2024届北京市中央民族大学附中高一数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2024届北京市中央民族大学附中高一数学第一学期期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（）A.6 B.C.12 D.2．已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则的取值范围是（）A. B.C. D.3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A. B.C. D.4．若实数，满足，则的最小值是（）A.18 B.9C.6 D.25．已知函数，若正实数、、、互不相等，且，则的取值范围为（）A. B.C. D.6．某人去上班，先跑步，后步行.如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（）.A. B.C. D.7．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是A. B.C. D.8．关于的方程的所有实数解的和为A.2 B.4C.6 D.89．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（）A.相切 B.相交C.相离 D.不确定10．“”是“关于的方程有实数根”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，则的值为___________.12．已知，则用表示______________；13．已知，，则_________.14．设奇函数对任意的，，有，且，则的解集___________.15．已知函数．则函数的最大值和最小值之积为______16．已知幂函数y＝xα的图象过点(4，)，则α＝__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，函数的图像与的图像关于对称.（1）求的值；（2）若函数在上有且仅有一个零点，求实数k取值范围；（3）是否存在实数m，使得函数在上的值域为，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.18．已知的数（1）有解时，求实数的取值范围；（2）当时，总有，求定的取值范围19．已知直线与的交点为.（1）求交点的坐标；（2）求过交点且平行于直线的直线方程.20．如图，某公园摩天轮的半径为40，圆心O距地面的高度为50，摩天轮做匀速转动，每3转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.（1）已知在时点P距离地面的高度为，求时，点P距离地面的高度；（2）当离地面以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌.21．已知A（1，1）和圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1，一束光线从A发出，经x轴反射后到达圆C（1）求光线所走过的最短路径长；（2）若P为圆C上任意一点，求x2+y2﹣2x﹣4y的最大值和最小值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】根据海伦秦九韶公式和基本不等式直接计算即可.【题目详解】由题意得：，，当且仅当，即时取等号，故选：B2、D【解题分析】作出函数的图象，结合图象即可求出的取值范围.【题目详解】作函数和的图象，如图所示，可知的取值范围是，故选D．3、C【解题分析】根据奇偶性排除A和D，由排除B.【题目详解】由图可知，的图象关于原点对称，是奇函数,，，则函数，是偶函数，排除A和D．当时，恒成立，排除B.故选：C4、C【解题分析】，利用基本不等式注意等号成立条件，求最小值即可【题目详解】∵，，∴当且仅当，即，时取等号∴的最小值为6故选：C【题目点拨】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，注意应用基本不等式的前提条件：“一正二定三相等”5、A【解题分析】利用分段函数的定义作出函数的图象，不妨设，根据图象可得出，，，的范围同时，还满足，即可得答案【题目详解】解析：如图所示：正实数、、、互不相等，不妨设∵则，∴，∴且，，∴故选：A6、D【解题分析】根据随时间的推移该人所走的距离的大小的变化快慢，从而即可获得问题的解答，即先利用时的函数值排除两项，再利用曲线的斜率反映行进速度的特点选出正确结果【题目详解】解：由题意可知：时所走的路程为0，离单位的距离为最大值，排除A、C，随着时间的增加，先跑步，开始时随的变化快，后步行，则随的变化慢，所以适合的图象为D；故选：D7、A【解题分析】最小正周期，且在区间上为减函数，适合；最小正周期为，不适合；最小正周期为，在区间上不单调，不适合；最小正周期为，在区间上为增函数，不适合.