专题02 首届新高考-数列大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）含答案

专题02首届新高考-数列大题综合（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）一、解答题1．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）数列中，(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明.2．（2023·湖南·校联考模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值．3．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)议，当取得最小值时，求n的取值．4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，(1)求和的通项公式;(2)设满足，记的前项和为，求.5．（2023·山东泰安·统考模拟预测）设是公比不为的等比数列，，为，的等差中项.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.6．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列满足．(1)证明是等比数列；(2)若，求的前项和．7．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知等差数列前项和为，数列前项积为.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在等比数列和等差数列中，，，．(1)求数列和的通项公式；(2)令，，记数列的前项积为，证明：．9．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）已知数列的前n项和为，且满足，等差数列中，，．(1)求数列，的通项公式；(2)记，，求数列的前n项和．10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）数列中，，，记．(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)记，求的前n项和；(3)记，求的最大值与最小值．11．（2023·云南保山·统考二模）已知是数列的前n项和，，______.①，；②数列为等差数列，且的前3项和为6.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：(1)求；(2)设，求数列的前6项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.12．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，且，当时，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，且，求数列的通项公式．13．（2023·云南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.14．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）设数列的前项和满足，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的通项公式与前项和.15．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知数列，满足：，，，．(1)若是等比数列，求的前n项和．(2)若是等比数列，则是否为等比数列？请阐述你的观点，并说明理由．16．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列的前项和为是与的等差中项；数列中.(1)求数列与的通项公式；(2)若，证明：；(3)设，求.17．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知数列满足，且.(1)求证：数列是等比数列；(2)若，求满足条件的最大整数n.18．（2023·安徽黄山·统考三模）已知数列的前项和为，.(1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式;(2)若，求数列的前项和.从①和②这两个条件中任意选择一个填入上面横线上，并完成解答.注:若选择多个条件作答，则按第一个解答计分.19．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知数列满足，．(1)计算：，猜想数列的通项公式，并证明你的结论；(2)若，，求k的取值范围．20．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数．(1)设，求数列的通项公式；(2)设，是否存在实数，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由．21．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知正项数列满足，.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前2023项的和.22．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）.(1)求数列的通项公式；(2)试确定的值，使得数列为等差数列；(3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求.23．（2023·广东深圳·校考二模）已知是等差数列，，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，记，求.24．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）记为数列的前项和，已知是公差为2的等差数列.(1)求的通项公式；(2)证明：.25．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知等差数列与等比数列的前项和分别为：，且满足：，(1)求数列的通项公式；(2)若求数列的前项的和.26．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前项和.27．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，，，数列满足，．(1)求，，；(2)求数列的前n项和．28．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知平面向量，，记，(1)对于，不等式（其中m，）恒成立，求的最大值．(2)若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a，b，c成等比数列，求的值．29．（2023·山东泰安·统考模拟预测）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中.(1)设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望；(2)设结束后，细胞数量为的概率为.（i）求；（ii）证明：.30．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）已知Q：,,…,为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的,在Q中存在,,,…,,使得,则称Q为m连续可表数列.(1)判断是否为7连续可表数列？是否为8连续可表数列？说明理由；(2)若Q：,,…,为8连续可表数列,求证：k的最小值为4.专题02首届新高考-数列大题综合（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）一、解答题1．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）数列中，(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用累加法计算可得；（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）因为，即，所以当时，，将以上各式相加，得，则，当时也符合上式，故.（2）由题意.所以2．（2023·湖南·校联考模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据下标和定理及得出，结合即可求出，进而写出通项公式；（2）首先写出的表达式，由裂项相消法得出，由解出即可．【详解】（1）设的公差为d，因为，所以，解得，又，所以．所以．（2）因为，所以，由，解得，所以．3．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)议，当取得最小值时，求n的取值．【答案】(1)(2)1，2，3．【分析】（1）由数列中与的关系即可求解；（2）分n为奇数和n为偶数时求出的表达式，观察其单调性即可得的最小值，从而求出n的取值.【详解】（1）因为，当时，，所以，又时，不满足上式，故数列的通项公式为.（2）当n为奇数时，，当，时，因为单调递增，∴，综上，当n为奇数时，；当n为偶数时，，因为单调递增，∴．综上所述，当取得最小值时，n的取值为1，2，3．4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，(1)求和的通项公式;(2)设满足，记的前项和为，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由条件结合等差数列通项公式和等比数列通项公式列方程求，再由通项公式求解；（2）根据分组求和法求和.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，由题意得:解得:

