2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册同步备课试题1-4充分条件与必要条件（5大题型）（解析版）

1.4充分条件与必要条件（5大题型）分层作业题型目录考查题型一：充分条件与必要条件的判断考查题型二：根据充分条件求参数取值范围考查题型三：根据必要条件求参数取值范围考查题型四：根据充要条件求参数取值范围考查题型五：充要条件的证明考查题型一：充分条件与必要条件的判断1．（2023·全国·高一假期作业）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【解析】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出，因为是的的充分条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确，因为，，，所以，推不出，故是的充分不必要条件，②正确；因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；因为，，所以，又，所以是的充要条件，命题④错误；故选：B.2．（2023·江苏·高一假期作业）已知实数a，b，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】为充要条件．故选：C.3．（2023·安徽·高一淮北一中校联考开学考试）是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，则有成立，即成立；当时，，即成立，但此时不成立．综上可知，是的充分不必要条件．故选：A．4．（2023·山东临沂·高一校考期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的什么条件？（

）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分条件，结合选项，可得A正确；故选:A.5．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】由可得，解得或.所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A.6．（2023·江西·高一宁冈中学校考期末）已知，则“”的一个必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于可得，故“”是“”的必要条件，由不能得到，，，比如，故选：D7．（2023·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】关于的不等式的解集为R，则，解得，所以“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充一个分条件“”.故选：B.考查题型二：根据充分条件求参数取值范围1．（2023·高一课时练习）集合，.(1)当时，求；(2)从下面条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数m的取值范围条件①：是的充分条件；条件②：；条件③：.注：答题时应首先说明本人所选条件，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【解析】（1）当时，，则；（2）若选①，则有，即；若选②，则有；若选③，则有.2．（2023·高一单元测试）已知全集，集合，.(1)当时，求和；(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【解析】（1）当时，集合，因为，所以.所以，（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，所以是的真子集，而不为空集，所以，因此.3．（2023·广东广州·高一统考期末）已知全集，集合，集合，其中.(1)当时，求；(2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围.【解析】（1），故，，（2）“”是“”的充分条件，故，故，解得，故a的取值范围是4．（2023·全国·高一专题练习）设集合，命题，命题(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.【解析】（1）由条件，是的充要条件，得，即，解得，所以实数的取值范围是.（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，所以，或，解得，综上实数的取值范围是.5．（2023·安徽安庆·高一安庆市第七中学校考期中）设集合，，.若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围.【解析】由“”是“”的充分不必要条件，可得BA，故当时，，符合题意；当时，需满足，且中等号不能同时取得，解得，综合以上，m的取值范围为或.6．（2023·四川南充·高一校考阶段练习）已知非空集合，集合，命题.命题.(1)当实数为何值时，是的充要条件；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【解析】（1）因为集合解得.集合解得.是的充要条件,故,即与是方程的两个根，所以.（2）是的充分不必要条件，故集合是集合的真子集.由（1）知当时，即或，，故或解得.当时，即，，故或解得.当时，即或，满足集合是集合的真子集，故或.综上所述：的取值范围为考查题型三：根据必要条件求参数取值范围1．（2023·高一课时练习）已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解析】因为p是q的必要不充分条件，所以是的真子集，故有或解得.又，所以实数m的取值范围为．2．（2023·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知：关于的方程有实数根，：．若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【解析】命题是真命题，即，因为命题是命题的必要不充分条件，则，因此，解得，所以实数的取值范围是.3．（2023·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知.(1)是否存在实数，使是的充要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由;(2)是否存在实数，使是的必要条件?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.【解析】（1）要使是的充要条件，则即，此方程组无解.所以不存在实数，使是的充要条件.（2）要使是的必要条件，则，当时，，解得当时，，解得要使，则有，解得，所以综上可得，当时，是的必要条件.4．（2023·甘肃临夏·高一校考阶段练习）已知条件集合，条件非空集合．(1)若是的必要条件，求实数的取值范围．(2)若是的必要条件，求实数的取值范围．(3)否存在实数，使是的充要条件．【解析】（1）因为是的必要条件，所以，又，，所以，解得，即实数的取值范围是；（2）若是的必要条件，则⇒，所以，又或，或，所以，解得，故实数的取值范围；（3）若是的充要条件，则，所以，方程组无解，故不存在实数，使是的充要条件．5．（2023·高一课时练习）已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根.(1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.(2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围.【解析】（1）假设存在满足条件的实数a，则，即，.因为，是关于x的方程的两个不同的实数根，所以，即，解得，即当时，“”是“”的充要条件.（2）由题意可知，关于x的方程的两根分别为和.因为“”是“”的必要不充分条件，所以BA.当，即时，，则解得；当，即时，，则解得.综上，a的取值范围是或.6．（2023·江苏常州·高一校考阶段练习）设集合，，命题p：，命题q：．(1)若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围．【解析】(1)由，得，解得，所以，由p是q的充要条件，得，即，解得，所以实数a的取值范围是；(2)由p是q的必要不充分条件，得，又，则，所以，解得，综上实数a的取值范围是．7．（2023·高一课时练习）已知关于的方程的解集至多有两个子集，，．若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【解析】∵是的必要不充分条件，∴是的充分不必要条件，对于，依题意，知，∴，设，，由题意知，∴，或，解得，故实数的取值范围是：．考查题型四：根据充要条件求参数取值范围1．（2023·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是．【答案】3【解析】由得，故，因为“”是“”的充要条件，所以，解得，所以实数m的取值是3.故答案为：3.2．（2023·高一课时练习）设，一元二次方程有实数根的充要条件是．【答案】或或或【解析】一元二次方程有实数根,，解得，又，.故答案为：或或或．3．（2023·高一课时练习）函数的图像不过原点的充要条件是．【答案】【解析】当时，，即函数图像过点，充分性：因为函数图像不过点，所以；必要性：因为，所以点与点不重合，即函数图像不过原点.4．（2023·山东济宁·高一校考阶段练习）集合中至多有一个元素的充要条件是

