中国矿业大学周圣武概率论与数理统计4第四章 随机变量的数字特征-2_第1页
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周圣武概率论与数理统计Tel-mail:zswcumt@163.com中国矿业大学理学院第三章§4.2方差

2.方差的性质1.方差的定义3.几种重要分布的方差

上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果

甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.

中心中心由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差通常用来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.合理,但是存在正负相消，不可行.带绝对值的运算，不利于分析.

方差的算术平方根为X的方差。定义

设X是一个随机变量，若存在，则称称为均方差或标准差。1.方差的概念注意：⒈是关于随机变量X的函数的数学期望。离散型已知X分布律连续型已知X的概率密度命题计算方差的简便公式⒉方差描述了X的取值与E(X)的偏离程度。证明

解比较量个人射击的平均环数，甲的平均环数为

例1X

8

9

10

P

0.3

0.2

0.5

甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出：试问那个人的射击水平较高？X：甲击中的环数Y：乙击中的环数Y

8

9

10

P

0.2

0.4

0.4

＝9.2(环)乙的平均环数为＝9.2(环)从平均环数上看，甲、乙射击水平是一样的。但两人射击环数的方差分别为：这表明乙的射击水平比甲稳定。设随机变量X的概率密度为求D（X）。

例2解1.设C是常数,则D(C)

=0;2.若C是常数,则D(CX)=C2D(X);2.方差的性质3.若X与Y独立，则⒋若X与Y独立，且a,b是常数，则⒌⒍其中一般情况：若X1,X2,…,Xn

相互独立,则分布期望方差3．常见分布的期望与方差例3设X,Y是两个相互独立的且服从正态分布的随机变量,且，则求随机变量服从什么分布？解

Z为正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正态分布，且其参数为故例4设X,Y是两个相互独立的且均服从正态分布的随机变量,则求随机变量的数学期望解

记则故例5设X的可能取值为且，求X的分布律。解设

X的分布律为所以已知例6求的次数，对X独立观察4次，Y表示X的观察值大于解

由题意可知例7设，且⑴求

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