得；再结合累加法，以及等比数列前项和公式，即可求得.【详解】（1）设某班同学在3次专注度监测中完成签到的次数为，由题可知，，故，设某班同学3次专注度监测的总得分为，根据题意，故.故某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是.（2）①由题可知，根据题意，，故可得故数列为首项，公比为的等比数列，则.②根据上式可得，则，故的通项公式.5．【与独立性检验融合】某核酸检测机构为了提高核酸检测效率，对核酸检测设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：小时）数据，整理如下：改造前：141，140，146，127，147，159，136，162，140，126，178，134，125，139，121，178，128，138，129，142；改造后：145，136，127，148，156，172，169，121，172，182，181，124，147，181，140，175，156，132，115，137.(1)完成下面的列联表，并判是否有90%以上的把握认为判断技术改造前后的连续正常运行时间有差异?技术改造设备连续正常运行小时合计超过144不超过144改造前改造后合计(2)核酸检测机构的检测设备的运行需要进行维护，核酸检测机构对检测设备的维护费用包括正常维护费和额外维护费两种，对检测设备设定维护周期为144小时（开机运行144小时内检测一次）进行维护，检测设备在一个月内（720小时）设5个维护周期，每个维护周期相互独立在一个维护周期内，若检测设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生额外维护费；若检测设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生额外维护费，经测算，正常维护费为0.56万元/次，额外维护费第一次为0.22万元/周期，此后每增加一次则额外维护费增加0.22万元.已知检测设备在技术改造后一个周期内能连续正常运行的概率为，求一个月内维护费的分布列及均值.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（其中）【答案】(1)列联表答案见解析，有以上的把握认为判断技术改造前后的连续正常运行时间有差异.(2)分布列答案见解析，均值为万元【分析】（1）根据题意，补全列联表，代入公式计算结果，对照表格，判断得答案；（2）首先判断一个维护周期内，检测设备需要额外维护费的概率为，设一个月内需额外维护的次数为，则服从二项分布，再根据题意找到与一个月的维护费的关系，计算的可能取值，依次计算其概率得分布列，计算分布列的期望，得答案.【详解】（1）列联表为：技术改造设备连续正常运行小时合计超过144不超过144改造前14620改造后81220合计221840易知：，所以有以上的把握认为判断技术改造前后的连续正常运行时间有差异.（2）已知，一个月内设有个维护周期，一个周期内能连续正常运行的概率为，即需要额外维护费的概率为，设一个月内需额外维护的次数为，则，一个月内的正常维护费为，额外维护费为万元.所以一个月内需额外维护次数为时需要的维护费为万元，设一个月内的维护费为，则的所有可能取值为，，，，，，；；；；；；所以，的分布列为2.83.023.464.1256.1.一个月内维护费的均值为万元.6．【结构不良问题】甲､乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.假设两人射击是否击中目标，互不影响；每次射击是否击中目标，互不影响.(1)记甲击中目标的次数为X，求X的分布列；(2)在①甲恰好比乙多击中目标2次，②乙击中目标的次数不超过2次，③甲击中目标3次且乙击中目标2次这三个条件中任取一个，补充在横线中，并解答问题.求___________事件的概率.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)分布列见解析；(2)答案见解析.【分析】（1）确定X的可能取值，利用二项分布求X的分布列；（2）根据所选的条件，利用独立事件乘法公式、互斥事件加法公式及对立事件概率求法求概率.【解析】（1）由题意知：X的取值范围是，，，，.故X的分布列为：X0123P（2）选择①：设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件，甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件，则，又和为互斥事件，则.所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.选择②：记乙击中目标的次数为Y，而的对立事件为，由，故.选择③：甲击中目标与乙击中目标为相互独立事件，所以甲击中目标3次且乙击中目标2次的概率为.7．【与条形图融合】第届冬季奥林匹克运动会，于年月在北京市和张家口市联合举行．某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训．训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为、、、、五个等级，分别对应的分数为、、、、．甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示．(1)根据上图判断，甲、乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明）(2)求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；(3)若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为分并且乙的成绩为分或分的次数为，求的分布列（频率当作概率使用）．【答案】(1)乙比甲的单板滑雪成绩更稳定；(2)众数为3分，平均数为2.9分；(3)分布列答案见解析【分析】（1）根据条形图判断可得出结论；（2）根据条形图可得出众数，将每组值乘以对应组的频率，将所得结果全部相加可得平均数；（3）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列.【详解】（1）解：由图可知，乙比甲的单板滑雪成绩更稳定.（2）解：因为甲单板滑雪项目测试中分和分成绩的频率之和为，分成绩的频率为，所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的众数为分，测试成绩分的频率为，所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的平均数为.（3）解：由题意可知，在每次测试中，甲的成绩为分，并且乙的成绩为分或分的概率为，依题意，，所以，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：8．【与分层抽样融合】今年上海疫情牵动人心，大量医务人员驰援上海．现从这些医务人员中随机选取了年龄（单位：岁）在内的男、女医务人员各100人，以他们的年龄作为样本，得出女医务人员的年龄频率分布直方图和男医务人员的年龄频数分布表如下：年龄（单位：岁）频数3020251510(1)求频率分布直方图中a的值：(2)在上述样本中用分层抽样的方法从年龄在内的女医务人员中抽取8人，从年龄在内的男医务人员中抽取5人．记这13人中年龄在内的医务人员有m人，再从这m人中随机抽取2人，求这2人是异性的概率：(3)将上述样本频率视为概率，从所有驰援上海的年龄在内的男医务人员中随机抽取8人，用表示抽到年龄在内的人数，求的数学期望及方差．【答案】(1)；(2)；(3)，【分析】（1）根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可；（2）首先按照分层抽样求出男、女年龄在、内的人数，再由古典概型的概率公式计算可得；（3）依题意可得年龄在内的概率为，则，根据二项分布的期望、方差公式计算可得；【解析】（1）由题意，解得：（2）由已知得8名女医务人员中，年龄在内的有人，在内的有人5名男医务人员中，年龄在内的有人，在内的有人∴这13人中，年龄在内的有8人，其中女医务人员有6人，男医务人员有2人．设从这8人中抽取2人，这2人是异性为事件A，则（3）由题意，在男医务人员中，年龄在内与年龄在内的人数比为，故在年龄在内的男医务人员中随机抽取1人，其年龄在内的概率为，∴∴的数学期望为，的方差为9．【与对立事件融合】已知某机床的控制芯片由个相同的单元组成，每个单元正常工作的概率为，且每个单元正常工作与否相互独立.（1）若，求至少有3个单元正常工作的概率；（2）若，并且个单元里有一半及其以上的正常工作，这个芯片就能控制机床，其概率记为.①求的值；②若，求的值.【答案】（1）；（2）①；②.【分析】(1)至少有3个单元正常工作的概率,即求3个单元和4个单元正常工作的概率之和；(2)①的值，即时，至少有4个单元正常工作的概率，根据二项分布的概率计算公式求解即可；②对分奇偶讨论，结合二项分布的概率计算公式及组合数的性质即可求解.【详解】解：（1）设至少有3个单元正常工作的概率为，则.（2）①时，至少有4个单元正常工作芯片就能控制机床，所以，由，而，所以.②若，则，页所以，符合题意.若，则，而对立事件，且，则，所以，故：.10．【与折线图融合】2022年冬季奥林匹克运动会在北京胜利举行，北京也成为了第一个同时举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市.为推广普及冰雪运动，深入了解湖北某地中小学学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，随机选取了10所学校进行研究，得到如下图数据：(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校至少有一个参与“自由式滑雪”超过4