多边形的内角和【省一等奖】

多边形的内角和双辽市第三中学杨春野从同一顶点引出的对角线的条数：123n－3分割出的三角形的个数：234n－201n边形……三角形四边形五边形六边形复习回顾n边形……三角形四边形五边形六边形

n边形从一个顶点出发的对角线条数为：条(n≥3)n边形共有对角线

条(n≥3)复习回顾(n－3)n边形从一个顶点出发的对角线,把n边形分成

个三角形。(n－2)

三角形的内角和等于180°.正方形、长方形的内角和都等于360°，其他四边形的内角和等于多少？思考下列图形的内角和各是多少？探究如何求出下列四边形的内角和？

可以量出四个内角的度数，即可求出它的内角和；还有别的方法吗？整理归纳画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形，这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360°。∴四边形内角和为360°。猜想:n边形的内角和是多少?观察思考多边形边数分成三角形的个数图形内角和计算规律三角形四边形五边形六边形七边形n边形………………34567n1n-22345180°360°540°720°900°(n－2)·180°(n－2)·180°5×180°4×180°3×180°2×180°1×180°归纳n边形内角和等于(n-2)·180°n边形内角和公式:把一个多边形分成几个三角形，还有别的分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？E

ABCDO180°×5–360°=540°180°×5=900°？五边形内角和540°？？以五边形为例把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？ABCDEF180°

×4–180°=540°

A

BCDE4×

180°-180°=540°OA1A2

A3

A4

A5

A6

An

A7

A8

被分成三角形个数

n边形的内角和

n1800n-3600=(n-2)·180°

Pn边形的分解：

运用知识例1

如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ACBD分析：如图，已知四边形ABCD中∠A+∠C=180°，试判断∠B与∠D有何关系?

解:如图，

∵

∠A+∠B+∠C+∠D=360°

∴∠B+∠D=360°－(∠A+∠C)=360°－180°=180°这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补。例2.在六边形的每个顶点处各有一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.426513DEBFCA六边形的外角和等于多少?∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=?因为六边形的任何一个外角与其相邻的内角互补,所以六边形的外角和等于:

426513DEBFCA6x180º-（6-2）x180º=360º多边形的外角和等于360º.思考你记住了吗？如果将例2中的六边形换为n边形（n是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗？从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转的各个角的和等于一个周角。即：多边形的外角和等于360º练习1：看谁求得又快又准！x°140°∟x°（1）∟120°150°2x°x°120°80°75°x°X=65X=60X=95（2）（3）∟x°（1）（2）已知一个多边形的内角和为900o

，则这个边形是______边形7（1）十边形的内角和为______，外角和为_____1440o360o（3）已知一个多边形的每一个外角都是72o，这个边形的边数为______5（4）在五边形ABCDE中，若∠A=∠D=90o,且

∠B:∠C:∠E=3:2:4,则∠C的度数为_______80o练习2.在一次数学竞赛中，王老师出了这样一个问题：某个多边形所有的内角加起来等于它的外角和，那么它是几边形呢？四边形小明的回答正确吗?你知道这是为什么吗？

1、已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数。解得n=6能力提升分析：内角和等于（n-2）·180º，外角和等于360º，内角和是外角和的２倍。解：设多边形的边数为n，则有（n-2）·180º=360º×2答：这个多边形的边数为６。２、一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加多少度？解：设多边形的边数为n，则内角和为（n-2）·180º。当边数增加1时，内角和为（n+1-2）·180º∵（n+1-2）·180º-（n-2）·180º=n·180º-180º-n·180º+360º=180º∴内角和增加180º