几类不同增长的函数模型课件

几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型问题情景假如某公司每天向你投资10万元,共投资30天.公司要求你给他的回报是:第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共30天,你认为这样的交易对你有利吗？阅读课本95～97页例1，边阅读边思考下面的问题：问题情景假如某公司每天向你投资10万元,共投【例1】假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案？在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？构建数学探究一投资天数、回报金额【例1】假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,解:设第x天所得回报是y元，则方案一：方案二：方案三：在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？探究一解:设第x天所得回报是y元，则方案一：方案二：方案三：

上述的三个数学模型,第一个是常数函数,另两个都是递增的函数模型,你如何对三个方案作出选择？方法1:我们来计算三种方案所得回报的增长情况：探究二请同学们对函数增长情况进行分析,方法是列表观察或作出图象观察.上述的三个数学模型,第一个是常数函数,另两个x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元1400100.40.4240020100.80.8340030101.61.6440040103.23.2540050106.46.46400601012.812.87400701025.625.68400801051.251.294009010102.4102.41040010010204.8…………………3040030010214748364.8107374182.4根据表格中所提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？三种方案每天回报表x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增x42681012y20406080100120140ox42681012y20406080100120140o底数为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的函数有什么新的理解？你能通过图象描述一下三种方案的特点吗？方法2：我们来作出三种方案的三个函数的图象：底数为2的指数函数模型比线性函数模型增长速1234567891011方案一4080120160200240280320360400440方案二103060100150210280360450550660方案三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8结论:①投资1~6天,应选择方案一;②投资7天,应选择方案一或二;③投资8~10天,应选择方案二;④投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.回报天数方案☞累计回报表：方案一方案二方案三1234567891011方案一40801201602002你30天内给公司的回报为:0.01+0.01×2+0.01×22+…

+0.01×229300万元解答:公司30天内为你的总投资为:情景问题解答假如某公司每天向你投资10万元,共投资30天.公司要求你给他的回报是:第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共30天,你认为这样的交易对你有利吗？=10737418.23≈1074(万元).1074-300=774(万元).你30天内给公司的回报为:0.01+0.01×2+0.01×实际应用问题分析、联想抽象、转化构建数学模型解答数学问题审题数学化寻找解题思路还原(设)(列)(解)(答)★解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程,建立函数模型的程序大概如下：实际应用问题分析、联想构建数学模型解答数学问题审题数学化【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的实质是什么？·············一次函数模型实质:分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，就是比较三个函数的增长情况．y=0.25xy=log7x+1,·············对数函数模型·············指数函数模型y=1.002x探究一本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的实质是什①销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励,且部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元,所以销售利润x可用不等式表示为____________.③依据这个模型进行奖励时,奖金不超过利润的25%,所以奖金y可用不等式表示为___________.②依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元,所以奖金y可用不等式表示为_________.10≤x≤10000≤y≤50≤y≤25%x你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?探究二①销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？奖励模型符合公司要求就是依据这个模型进行奖励时,符合条件：(1)奖金总数不超过5万元；(2)奖金不超过利润的25%.因此,在区间[10,1000]上,不妨作出三个函数模型的图象,通过观察函数的图象,得到初步的结论,再通过具体计算确认结果.探究三你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符4006008001000120020012345678xyoy=5y=0.25x探究四通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？40060080010001200200123探究四通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,当x>20时,y>5,因此该模型不符合要求;探究四通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的探究四通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？②对于模型y=1.002x,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x>806时,y>5,因此该模型不符合要求.探究四通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的探究四通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？③对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x=1000时,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.探究四通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？解:当x∈[10,1000]时,要使y≤0.25x成立,令f(x)=log7x+1-0.25x,当x∈[10,1000]时是否有f(x)≤0恒成立?即当x∈[10,1000]时,f(x)=log7x+1－0.25x的图象是否在x轴下方?作f(x)=

