2024届六盘水市重点中学数学高一上期末综合测试试题含解析

2024届六盘水市重点中学数学高一上期末综合测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A.5 B.6C.8 D.102．设集合，集合，则等于（）A(1,2) B.(1,2]C.[1,2) D.[1,2]3．设向量,,,则A. B.C. D.4．下列命题中正确的是（）A. B.C. D.5．已知向量，，则在方向上的投影为A. B.8C. D.6．已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则实数的值为（）A. B.10C. D.57．设，且，则的最小值是（）A. B.8C. D.168．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是常数．已知当时，污染物含量降为过滤前的，那么（）A. B.C. D.9．设，且，则（）A. B.C. D.10．命题关于的不等式的解集为的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如果对任意实数x总成立，那么a的取值范围是____________.12．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________.13．第24届冬季奥林匹克运动会（TheXXIVOlympicWinterGames），即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者，参与北京冬奥会高山滑雪比赛项目的服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派__________人.14．若函数是幂函数，则函数（其中，）的图象过定点的坐标为__________15．函数的单调增区间是__________16．下列命题中，正确命题的序号为______①单位向量都相等；②若向量，满足，则；③向量就是有向线段；④模为的向量叫零向量；⑤向量，共线与向量意义是相同的三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．计算求值：（1）计算：；（2）.18．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为（）件.当时，年销售总收入为（）万元；当时，年销售总收入为万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元.(年利润=年销售总收入一年总投资)(1)求(万元)与(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?19．若函数是奇函数()，且，.(1)求实数,,的值；(2)判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明.20．某城市地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足.经测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁为满载状态，载客量为人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，记地铁载客量为.（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，地铁的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？每分钟的最大净收益为多少？21．（1）已知角的终边过点，且，求的值；（2）已知，，且，求.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】从图象中的最小值入手，求出，进而求出函数的最大值，即为答案.【题目详解】从图象可以看出，函数最小值为-2，即当时，函数取得最小值，即，解得：，所以，当时，函数取得最大值，，这段时间水深（单位：m）的最大值为8m.故选：C2、B【解题分析】由指数函数、对数函数的性质可得、，再由交集的运算即可得解.【题目详解】因为，，所以.故选：B.【题目点拨】本题考查了指数不等式的求解及对数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题.3、A【解题分析】，由此可推出【题目详解】解：∵，，，∴，，，，故选：A【题目点拨】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查平面向量的模，属于基础题4、A【解题分析】利用平面向量的加法、加法法则可判断ABD选项的正误，利用平面向量数量积可判断C选项的正误.【题目详解】对于A选项，，A选项正确；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项错误.故选：A.5、D【解题分析】依题意有投影为.6、A【解题分析】由向量的线性运算，求得，根据三点共线，得到，列出方程组，即可求解.【题目详解】由，，可得，因为，，三点共线，所以，所以存在唯一的实数，使得，即，所以，解得，.故选：A.7、B【解题分析】转化原式为，结合均值不等式即得解【题目详解】由题意，故则当且仅当，即时等号成立故选：B8、C【解题分析】根据题意列出指数式方程，利用指数与对数运算公式求出的值.【题目详解】由题意得：，即，两边取对数，，解得：.故选：C9、D【解题分析】根据同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，即可得到答案；详解】，，，，故选：D10、D【解题分析】根据三个二次式的性质，求得命题的充要条件，结合选项和充分不必要的判定方法，即可求解.【题目详解】由题意，命题不等式的解集为，即不等式的解集为，可得，解得，即命题的充要条件为，结合选项，可得，所以是的一个充分不必要条件.故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】先利用绝对值三角不等式求出的最小值，进而求出a的取值范围.【题目详解】，当且仅当时等号成立，故，所以a的取值范围是.故答案为：12、【解题分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果【题目详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形的面积，解得：，此扇形所含的弧长.故答案为：.13、10【解题分析】根据分层抽样原理求出抽取的人数【题目详解】解：根据分层抽样原理知，，所以在大一青年志愿者中应选派10人故答案为：1014、（3，0）【解题分析】若函数是幂函数，则，则函数（其中，），令，计算得出：，，其图象过定点的坐标为15、，【解题分析】分析：利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间.详解：，，，由，计算得出，因此函数的单调递增区间为：，故答案为，.点睛：本题主要考查三角函数的单调性，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1)代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.16、④⑤【解题分析】由向量中单位向量，向量相等、零向量和共线向量的定义进行判断，即可得出答案.【题目详解】对于①.单位向量方向不同时，不相等，故不正确.对于②.向量，满足时，若方向不同时，不相等，故不正确.对于③.有向线段是有方向的线段，向量是既有大小、又有方向的量.向量可以用有向线段来表示，二者不等同，故不正确,对于④.根据零向量的定义，正确.对于⑤.根据共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，故正确.故答案为：④⑤三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）102（2）【解题分析】根据指数幂运算律和对数运算律，计算即得解【小问1详解】【小问2详解】18、（1）（）；（2）当年产量为件时，所得年利润最大，最大年利润为万元.【解题分析】（1）根据已知条件，分当时和当时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；（2）根据（1）中函数解析式，求出最大值点和最大值即可【题目详解】（1）由题意得：当时，，当时，，故（）；（2）当时，，当时，，而当时，，故当年产量为件时，所得年利润最大，最大年利润为万元.【题目点拨】本题主要考查函数模型及最值的求法，正确建立函数关系是解题的关键，属于常考题.19、(1),,；(2)在上为增函数,证明见解析.【解题分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，进而可得，解可得、、的值，即可得答案；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可【题目详解】解：(1)根据题意，函数是奇函数（），且，则，又由，则有，且，解得，，.(2)由(1)可得：，函数在上为增函数证明：设任意的，，又由，则且，，则有，故函数在上为增函数【题目点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出、、的值，属于基础题20、（1），人（2）当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元【解题分析】（1）由题意分别写出与时，的表达式，写成分段函数的形式，可得的表达式，可得的值；（2）分别求出时，时，净收益为的表达式，并求出其最大值，进行比较可得净收益最大及收益最大时的时间.【题目详解】解：当时，当时，设解得，所以，所以(人)当时，当时当时，当且仅当时，即时，取到最大值.答:的表达式为当发车时间间隔为分钟时，地铁的载客量为人.当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分