，；（2）由题意知，当时，当时，+1令则，

5．（2023·山东泰安·统考模拟预测）设是公比不为的等比数列，，为，的等差中项.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出公比，再根据等比数列的通项即可得解；（2）设，其前n项和为，利用错位相减法求出，再分和两种情况讨论即可得解.【详解】（1）设公比为，为，的等差中项，即，即为，解得或(舍去)，所以；（2），设，其前n项和为，所以，①，②①②得，所以，所以当时，，当时，，所以.6．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列满足．(1)证明是等比数列；(2)若，求的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解；（2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用等差等比数列的前项和公式，结合数列中的分组求和法即可求解.【详解】（1）由题意得．又因为，所以．所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得．所以．所以.7．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知等差数列前项和为，数列前项积为.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）求得数列的公差，由此求得.利用求得.（2）利用裂项相消求和法求得.【详解】（1）是等差数列，，即：，又，，.又，当时，，符合上式，.（2）由（1）可得：，.8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）在等比数列和等差数列中，，，．(1)求数列和的通项公式；(2)令，，记数列的前项积为，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列、等比数列通项公式即可求解；（2）求出，判断的单调性即可求解.【详解】（1）设数列的公比为，数列的公差为，由，有，，又由，有，有，又由，有，有，有，可得，得或（舍去），故，，故，；（2）证明：由（1）知：，，则，当时，；当时，，即，又，，，，，故，，当时，，．故．9．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）已知数列的前n项和为，且满足，等差数列中，，．(1)求数列，的通项公式；(2)记，，求数列的前n项和．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用与的关系求出，再利用等差数列的性质求出公差即可作答.（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和作答.【详解】（1）当时，，解得，当时，，则，即，于是，因此是以2为首项，2为公比的等比数列，则，等差数列中，，则公差，于是，所以数列，的通项公式分别为：，.（2）由（1）知，，，则，所以数列的前n项和.10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）数列中，，，记．(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)记，求的前n项和；(3)记，求的最大值与最小值．【答案】(1)证明见解析，(2)(3)最大值与最小值分别为，【分析】（1）只需证明等于非零常数即可证明数列是等比数列，由数列的通项公式可以推出数列的通项公式；（2）一个等差数列乘以一个等比数列的求和问题用错位相减法即可解决；（3）对分奇偶讨论，然后根据数列的单调性可以求得最值.【详解】（1）又，所以是以1为首项，2为公比的等比数列所以即．（2）由（1）知∴，①∴，②由①－②有：∴；（3）①当n为奇数时，，随着n的增大而减小，则，又随着的增大而增大，故；②当n为偶数时，，随着n的增大而增大，则，又随着的增大而增大，故．综上，的最大值与最小值分别为，．11．（2023·云南保山·统考二模）已知是数列的前n项和，，______.①，；②数列为等差数列，且的前3项和为6.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：(1)求；(2)设，求数列的前6项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【分析】（1）选①，分析可知数列、均为公差为的等差数列，求出的值，可求得、的表达式，可得出数列的通项公式；选②，求得的值，可得出数列的公差，即可求得，再由可求得数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式用裂项相消法即可求解.【详解】（1）选条件①：，，则，两式作差得，即数列，均为公差为4的等差数列，于是，又，所以，于是，所以.选条件②：因为数列为等差数列，且的前3项和为6，则，所以，又，所以，所以的公差为，所以，则，当时，又满足，所以对任意的，.（2）解法一：由（1）得，则，，所以.解法二：由（1）得则.12．