曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

./第十一章解题方法归纳一、曲线积分与曲面积分的计算方法1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下：<1>利用性质计算曲线积分和曲面积分.<2>直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分<3>利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分.<4>利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分.<5>利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分.<6>利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分.2.在具体计算时,常用到如下一些结论：〔1若积分曲线关于轴对称,则其中是在右半平面部分.若积分曲线关于轴对称,则其中是在上半平面部分.〔2若空间积分曲线关于平面对称,则.〔3若积分曲面关于面对称,则其中是在面上方部分.若积分曲面关于面对称,则其中是在面前方部分.若积分曲面关于面对称,则其中是在面右方部分.〔4若曲线弧,则若曲线弧〔极坐标,则若空间曲线弧,则〔5若有向曲线弧,则若空间有向曲线弧,则〔6若曲面,则其中为曲面在面上的投影域.若曲面,则其中为曲面在面上的投影域.若曲面,则其中为曲面在面上的投影域.〔7若有向曲面,则〔上"+"下"-"其中为在面上的投影区域.若有向曲面,则〔前"+"后"-"其中为在面上的投影区域.若有向曲面,则〔右"+"左"-"其中为在面上的投影区域.〔8与路径无关〔为任一闭曲线〔存在其中是单连通区域,在有一阶连续偏导数.〔9格林公式其中为有界闭区域的边界曲线的正向,在上具有一阶连续偏导数.〔10高斯公式或其中为空间有界闭区域的边界曲面的外侧,在上具有一阶连续偏导数,为曲面在点处的法向量的方向余弦.〔11斯托克斯公式其中为曲面的边界曲线,且的方向与的侧〔法向量的指向符合右手螺旋法则,在包含在的空间区域有一阶连续偏导数.计算曲线积分或曲面积分的步骤：〔1计算曲线积分的步骤：1判定所求曲线积分的类型〔对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分；2对弧长的曲线积分,一般将其化为定积分直接计算；对坐标的曲线积分：判断积分是否与路径无关,若积分与路径无关,重新选取特殊路径积分；判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件,若满足条件,利用格林公式计算〔添加的辅助线要减掉；将其化为定积分直接计算.对空间曲线上的曲线积分,判断是否满足斯托克斯公式的条件,若满足条件,利用斯托克斯公式计算；若不满足,将其化为定积分直接计算.〔2计算曲面积分的步骤：1判定所求曲线积分的类型〔对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分；2对面积的曲面积分,一般将其化为二重积分直接计算；对坐标的曲面积分：判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件,若满足条件,利用高斯公式计算〔添加的辅助面要减掉；将其投影到相应的坐标面上,化为二重积分直接计算.例1计算曲线积分,其中为取逆时针方向.解由于积分曲线关于轴、轴均对称,被积函数对、均为偶函数,因此故『方法技巧』对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同,记清楚后再使用.事实上,本题还可应用格林公式计算.例2计算曲面积分,其中为球面.解由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知又由轮换对称性知故『方法技巧』对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不同,理解起来更容易些.若碰到积分曲面是对称曲面,做题时可先考虑一下对称性.例3计算曲面积分,其中为球面.解『方法技巧』积分曲面是关于对称的,被积函数是的奇函数,因此例4计算曲线积分,其中为圆周的逆时针方向.解法1直接计算.将积分曲线表示为参数方程形式代入被积函数中得解法2利用格林公式其中,故『方法技巧』本题解法1用到了定积分的积分公式：解法2中,一定要先将积分曲线代入被积函数的分母中,才能应用格林公式,否则不满足在有一阶连续偏导数的条件.例5计算曲线积分,其中为沿由点到点的曲线弧.解直接计算比较困难.由于,因此在不包含原点的单连通区域,积分与路径无关.取圆周上从到点的弧段代替原弧段,其参数方程为：,代入被积函数中得『方法技巧』本题的关键是选取积分弧段,既要保证简单,又要保证不经过坐标原点.例6计算曲面积分,其中为的法向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面.解由于曲面具有轮换对称性,,投影到面的区域,故『方法技巧』由于积分曲面具有轮换对称性,因此可以将直接转换为,只要投影到面即可.例7计算曲面积分,其中为锥面在部分的上侧.解利用高斯公式.添加辅助面,取下侧,则其中为和围成的空间圆锥区域,为投影到面的区域,即,由的轮换对称性,有故『方法技巧』添加辅助面时,既要满足封闭性,又要满足对侧的要求.本题由于积分锥面取上侧〔侧,因此添加的平面要取下侧,这样才能保证封闭曲面取侧,使用高斯公式转化为三重积分时,前面要添加负号.例8计算曲线积分,其中从轴的正向往负向看,的方向是顺时针方向.解应用斯托克斯公式计算.令取下侧,在面的投影区域为,则『方法技巧』本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线的参数方程代入要简单,所有应用斯托克斯公式的题目,曲面的选取都是关键,既要简单,又要满足斯托克斯的条件,需要大家多加练习.二、曲线积分与曲面积分的物理应用1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下：<1>曲线或曲面形物体的质量.<2>曲线或曲面的质心〔形心.<3>曲线或曲面的转动惯量.<4>变力沿曲线所作的功.<5>矢量场沿有向曲面的通量.<6>散度和旋度.2.在具体计算时,常用到如下一些结论：〔1平面曲线形物体空间曲线形物体曲面形构件〔2质心坐标平面曲线形物体的质心坐标：空间曲线形物体的质心坐标：曲面形物体的质心坐标：当密度均匀时,质心也称为形心.〔3转动惯量平面曲线形物体的转动惯量：空间曲线形物体的转动惯量：曲面形物体的转动惯量：其中和分别为平面物体的密度和空间物体的密度.〔4变力沿曲线所作的功平面上质点在力+作用下,沿有向曲线弧从点运动到点,所做的功空间质点在力++作用下,沿有向曲线弧从点运动到点,所做的功矢量场沿有向曲面的通量矢量场++通过有向曲面指定侧的通量散度和旋度矢量场++的散度矢量场++的旋度+曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤：〔1根据所求物理量,代入相应的公式中；〔2计算曲线积分或曲面积分.例9设质点在场力的作用下,沿曲线由图11.7移动到,求场力所做的功.〔其中为常数图11.7解积分曲线如图11.7所示.场力所做的功为令,则即在不含原点的单连通区域,积分与路径无关.另取由到的路径：『方法技巧』本题的关键是另取路径,一般而言,最简单的路径为折线路径,比如,但不可以选取此路径,因为在原点处不连续.换句话说,所取路径不能经过坐标原点,当然路径的取法不是唯一的.例10设密度为1的流体的流速,曲面是由曲线饶轴