辽宁省沈阳市第一七O中学2024届高一数学第一学期期末监测试题含解析

辽宁省沈阳市第一七O中学2024届高一数学第一学期期末监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数f（x）=2ax+1–1（a>0，且a≠1）恒过定点A.（–1，–1） B.（–1，1）C.（0，2a–1） D.（0，1）2．已知是偶函数，且在上是减函数，又，则的解集为（）A. B.C. D.3．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（）A.异面 B.相交C.平行 D.垂直4．已知幂函数的图象过点，则的值为A. B.C. D.5．下图是函数的部分图象，则（）A. B.C. D.6．已知条件，条件，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且满足，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.8．若函数在定义域上的值域为，则（）A. B.C. D.9．已知函数有唯一零点，则负实数（）A. B.C.-3 D.-210．已知，则A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的递减区间是__________.12．一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为__________13．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为___________.14．已知直线：，直线：，若，则__________15．已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，则实数值是____________16．函数在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a的值是___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点（1）求证：CD⊥平面A1ABB1；（2）求证：AC1∥平面CDB118．已知，．若，求的取值范围.19．某旅游风景区发行的纪念章即将投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天2620市场价y元10278120（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①；②；③；（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；（3）利用你选取的函数，若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围.20．已知二次函数.（1）若为偶函数，求在上的值域：（2）若时，的图象恒在直线的上方，求实数a的取值范围.21．计算下列各式的值（1）；（2）已知，求

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】令x+1=0，求得x和y的值，从而求得函数f（x）=2ax+1–1（a>0，且a≠1）恒过定点的坐标【题目详解】令x+1=0，求得x=-1，且y=1，故函数f（x）=2ax+1–1（a＞0且a≠1）恒过定点（-1，1），故选B.【题目点拨】】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题2、B【解题分析】根据题意推得函数在上是增函数，结合，确定函数值的正负情况，进而求得答案.【题目详解】是偶函数，且在上是减函数，又，则，且在上是增函数，故时，，时，，故的解集是，故选：B.3、D【解题分析】若直线l∥α，α内至少有一条直线与l垂直，当l与α相交时，α内至少有一条直线与l垂直当l⊂α，α内至少有一条直线与l垂直故选D4、B【解题分析】利用幂函数图象过点可以求出函数解析式，然后求出即可【题目详解】设幂函数的表达式为，则，解得，所以，则.故答案为B.【题目点拨】本题考查了幂函数，以及对数的运算，属于基础题5、B【解题分析】由图象求出函数的周期，进而可得的值，然后逆用五点作图法求出的值即可求解.【题目详解】解：由图象可知，函数的周期，即，所以，不妨设时，由五点作图法，得，所以，所以故选：B.6、B【解题分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断【题目详解】由，得，即，由，得，即推不出，但能推出，∴p是q的必要不充分条件.故选：B7、D【解题分析】先作函数和的图象，利用特殊值验证A错误，再结合对数函数的性质及二次函数的对称性，计算判断BCD的正误即可.【题目详解】作函数和的图象，如图所示：当时，，即，解得，此时，故A错误；结合图象知，，当时，可知是方程，即的二根，故，，端点取不到，故BC错误；当时，，即，故，即，所以，故，即，所以，故D正确.故选：D.【题目点拨】方法点睛：已知函数有零点个数求参数值(取值范围)或相关问题，常先分离参数，再作图象，将问题转化成函数图象的交点问题，利用数形结合法进行分析即可.8、A【解题分析】的对称轴为，且，然后可得答案.【题目详解】因为的对称轴为，且所以若函数在定义域上的值域为，则故选：A9、C【解题分析】注意到直线是和的对称轴，故是函数的对称轴，若函数有唯一零点，零点必在处取得，所以，又,解得.选C.10、D【解题分析】考点：同角间三角函数关系二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性“同增异减”原则求出函数的单调递减区间即可得出答案【题目详解】解：意可知，解得，所以的定义域是，令,对称轴是，在上是增函数，在是减函数，又在定义域上是增函数，是和的复合函数，的单调递减区间是，故答案为：【题目点拨】本题主要考查对数型复合函数的单调区间，属于基础题12、【解题分析】几何体为一个圆锥与一个棱柱的组合体,体积为13、【解题分析】先判断为奇函数，且在R上为增函数，然后将转化为，从而有，进而可求出m的取值范围【题目详解】由题意可知，的定义域为R，因为，所以为奇函数.因为，且在R上为减函数，所以由复合函数的单调性可知在R上为增函数.又，所以，所以，解得.故答案为：.14、1【解题分析】根据两直线垂直时，系数间满足的关系列方程即可求解.【题目详解】由题意可得：，解得：故答案为：【题目点拨】本题考查直线垂直的位置关系，考查理解辨析能力，属于基础题.15、1或-1【解题分析】令x=0，得y=k；令y=0，得x=−2k.∴三角形面积S=|xy|=k2.又S=1，即k2=1，值是1或-1.16、【解题分析】分类讨论，根据单调性求值域后建立方程可求解.【题目详解】若，在上单调递减，则，不符合题意；若，在上单调递增，则，当值域为时，可知，解得.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）见解析【解题分析】（1）欲证CD⊥平面A1ABB1，可先证平面ABC⊥平面A1ABB1，CD⊥AB，面ABC∩面A1ABB1=AB，满足根据面面垂直的性质；（2）欲证AC1∥平面CDB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AC1与平面CDB1内一直线平行，连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE．根据中位线可知DE∥AC1，DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，满足定理所需条件【题目详解】（1）证明：∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴平面ABC⊥平面A1ABB1∵AC=BC，点D是AB的中点，∴CD⊥AB，面ABC∩面A1ABB1=AB∴CD⊥平面A1ABB1（2）证明：连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1．∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1【题目点拨】本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题18、.【解题分析】利用对函数数的性质化简，利用一元二次不等式的解法，讨论，，三种情况，分别分析集合，再结合，解得的取值范围【题目详解】由，得，解得，即，由，得，当时，是空集，不满足，不符合题意，舍去；当时，，不满足，不符合题意，舍去；当时，解得，因为，所以的取值范围是.19、（1）选择，理由见解析，（2）上市天数10天，最低价格70元，（3）【解题分析】(1)根据函数的单调性选取即可.(2)把点代入中求解参数,再根据二次函数的最值求解即可.(3)参变分离后再求解最值即可.【题目详解】（1）随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中和显然都是单调函数，不满足题意，∴选择.（2）把点代入中，得，解得，∴当时，y有最小值故当纪念章上市10天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为70元，（3）由题意，令，若存在使得不等式成立，则须，又，当且仅当时，等号成立，所以.【题目点拨】本题主要考查了二次函数模型解决实际问题的题型,需要根据题意求解对应的二次函数式再分析最值与求参数.属于中等题型.20、（1）；（2）【解题分析】（1）函数为二次函数，其对称轴为．由f（x）为偶函数，可得a＝2，再利用二次函数的单调性求出函数f（x）在[−1，2]上的值域；（2）根据题意可得f（x）＞ax恒成立，转化为恒成立，将参数分分离出来，再利用均值不等式判断的范围即可【小问1详解】根据题意，函数为二次函数