.【答案】或【解析】由已知得方程至多一个根，或，解得故答案为或5．（2023·高一课时练习）“反比例函数的图象与函数的图象没有公共点”的充要条件是“”，则集合.【答案】【解析】，分两种情况讨论，分别画出反比例函数和函数的图象，如图，由图可知，它们的图象没有公共点，则<0，所以答案为.6．（2023·广东东莞·高一校考阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】方程有实根，故，解得或.方程有实根，故，解得.综上所述，，只有D选项符合.若方程与有一个公共实数根，设公共实根为，则，两式相减得，由于，所以，所以.当时，两个方程分别为、，方程的两个根为；方程的两个根为；即方程与有一个公共实数根.综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是.故选：D7．（2023·上海崇明·高一统考期末）“”是“关于的不等式的解集为”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】关于的不等式的解集为，当时，不等式为，解集为，符合题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；综上，所以“”是“关于的不等式的解集为”的充要条件.故选：C.考查题型五：充要条件的证明1．（2023·高一课时练习）设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件．【解析】必要性：设方程与的公共根为，则，，两式相加得（舍去），将代入，得，整理得.所以.充分性：当时，，于是等价于，所以，该方程有两根，.同样等价于，所以，该方程亦有两根，.显然，两方程有公共根.故方程与有公共根的充要条件是.2．（2023·全国·高一假期作业）求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.【解析】充分性：若，则等式显然对任意实数恒成立，充分性成立；必要性：由于等式对任意实数恒成立，分别将，，代入可得，解得，必要性成立，故等式对任意实数恒成立的充要条件是.3．（2023·高一单元测试）（1）已知集合，．证明：的充要条件是；（2）模仿上述命题，写出一个不同于（1）的命题，判断命题的真假并说明理由．【解析】（1），即大前提包括都不为零.所以，即的充要条件是.（2）已知均为非零实数，，.命题：的充要条件是.这是假命题，理由如下：当时，取，则，，所以不是的充要条件.4．（2023·全国·高一假期作业）已知，是实数，求证：成立的充要条件是.【解析】先证明充分性：若，则成立．所以“”是“”成立的充分条件；再证明必要性：若，则，即，，，，，即成立．所以“”是“”成立的必要条件.综上：成立的充要条件是．5．（2023·江苏苏州·高一苏州市第五中学校校考阶段练习）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是.【解析】先证明充分性：若，设方程的两个实根为，，则，，，故方程有两个同号且不相等的实根；再证明必要性：若方程有两个同号且不相等的实根，令，当时，其图象是开口方向朝上，且以为对称轴的抛物线若关于的方程有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的正根，则函数，有两个正零点，则，解得；当时，其图象是开口方向朝下，且以为对称轴的抛物线若关于的方程有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的负根，则函数，有两个负零点，则，无解；故关于的方程有两个同号且不相等的实根，则的取值范围是；方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是．1．（2023·高一课时练习）关于x的方程，以下命题正确的个数为（