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，且，当时，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，且，求数列的通项公式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据结合题意可得是以为首项，1为公差的等差数列，进而可得的通项公式；（2）根据累加法与错位相减法求解即可.【详解】（1）由，得，因为，所以，所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，当时，，当时，也满足上式，所以数列的通项公式为．（2）由知：当时，，①，则②，由得：，化简得：，当时，也满足上式，所以数列的通项公式为．13．（2023·云南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的定义以及的关系求解；（2）利用错位相减法可求得，在根据题意得即可求解.【详解】（1）由，得，又，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，∴，即，∴当时，，又不满足上式，所以.（2）由（1）知，∴，∴，①，②①−②得：，整理得，又因为对任意的正整数，恒成立，所以，∵，∴在上单调递增，，由，可得，所以实数的取值范围是.14．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）设数列的前项和满足，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的通项公式与前项和.【答案】(1)(2)，【分析】（1）先根据得到，利用，，成等比数列，可得，可判断数列是首项为1，公比为2的等比数列，即可得.（2）由得，利用分组求和法可得.【详解】（1）由已知，有，即，从而，，又因为，，成等比数列，即，所以，解得，所以，数列是首项为1，公比为2的等比数列，故.（2）因为是首项为1，公差为2的等差数列，所以，所以数列的通项公式为，.15．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知数列，满足：，，，．(1)若是等比数列，求的前n项和．(2)若是等比数列，则是否为等比数列？请阐述你的观点，并说明理由．【答案】(1)(2)不一定是等比数列，理由见解析【分析】（1）设的公比为，即可求出的通项公式，从而得到，则是以为首项，为公比的等比数列，分、、三种情况讨论，分别求出；（2）设的公比为，显然，即可得到，从而得到的奇数项为等比数列，偶数项为等比数列，即可判断.【详解】（1）设的公比为，则，所以，所以，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，当时，公比，所以；当时，公比，所以；当，即时，所以.（2）不一定是等比数列，理由如下：设的公比为，显然，则，又，，所以，，，，，，是以为首项，为公比的等比数列；，，，，，，是以为首项，为公比的等比数列；即为，，，，，，，所以当时是等比数列，当时不是等比数列.16．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列的前项和为是与的等差中项；数列中.(1)求数列与的通项公式；(2)若，证明：；(3)设，求.【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）利用等差中项性质结合与关系可得通项公式，由累加法可得的通项公式；由（1）可得，后结合裂项相消法可证明结论；（3）由错位相减法可得答案.【详解】（1）是与的等差中项，.当时，；当时，.则数列是以为首项，为公比的等比数列，则；当时，，满足上式，综上，，；（2）由（1），当时，.则当时，不等式成立；当时，；当时，综上，；（3）.则，得.则17．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知数列满足，且.(1)求证：数列是等比数列；(2)若，求满足条件的最大整数n.【答案】(1)证明见解析(2)99【分析】（1）由已知得再由等比数列的定义可得答案；（2）由（1）求出，再由等比数列的求和公式可得，令，根据的单调性可得答案.【详解】（1），，，，是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）：，，，令，因为在单调递增，所以在单调递增，单调递增，，可得，所以满足条件的最大整数为.18．（2023·安徽黄山·统考三模）已知数列的前项和为，.(1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式;(2)若，求数列的前项和.从①和②这两个条件中任意选择一个填入上面横线上，并完成解答.注:若选择多个条件作答，则按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析，(2)答案见解析【分析】（1）通过消去，得到从而得到证明；（2）若选①，则要运用错位相减法求和，若选②，先化简，然后分奇数偶数，利用分组求和计算.【详解】（1）依题意可得，两式相减并化简得，所以