故选A8、B【解题分析】本道题先构造函数，然后通过平移得到函数，结合图像，计算，即可【题目详解】先绘制出，分析该函数为偶函数，而相当于往右平移一个单位，得到函数图像为：发现交点A,B,C,D关于对称，故，故所有实数解的和为4，故选B【题目点拨】本道题考查了函数奇偶性判定法则和数形结合思想，绘制函数图像，即可9、B【解题分析】由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系.【题目详解】点在圆外，，圆心到直线距离，直线与圆相交.故选B.【题目点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10、A【解题分析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【题目详解】当时，方程的实数根为，当时，方程有实数根，则，解得，则有且，因此，关于的方程有实数根等价于，所以“”是“关于的方程有实数根”的充分而不必要条件.故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、##【解题分析】根据给定条件结合二倍角的正切公式计算作答.【题目详解】因，则，所以的值为.故答案为：12、【解题分析】根据对数的运算性质，对已知条件和目标问题进行化简，即可求解.【题目详解】因为，故可得，解得..故答案：.【题目点拨】本题考查对数的运算性质，属基础题.13、【解题分析】利用两角差的正切公式可计算出的值.【题目详解】由两角差的正切公式得.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用两角差的正切公式求值，解题的关键就是弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.14、【解题分析】可根据函数的单调性和奇偶性，结合和，分析出的正负情况，求解.【题目详解】对任意，，有故在上为减函数，由奇函数的对称性可知在上为减函数，则则，，，；，；，；，.故解集为：故答案为：【题目点拨】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性15、80【解题分析】根据二次函数的性质直接计算可得.【题目详解】因为，所以当时，，当时，，所以最大值和最小值之积为.故答案为：8016、【解题分析】把点的坐标代入幂函数解析式中即可求出.【题目详解】解：由幂函数的图象过点，所以，解得.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或（3）存在，【解题分析】（1）由题意，将代入可得答案.（2）由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，设,作出其函数图像，数形结合可得答案.（3）设记，则函数在上单调递增，根据题意若存在实数m满足条件，则a，b是方程的两个不等正根，由二次方程的根的分布的条件可得答案.【小问1详解】由题意，，所以【小问2详解】由题意即关于x的方程在上有且仅有一个实根，设，作出函数在上的图像（如下图），，由题意，直线与该图像有且仅有一个公共点，所以实数k的取值范围是或【小问3详解】记，其中，在定义域上单调递增，则函数在上单调递增，若存在实数m，使得的值域为，则，即a，b是方程的两个不等正根，即a，b是的两个不等正根，所以解得，所以实数m的取值范围是.【题目点拨】思路点睛：函数的零点问题可转化为两个熟悉函数的图象的交点问题来处理，而二次方程的零点问题，可结合判别式的正负、特殊点处的函数值的正负、对称轴的位置等来处理.18、（1）；（2）【解题分析】（1）通过分离参数法得，再通过配方法求最值即可（2）由已知得恒成立，化简后只需满足且，求解即可.【题目详解】（1）由已知得，所以（2）由已知得恒成立，则所以实数的取值范围为19、(1)点的坐标是;(2)直线方程为.【解题分析】（1）联立两条直线的方程得到交点坐标；（2）根据条件可设所求直线方程为，将P点坐标代入得到参数值解析：（1）由解得所以点的坐标是.（2）因为所求直线与平行，所以设所求直线方程为把点坐标代入得，得故所求的直线方程为.20、（1）70；（2）0.5.【解题分析】（1）根据题意，确定的表达式，代入运算即可；（2）要求，即，解不等式即可.【题目详解】（1）依题意，，，，由得，所以.因为，所以，又，所以.所以，所以.即时点P距离地面的高度为70m.（2）由（1）知.令，即，从而，∴.∵，∴转一圈中在点P处有0.5min的时间可以看到公园的全貌.【题目点拨】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是能根据题目条件，得出相应的函数模型，作出正确的示意图，然后再由三角函数中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，是中档题21、（1）；（2）最大值为11，最小值为﹣1【解题分析】(1)点关于x轴的对称点在反射光线上,当反射光线从点经轴反射到圆周的路程最短,最短为;(2)将式子化简得到,转化为点点距,进而转化为圆心到的距离,加减半径,即可求得最值.【题目详解】（1）关于x轴的对称点为，由圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1得圆心坐标为C