）（1）方程有二正根的充要条件是；（2）方程有二异号实根的充要条件是；（3）方程两根均大于1的充要条件是.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】对于（1），令满足，但，方程无实数解，（1）错；对于（2），必要性：方程，有一正根和一负根，.充分性：由可得，所以及,方程有一正根和一负根，（2）对；对于（3），令，两根为，满足，但不符合方程两根均大于1，（3）错.故选：B2．（2023春·湖南·高一校联考期中）已知，为非零实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，即成立，故充分性成立；取，，则成立，但不成立，故必要性不成立.因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A3．（2023春·河南信阳·高一信阳高中校考期末）设命题命题则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当，则，故p是q的充分条件；当，则可令，不能得到，则p不是q的必要条件.则p是q的充分不必要条件.故选：A4．（2023秋·安徽黄山·高一统考期末）已知“p:一元二次方程有一正根和一负根；q:.”则p是q的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为方程有一正根和一负根，则有，所以，故p是q的充分必要条件.故选：C5．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】若，则同号，所以成立，充分性成立；若成立，两边同时平方可得：，所以，则，所以必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：.6．（2020秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分不必要条件；③是的必要不充分条件；④是的充分不必要条件；正确的命题序号是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【解析】因为是的充分不必要条件，所以，，因为是的充分条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为是的必要条件，所以，因为，，所以，又，所以是的充要条件；命题①正确，因为，，，所以，若，则，，，故，与矛盾，所以，所以是的充分不必要条件，命题②正确；因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；因为，，所以，又，所以是的充要条件，命题④错误；故选：B.7．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市回民中学校考期末）使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，所以，解得，即成立的充要条件为：，对于A，由，得，是“”成立的充分不必要条件；对于B，由，得，是“”成立的充要条件；对于C，是“”成立的必要不充分条件；对于D，，得或，是“”成立的既不充分也不必要条件.故选：C.8．（2022秋·浙江·高一校联考期中）设x为任一实数，[x]表示不大于x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】充分性：当，时，但，，充分性不成立.必要性：设，令，则，，由此可得，即，必要性成立.故”是“的必要不充分条件.故选:C9．（多选题）（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知集合或，则的必要不充分条件可能是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】因为集合或，当时，，解得，此时，当时，，解得，若，则，解得，又，则，则的充要条件为，所以的必要不充分条件可能是，，故选：AB．10．（多选题）（2022秋·江苏苏州·高一校联考期中）在整数集Z中，被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，5，则（

）A．B．C．“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”D．“整数a，b满足”是“”的必要不充分条件.【答案】BC【解析】对A，因为，由可得，所以，A错；对B，，B对；对C，充分性：若整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为0，即；必要性：若，则被6除所得余数为0，则整数a，b被6除所得余数相同，所以“整数a、b属于同一‘类’”的充要条件是“”，C对；对D，若整数a，b满足，则，所以，故；若，则可能有，故整数a，b满足”是“”的充分不必要条件，D错故选：BC11．（多选题）（2022秋·江苏苏州·高一统考期中）下列命题为真命题的是（

）A．是的必要不充分条件B．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件C．是的充分不必要条件D．的充要条件是【答案】BD【解析】选项A，必要性：，当时，此时，该选项错误；选项B，，中有一个数为有理数时，不一定为有理数（如：），所以或为有理数不一定能推导出为有理数；为有理数时，，可能均为无理数（如：），所以，此时为有理数不一定能推导出或为有理数，所以该选项正确；选项C，充分性：，必要性：，应为充要条件，所以该选项错误；选项D，必要性：，所以，即，所以；充分性：，则，该选项正确.故选：BD.12．（多选题）（2022秋·江苏淮安·高一统考期中）若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由题意可知是的充分不必要条件，则，故，故a的值可取，故选：BCD.13．（2023·高一单元测试）设A，B是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数．则“”是“”的条件．【答案】充分必要【解析】若，则，则，故成立，若，则，所以，所以“”是“”的充要条件，故答案为：充分必要14．（2023春·甘肃兰州·高一校考开学考试）设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的条件.【答案】必要不充分【解析】因为甲是乙的充分不必要条件