又，，解得.所以，故由于，所以，于是.故数列是首项为3，公比为3的等比数列

，即（2）选①:由（1）得，则

两式相减得：

所以

选②:由（1）得，所以（i）当为偶数时，

（ii）当为奇数时，综上所述19．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知数列满足，．(1)计算：，猜想数列的通项公式，并证明你的结论；(2)若，，求k的取值范围．【答案】(1)，，，，，证明见解析(2)【分析】（1）根据递推式写出对应项，并猜测通项公式，应用数学归纳法证明即可；（2）利用作差法求的最小项，根据恒成立求参数范围.【详解】（1）由题设，，，，猜测，数学归纳法证明如下：由上及已知有均满足，假设，成立，则，满足上式；综上，且.（2）取，故，当时，当时，且为最小项，所以有，则.20．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数．(1)设，求数列的通项公式；(2)设，是否存在实数，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）利用给定的数阵及相关信息，求出等差数列公差、等比数列的公比即可求解作答.（2）利用等比数列前n项和公式求出，再分奇偶讨论求解不等式恒成立的值作答.【详解】（1）设，第一行从左到右成等差数列的公差为，则，由，得，即有，于是，又，解得，因此，所以，即．（2）由（1）知，，当为奇数时，不等式等价于恒成立，而恒成立，则；当为偶数时，不等式等价于恒成立，而恒成立，则，因此，所以存在，使得恒成立．21．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知正项数列满足，.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前2023项的和.【答案】(1)(2)2023【分析】（1）由递推关系式，结合累加法求得的通项公式，分析可得的通项公式；（2）根据的关系式，结合并项求和即可得的前2023项的和.【详解】（1）对任意的，因为，当时，，因为，故.当时，符合，所以，.（2），所以当时，，故.22．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）.(1)求数列的通项公式；(2)试确定的值，使得数列为等差数列；(3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求.【答案】(1)(2)(3)2226【分析】（1）由已知可求出的值，从而可求数列的通项公式；（2）由已知可得，根据数列为等差数列，得到，再求出的值即可；（3）根据题意可知的前项，由个，构成，再利用分组求和法求解即可.【详解】（1）由题意，可得，所以，解得或（舍），则，又，所以.（2）由，得，所以，，，因为数列为等差数列，所以，解得，所以当时，，由（常数）知此时数列为等差数列.（3）因为，所以与之间插入个2，，所以与之间插入个2，，所以与之间插入个2，……则的前项，由个，构成，所以.23．（2023·广东深圳·校考二模）已知是等差数列，，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，记，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出，即可求出通项；（2）由（1）可得，在分为偶数、奇数两种情况讨论，利用并项求和法计算可得.【详解】（1）因为是等差数列，，，且，，成等比数列，所以，即，解得或（舍去），所以．（2）由题意知，，所以．当为偶数时，，当为奇数时，．综上．24．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）记为数列的前项和，已知是公差为2的等差数列.(1)求的通项公式；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列的通项公式计算求解可得；（2）应用错位相减法计算即可.【详解】（1）因为，所以，因为是公差为2的等差数列，所以，所以.（2），①所以，②①-②则，所以.25．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知等差数列与等比数列的前项和分别为：，且满足：，(1)求数列的通项公式；(2)若求数列的前项的和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）将代入可求出，从而进出，故可求出；再由等差数列的前项和求出，代入可求出，再由等比数列的前项和求出，，进而求出；（2）由（1）求出，再由分组求和法求出数列的前项的和.【详解】（1），解得：设等差数列的公差为，等比数列的首项为，公比为，，，则：又，得：（2）数列的前项的和：.26．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据递推式得出是等差数列，然后求出基本量即可解答；（2）利用错位相减法即可求和.【详解】（1）∵，∴，∴数列是等差数列，设公差为，则由题有，解得，，∴数列的通项公式为.（2）∵，∴，∴，∴，①，②①②得：，∴.27．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知各项均不为零的数列满足，其前n项和记为，且，，，数列满足，．(1)求，，；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)，，10507(2)【分析】（1）首先利用数列与的关系，求得，再赋值求，再利用时，，即可求得；（2）由（1）可知，，再利用分组转化，以及错位相减法求和.【详解】（1）因为，，又数列各项均不为零，所以．当时，，所以当时，，所以，，两式相减可得，，∴；（2）由（1）可知，，设，当时，数列的前项和为28，当，数列的前项和为，设

，两式相减得，，解得：，，所以，，所以.28．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知平面向量，，记，(1)对于，不等式（其中m，）恒成立，求的最大值．(2)若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a，b，c成等比数列，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）化简得到，确定得到，，得到最值.（2）计算得到，确定，化简得到，根据正弦定理结合等比数列性质得到答案.【详解】（1），，则，故，，恒成立，故，，当，时，有最大值为.（2），即，，，故，，，，成等比数列，则，.29．（2023·山东泰安·统考模拟预测）现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的细胞，