东南大学数模课件-31量纲分析法

动力学物理量的量纲长度

l的量纲记L=[l]质量

m的量纲记M=[m]时间t

的量纲记T=[t]动力学中基本量纲M,

L,T速度v的量纲[v]=LT-1导出量纲加速度a

的量纲[a]=LT-2力f

的量纲[f]=MLT-2万有引力常数

G

的量纲[G]对无量纲量

，[

]=1(=M0L0T0)=M-1L3T-2动力学物理量的量纲长度l的量纲记L=[l]质量m的量1量纲齐次原则描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例：求单摆运动周期T

的表达式lmgm设物理量T,m,l,g

之间有关系式假设等价于无量刚量关系式量纲齐次原则描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲量纲2单摆运动中T,m,l,g

的一般表达式y1~y4为待定常数,

为无量纲量单摆运动中T,m,l,g的一般表达式y1~y4为3ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

与

f(q1,q2,,qm)=0

等价,F未定Pi定理(Buckingham)设

f(q1,q2,,qm)=0是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,

,

Xn

是基本量纲,n

m,q1,q2,

,

qm

的量纲可以表示为定义量纲矩阵线性齐次方程组有m-r

个基本解，记作为m-r

个相互独立的无量纲量,且则ys=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=4[l]=L,[v]=LT-1,[

]=ML-3,[p]=ML-1T-2,[

]=ML-1T-1,[g]=LT-2量纲分析示例：

（水头损失问题）管道内不可压缩粘性流体的压强差管道两端

压强差p管道长l,流速v,粘性系数

,

密度

重力加速度g。m=6,n=3选取物理量[l]=L,[v]=LT-1,[]=ML-35Ay=0有m-r=3个基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r个基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r

个无量纲量Ay=0有m-r=3个基本解rankA=3rank6

F(

1,

2,

3)=0与

(l,v,,p,,g)=0等价为得到差p

的显式表达式F=0

未定F(

1,

2,…,

m-r)=0与

f(q1,q2,,qm)=0等价隐函数定理F(1,2,3)=0与为得到差p的7[g]=LT-2,[l]=L,[

]=ML-3,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=MLT-2量纲分析示例：波浪对航船的阻力航船阻力f航船速度v,船体尺寸l,浸没面积s,海水密度

,重力加速度g。m=6,n=3[g]=LT-2,[l]=L,[]=ML-8Ay=0有m-r=3个基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r个基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r

个无量纲量Ay=0有m-r=3个基本解rankA=3rank9

F(

1,

2,

3)=0与

(g,l,,v,s,f)=0等价为得到阻力f的显式表达式F=0

未定F(

1,

2,…,

m-r)=0与

f(q1,q2,,qm)=0等价F(1,2,3)=0与为得到阻力f103.2量纲分析在物理模拟中的应用例:航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力~模型船的参数(均已知)可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力~原型船的参数(f1未知，其他已知)注意：二者的

相同3.2量纲分析在物理模拟中的应用例:航船阻力的物11

结论：按一定尺寸比例造模型船，量测f，

可算出f1~物理模拟结论：按一定尺寸比例造模型船，量测f，

12量纲分析法的评注

物理量的选取

基本量纲的选取

基本解的构造

结果的局限性

(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数n;选哪些基本量纲有目的地构造Ay=0的基本解

方法的普适性函数F和无量纲量未定不需要特定的专业知识量纲分析法的评注物理量的选取基本量纲的选取基本解的构造133.3无量纲化方法无量纲化方法是用数学工具研究物理问题的常用方法，通过选择恰当的变换可以减少参数，简化某些数学问题。r,K为正参数x具有量纲，且

与K

量纲相同例1：简化常微分方程x->y

变量无量纲化简化后的模型不含参数！便于理论分析和数值求解。t具有量纲，且

与1/r

量纲相同3.3无量纲化方法无量纲化方法是用数学工具研究物理问题的14卡丹公式（Cardano'sFormula

）例2：简化三次方程卡丹公式（Cardano'sFormula）例2：简化三15例3：简