3常用的导数放缩技巧-解析版

第3讲常用的导数放缩技巧知识与方法第一组:对数放缩(放缩成一次函数);(放缩成双次函数);(放缩成二次函数);(放缩成类反比例函数).第二组:指数放缩(放缩成一次函数);(放缩成类反比例函数);(放缩成二次函数).第三组:以直线为切线的函数.以上公式较多且繁杂,我们记住基础的、最常见的即可,其他可以根据最基础的不等式推导.常用不等式.常用不等式(非常具有对称美感)证明:构造单调递减单调递加∴∴证明:构造单调递减单调递加∴证明:构造单调递减单调递加证明:构造单调递减单调递加∴证明:构造单调递减单调递加∴典型例题【例1】已知函数,若对于任意的恒成立,则实数的取值范围是()A. B.C. D.【解析】【解法1】对任意的,要使恒成立,可设,则要恒成立.当时,恒成立,故满足题意;当时,;若,则恒成立,单调递减,当趋近于正无穷时,趋近于负无穷,不满足题意;若,由于,解得,所以在上单调递减,在上单调递增,在处取得极小值即最小值,要使恒成立,即恒成立,解得此时.综上所述,的取值范围是.【解法2】函数,即恒成立,设函数,同时令不等式右边为,如图所示:由于存在过原点的切线,故此时该切线为,故,则.【答案】C.【例2】已知对于任意的,有不等式恒成立,则实数的取值范围？【解析】【解法1】由于要对于任意的有恒成立,即,由于1时,,故只需,令,令,即此时,即,此时.当时,函数,此时函数单调递增;当时,函数,此时函数单调递减,故函数在时取得极大值,即最大值,故函数,即此时得到,故实数的取值范围为,.【解法2】若保证恒成立,即保证恒成立,此时令,即恒成立,由基本不等式,,故得到.【答案】,.【例3】已知函数.(1)设是的极值点,求并讨论的单调性;(2)当时,证明：.【解析】(1)∵是的极值点,∴,解得.所以函数,其定义域为.设,则,所以在上为增函数,又∵,所以当时,,即;当时,.所以在上为减函数;在上为增函数.(2)证明:【解法1】当时,,故只需证明当时.当时,函数在上为增函数,且.故在上有唯一实数根,且.当时,,当时,,从而当时,取得最小值.由,得.故.综上,当时,.【解法2】当时,,故只需证明当.即证明,由于,即证明,显然成立.【例4】已知函数.（1）设是的极值点,求的值,并求的单调区间;（2）证明:当时,.【解析】(1)∵函数是的极值点,∴,解得,当时,;当时,在上单调递减,在上单调递增.（2）证明:【解法1】当时,,设,则,由,得,当时,,当时,是的最小值点,故当时,当时,.【解法2】当时,,由于或者,所以证明即可,显然成立.强化训练1.已知函数.(1)设是函数的极值点,求的值并讨论的单调性;(2)当时,证明:.【解析】(1)是函数的极值点,即,所以.于是函数数,由,可得,因此，当时,;当,时,,所以,函数在上单调递减,在上单调递增.(2)证明:当时,对于任意恒成立,又恒成立,时,时,,原式得证,即.2.设函数,曲线在点处得切线方程为.(1)求、;(2)证明:.【解析】(1)函数的定义域为,由题意可得,故;(2)证明:由(1)知,若,有,即等价于,设函数,则当时,;当时,.故在上单调递减,