log7x+1-0.25x的图象如下：只需log7x+1≤0.25x成立，即log7x+1-0.25x≤0.探究五按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过根据图象观察,f(x)=log7x+1-0.25x的图象在区间[10,1000]内的确在x轴的下方.这说明,按模型y=log7x+1奖励,奖金不会超过利润的25%.根据图象观察,f(x)=log7x+1-0.由图象知f(x)在[10,1000]上为减函数.说明当x∈[10,1000]时,有.另解:作出f(x)的图象(利用计算机).综上按对数函数模型奖励符合公司提出的要求.按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？探究五即奖金不会超过利润的25%.由图象知f(x)在[10,1000]上为减函数.说明当从以上两个例子，我们看到对数函数，指数函数和幂函数在第一区间的增长是有差异的，下面用几何画板来观察它们的差异．探究六从以上两个例子，我们看到对数函数，指数函数和幂函数在第一问题情景对数函数y=logax(a>1),幂函数y=xn(n>0)与指数函数y=ax(a>1)在区间(0,+∞)上都是增函数,但它们的增长是有差异的.那么这种差异的具体情况到底是怎样呢?问题情景对数函数y=logax(a>1),幂函数y以函数y=2x,

y=log2x,y=x2为例.探究一制作函数值表(借助计算器制表).观察表格,三个函数的增长速度是不同的.总体来讲随着x的增大,y=log2x的增长速度最慢;y=2x和y=x2的增长速度有变化,一开始,

y=2x的增长速度快,后来y=x2增长速度快.以函数y=2x,y=log2x,y=x2为例.探1234xyo1y=log2xy=x2y=2x探究一画函数图象(描点或借助计算机作图).1234xyo1y=log2xy=x2y=2x探究一画函观察图象可以看出:三个函数的增长速度是不同的,你能根据图象分别标出不等式log2x<2x<x2和

log2x<x2<2x成立的x的取值范？(1)0<x<2或x>4时,(2)2<x<4时,观察图象可以看出:三个函数的增长速度是不同的,你能根据图象分24xyo1问题(1)如何求函数在(0,+∞)的零点?观察函数y=2x与y=x2之间的增长情况探究二24xyo1问题(1)如何求函数观察函数y=2x与y=x2之间的增长情况从函数图象可以看出,y=2x与y=x2的图象有两个交点,表明2x与x2在自变量的不同的区间有不同的大小关系,有时2x>x2,有时2x<x2但当x越来越大时,2x的增长速度远快于x2.问题(2)观察图象,试求出可使下列不等式成立的x的取值范围.(1)0<x<2或x>4时,(2)2<x<4时,探究二观察函数y=2x与y=x2之间的增长情况答:在区间(0,+∞)上,尽管对数函数y=logax(a>1),指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.

随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有3.

幂函数，指数函数，对数函数增长速度的一般结论答:在区间(0,+∞)上,尽管对数函数y=logax(a>结论1:的增长快于的增长，所以存在一个，使x>时,有>.结论2:的增长快于的增长，所以存在一个，使x>时,有>.结论3：在区间（0，+∞）上，函数(a>1）（a>1),(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同。随着x的增大(a>1）的增长速度越来越快，远远大于（n>0)的增长速度，而(a>1)的增长速度则越来越慢，因此，会存在一个，当时，有结论1:的增长快于的增长，所以存在探究①以函数为例.思考:你能用同样的方法,讨论函数y=logax(0<a<1),y=ax(0<a<1)与幂函数y=xn(n<0)在区间(0,+∞)上衰减情况吗?探究①以函数为结论:在区间(0,+∞)上,尽管对数函数y=logax(0<a<1),

y=ax(0<a<1)与y=xn(n<0)都是减函数,但它们的衰减速度不同,而且不在同一个“档次”上.

随着x的增大,y=logax(0<a<1)的衰减速度越来越快,会超过并远远大于y=ax(0<a<1)的衰减速度,而y=xn(n<0)的衰减速度则会越来越慢.因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有3.你能用同样的方法,讨论函数y=lo